Suspensie (topologie)

În topologie, o ramură a matematicii, suspensia unui spațiu topologic X se obține intuitiv prin alungirea lui X într-un cilindru și apoi reducerea ambelor fețe de capăt (baze) la puncte. X este văzut ca fiind „suspendat” între aceste puncte.

Suspensia unui cerc. Spațiul inițial este cel albastru, iar punctele de reducere sunt verzi.

Spațiul SX este uneori numit spațiul neredus, fără bază sau suspendat liber al lui X, pentru a-l distinge de suspensia redusă ΣX a unui spațiu punctat descris mai jos.

Suspensia redusă poate fi utilizată pentru a construi un omomorfism din grupurile de omotopie^⁠(d), căruia i se aplică teorema suspensiei Freudenthal. În teoria omotopiei^⁠(d) fenomenele care sunt conservate prin suspensie într-un sens adecvat alcătuiesc teoria omotopiei stabile^⁠(d).

Definiția și proprietățile suspensiei

Suspensia $SX$ unui spațiu topologic $X$ este spațiul definit ca:

$SX=v_{0}\cup _{p_{0}}(X\times [0,1])\cup _{p_{1}}v_{1}\ =\ \varinjlim _{i\in \{0,1\}}{\bigl (}(X\times [0,1])\hookleftarrow (X\times \{i\})\xrightarrow {p_{i}} v_{i}{\bigr )},$

unde fiecare $v_{i}$ este un punct, iar $p_{i}$ este proiecția acestui punct.

Asta înseamnă că suspensia $SX$ este rezultatul atașării cilindrului $X\times [0,1]$ pe fețele sale, $X\times \{0\}$ și $X\times \{1\}$, la punctele $v_{i}$ de-a lungul proiecțiilor $p_{i}:{\bigl (}X\times \{i\}{\bigr )}\to v_{i}$.

Se poate vedea suspensia ca două conuri având baza X lipite împreună pe bazele lor. Este, de asemenea, homeomorf cu cuplajul $X\star S^{0},$ unde $S^{0}$ este un spațiu discret cu două puncte.

În termeni aproximativi, S mărește dimensiunea unui spațiu cu unu: de exemplu, pentru n ≥ 0 se trece de la o n-sferă la o (n+1)-sferă.

Având o aplicație continuă $f:X\rightarrow Y$, există o aplicație continuă $Sf:SX\rightarrow SY$ definită de $Sf([x,t]):=[f(x),t],$ unde parantezele pătrate denotă clasele de echivalență. Aceasta face din $S$ un functor din categoria spațiilor topologice în sine.

Suspensie redusă

Dacă X este un spațiu punctat cu punctele de bază x₀, există o variantă la suspensie, care uenori este mai folositoare. Suspensia 'redusă' sau suspensia bazată ΣX a lui X este spațiul cât:

$\Sigma X=(X\times I)/(X\times \{0\}\cup X\times \{1\}\cup \{x_{0}\}\times I)$.

Asta este echivalent cu a considera SX și a reduce dreapta (x₀ × I ) contopind cele două puncte de capăt într-unul singur. Punctul de bază a spațiului punctat ΣX este clasa de echivalență a lui (x₀, 0).

Se poate arăta că suspensia redusă a lui X este homeomorfă cu smash-produsul^⁠(d) lui X cu cercul trigonometric S¹:

$\Sigma X\cong S^{1}\wedge X$

Pentru spațiile comune, cum ar fi CW complexele, suspensia redusă a lui X este echivalentă omotopic cu suspensia nebazată.

Bibliografie

• en Allen Hatcher, Algebraic topology. Cambridge University Presses, Cambridge, 2002. xii+544 pp. ISBN: 0-521-79160-X and ISBN: 0-521-79540-0
• en Acest articol cuprinde material de la Suspension de la PlanetMath, licențiat cu Creative Commons Atribuire/Distribuire în condiții identice.