Seria Bertrand este o serie definită prin:

unde și sunt numere reale.

Este atribuită matematicianului francez Joseph Bertrand.

Exemple de serii Bertrand:

Studiul convergenței

modificare

Pentru a studia convergența acestei serii, mai întâi se va ține cont de faptul că dacă   atunci șirul   nu este mărginit deci nu tinde la zero. Înseamnă că seria:

 

este divergentă. De aceea se presupune că  

Se vor considera cazurile:

  • Cazul 1:  

Fie   Atunci   Se remarcă faptul că:

 

Deoarece   avem:

 

Astfel, pentru   avem:

 

ceea ce implică:

 

Deoarece   rezultă că seria   este divergentă, deci și seria:

 

este divergentă.

  • Cazul 2:  

Fie   Deci   Avem:

 

Deoarece   rezultă:

 

Astfel, pentru   se obține:

 

ceea ce implică:

 

Seria   este convergentă deoarece   Rezultă că seria:

 

este convergentă.

  • Cazul 3:  

Considerăm funcția:

 

E ușor de verificat că, pentru un x suficient de mare (mai exact  ), funcția   este descrescătoare. Vom demonstra atunci că:

 

și

 

unde M este un număr întreg astfel ales încât f(x) este descrescătoare pe   De remarcat faptul că   deci:

 

și dacă   (putem să luăm  ), atunci avem:

 


Se consideră trei subcazuri:


Cazul a.:   atunci avem:

 

Deoarece   rezultă că seria   nu este mărginită, deci este divergentă.


Cazul b.:   atunci avem:

 

dar, deoarece:

 

pentru valori mari ale lui n, obținem:

 

ceea ce înseamnă că șirul sumelor parțiale asociate seriei:

 

este marginit. Deci seria este convergentă.


Cazul c.:   avem:

 

ceea ce implică:

 

Dar cum:

 

ajungem la concluzia că șirul sumelor parțiale asociat seriei:

 

nu este mărginit. Deci seria nu este divergentă.

Concluzii

modificare

În final, concluziile în ceea ce privește seria lui Bertrand:

 

sunt următoarele:


 

Seria este convergentă indiferent de valoarea lui  

 

Seria este divergentă indiferent de valoarea lui  

 

Seria este convergentă dacă și numai dacă  

De exemplu, seriile:

  și  

sunt divergente iar seria:

 

este convergentă.

Vezi și

modificare

Postulatul lui Bertrand

Legături externe

modificare