Teorema cleștelui

În analiza matematică, Criteriul majorării furnizează o condiție suficientă privind convergența unui șir.

Enunț

Fie (a_n), (b_n), (x_n) trei șiruri cu proprietățile:

• $a_{n}\leq x_{n}\leq b_{n},\forall n\geq n_{0};$
• $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=a.$

Atunci șirul (x_n) este convergent și are limita a.

Demonstrație

Fie ε>0, ales arbitrar. Cum $a_{n}\rightarrow a,\;b_{n}\rightarrow a,$ va exista un rang $n_{\epsilon }\geq n_{0}$ astfel încât:

$\forall n\geq n_{\epsilon }$ să fie îndeplinite condițiile: $\left\vert a_{n}-a\right\vert <\epsilon$ și $\left\vert b_{n}-a\right\vert <\epsilon .$

Din condițiile de mai sus avem: $-\epsilon <a_{n}-a<\epsilon$ și $-\epsilon <b_{n}-a<\epsilon$.

De aici:

$\forall n\geq n_{\epsilon },\;\;-\epsilon <a_{n}-a\leq x_{n}-a\leq b_{n}-a<\epsilon ,$

ceea ce arată că:

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a.$

Exemplificare

Cu ajutorul criteriului majorării se poate calcula limita seriei:

$\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{\sqrt {n^{2}+1}}}+{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+2}}}+\cdots +{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+kn}}}\right),k\in \mathbb {N} .$

Rezolvare

Se notează:

$a_{n}={\frac {1}{\sqrt {n^{2}+1}}}+{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+2}}}+\cdots +{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+kn}}}$

Se observă că:

${\frac {1}{\sqrt {n^{2}+kn}}}+\cdots +{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+kn}}}\;\;(de\;kn\;ori)\;\;\leq a_{n}\leq {\frac {1}{\sqrt {n^{2}+1}}}+\cdots +{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+1}}}\;\;(de\;kn\;ori)\;\;\iff$

$\iff \;\;{\frac {kn}{n^{2}+kn}}\leq a_{n}\leq {\frac {kn}{n^{2}+1}},\;\forall n\in \mathbb {N} ^{*}$

(1)

Deoarece:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {kn}{\sqrt {n^{2}+kn}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {kn}{n{\sqrt {1+{\frac {k}{n}}}}}},$

$\lim _{n\to \infty }{\frac {k}{\sqrt {1+{\frac {k}{n}}}}}=k\;\;$   și   $\;\;\lim _{n\to \infty }{\frac {kn}{\sqrt {n^{1}+1}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {k}{\sqrt {1+{\frac {1}{n^{2}}}}}}=k.$

Prin urmare:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {kn}{\sqrt {n^{2}+kn}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {kn}{\sqrt {1+{\frac {1}{n^{2}}}}}}=k$

(2)

Din (1) și (2), aplicând criteriul majorării, rezultă:

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=k.$