Teorema Sylvester (geometrie)

În geometria triunghiului, teorema Sylvester exprimă faptul că vectorul care unește centrul cercului circumscris unui triunghi cu ortocentrul acestuia este egal cu suma vectorilor care unesc centrul cercului cu vârfurile triunghiului.

Suma a trei vectori de lungimi egale

Teoremă

modificare

În orice triunghi   există relația:

  (Sylvester)

Demonstrație. Se vor considera mijlocul   al laturii   și   punctul diametral opus lui   de pe cercul circumscris triunghiului.

Deoarece   și   (deoarece   este diametru) și   și   rezultă că   este paralelogram. Se scriu relațiile vectoriale referitoare la mediana unui triunghi:

 
 

Se deduce:

 

Punând   se obține relația cerută.

Observație. O propoziție similară este următoarea:

 

Aceasta se obține pentru  

Vezi și

modificare