Teorema cleștelui

În analiza matematică, Criteriul majorării furnizează o condiție suficientă privind convergența unui șir.

Enunț

Fie (a_n), (b_n), (x_n) trei șiruri cu proprietățile:

Atunci șirul (x_n) este convergent și are limita a.

Fie ε>0, ales arbitrar. Cum $a_{n}\rightarrow a,\;b_{n}\rightarrow a,$ va exista un rang $n_{\epsilon }\geq n_{0}$ astfel încât:

\forall n\geq n_{\epsilon }

să fie îndeplinite condițiile:

\left\vert a_{n}-a\right\vert <\epsilon

și

\left\vert b_{n}-a\right\vert <\epsilon .

Din condițiile de mai sus avem:

-\epsilon <a_{n}-a<\epsilon

și

-\epsilon <b_{n}-a<\epsilon

.

De aici:

\forall n\geq n_{\epsilon },\;\;-\epsilon <a_{n}-a\leq x_{n}-a\leq b_{n}-a<\epsilon ,

ceea ce arată că:

\lim _{n\to \infty }x_{n}=a.

Cu ajutorul criteriului majorării se poate calcula limita seriei:

\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{\sqrt {n^{2}+1}}}+{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+2}}}+\cdots +{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+kn}}}\right),k\in \mathbb {N} .

Rezolvare

Se notează:

a_{n}={\frac {1}{\sqrt {n^{2}+1}}}+{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+2}}}+\cdots +{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+kn}}}

Se observă că:

{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+kn}}}+\cdots +{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+kn}}}\;\;(de\;kn\;ori)\;\;\leq a_{n}\leq {\frac {1}{\sqrt {n^{2}+1}}}+\cdots +{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+1}}}\;\;(de\;kn\;ori)\;\;\iff

\iff \;\;{\frac {kn}{n^{2}+kn}}\leq a_{n}\leq {\frac {kn}{n^{2}+1}},\;\forall n\in \mathbb {N} ^{*}

(1)

Deoarece:

\lim _{n\to \infty }{\frac {kn}{\sqrt {n^{2}+kn}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {kn}{n{\sqrt {1+{\frac {k}{n}}}}}},

\lim _{n\to \infty }{\frac {k}{\sqrt {1+{\frac {k}{n}}}}}=k\;\;

și

\;\;\lim _{n\to \infty }{\frac {kn}{\sqrt {n^{1}+1}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {k}{\sqrt {1+{\frac {1}{n^{2}}}}}}=k.

Prin urmare:

\lim _{n\to \infty }{\frac {kn}{\sqrt {n^{2}+kn}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {kn}{\sqrt {1+{\frac {1}{n^{2}}}}}}=k

(2)

Din (1) și (2), aplicând criteriul majorării, rezultă:

\lim _{n\to \infty }a_{n}=k.