Serie hipergeometrică fundamentală

În matematică, prin serie hipergeometrică fundamentală, câteodată numită și q-serie hipergeometrică, se înțelege generalizarea q-seriilor analoage a seriei hipergeometrice ordinare. În mod uzual sunt definite două serii fundamentale: seria hipergeometrică fundamentală unilaterală și seria hipergeometrică fundamentală bilaterală.

Numele i-a fost dat prin analogie cu seria hipergeometrică ordinară. O serie ordinară este numită o serie ordinară hipergeometrică în cazul în care raportul dintre termenii succesivi este o funcție rațională de n. Dar dacă raportul termenilor succesivi este o funcție rațională de , atunci seria se numește serie hipergeometrică fundamentală.

Serie hipergeometrică fundamentală a fost luată în considerație pentru prima dată de Eduard Heine în secolul XIX, ca un mod de a capta caracteristicile comune ale funcției theta a lui Jacobi si ale funcției eliptice.

Definiție

modificare

Seria hipergeometrică fundamentală unilaterală este definită ca:

 

unde

 

este permutarea q-factorială. Cazul cel mai important se obține atunci când j = k+1, având forma:

 

Seria hipergeometrică fundamentală bilaterală corespounde seriei hipergeometrice bilaterale și este definită ca:

 

Cazul cel mai important se obține atunci când j = k, având forma:

 

Seria unilaterală poate fi obținută ca un caz special al celei bilaterale facând variabila b egală cu q, cel puțin atunci când nici una dintre variabilele a nu este o putere a lui q, caz în care toți termenii cu n < 0 vor dispărea.

Serii simple

modificare

Expresiile câtorva serii simple includ:

 


 


 

Identități simple

modificare
 
 

Cazul special   este strâns legat de q-exponențial.

Identitatea lui Ramanujan

modificare

Ramanujan a dat următoarea identitate:

 

valabilă pentru   și  . Similar identitatea   a fost dată de Bailey. Astfel de identități pot fi înțelese ca o generalizare a teoremei produsului triplu al lui Jacobi, care poate fi scris folosind q-serii:

 

Ken Ono a dat următoarea serie de puteri formală:

 

Referințe

modificare
  • Eduard Heine, Theorie der Kugelfunctionen, (1878) 1, pp 97-125.
  • Eduard Heine, Handbuch die Kugelfunctionen. Theorie und Anwendung (1898) Springer, Berlin.
  • W.N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series, (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press, Cambridge.
  • Gasper, George; Rahman, Mizan (), Basic hypergeometric series, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 96 (ed. 2nd), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83357-8, MR2128719 
  • William Y. C. Chen and Amy Fu, Semi-Finite Forms of Bilateral Basic Hypergeometric Series Arhivat în , la Wayback Machine. (2004)
  • Sylvie Corteel and Jeremy Lovejoy, Frobenius Partitions and the Combinatorics of Ramanujan's   Summation, (undated)
  • Gwynneth H. Coogan and Ken Ono, A q-series identity and the Arithmetic of Hurwitz Zeta Functions Arhivat în , la Wayback Machine., (2003) Proceedings of the American Mathematical Society 131, pp. 719-724