Teorema cleștelui

În analiza matematică, Teorema cleștelui sau criteriul cleștelui furnizează o condiție suficientă privind convergența unui șir.

EnunțModificare

Fie (an), (bn), (xn) trei șiruri cu proprietățile:

  •  
  •  

Atunci șirul (xn) este convergent și are limita a.

DemonstrațieModificare

Fie ε>0, ales arbitrar. Cum   va exista un rang   astfel încât:

  să fie îndeplinite condițiile:   și  
Din condițiile de mai sus avem:   și  .

De aici:

 

ceea ce arată că:

 

ExemplificareModificare

Cu ajutorul criteriului cleștelui se poate calcula limita seriei:

 

Rezolvare

Se notează:

 

Se observă că:

 
 
(1)

Deoarece:

 
    și    

Prin urmare:

 
(2)

Din (1) și (2), aplicând criteriul cleștelui, rezultă: