Legea de inerție a lui Sylvester

Legea de inerție a lui Sylvester este o consecință a clasificării formelor pătratice reale. A fost formulată de către James Joseph Sylvester în 1852. Teorema care afirmă că orice matrice simetrică poate fi redusă la o formă diagonală prin aplicarea unei transformări ortogonale asupra matricei. Mai precis, există o transformare ortogonală (adica o matrice de rotație) care poate fi aplicată matricei simetrice astfel încât matricea rezultată să fie diagonală.

Teoremă. Fie $Q$ o formă pătratică pe ${\mathcal {E}}$, spațiu vectorial de dimensiune finită, atunci există $(e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n})$ o bază a lui ${\mathcal {E}}$ și $p,q\in \mathbb {N}$, astfel încât pentru orice vector $x=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\cdots +x_{n}e_{n}\in {\mathcal {E}}$ se verifică relația:

$Q(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\cdots -x_{p+q}^{2}$.

Legea de inerție a lui Sylvester este foarte importantă în algebra liniară, deoarece ne permite să rezolvăm o serie de probleme practice, cum ar fi calculul valorilor proprii și a vectorilor proprii ai unei matrice simetrice. Poate fi generalizată și pentru matricele hermitice^⁠(d), în care caz matricea poate fi redusă la o formă diagonală prin aplicarea unei transformări unitare (adica o matrice de rotație complexă).

Vezi și

• Teorema Sylvester (geometrie)