Teorema lui Fermat

Teorema lui Fermat este o teoremă de analiză matematică, numită astfel după Pierre de Fermat. Ea dă o metodă de a găsi punctele de maxim și minim ale unei funcții derivabile. Valoarea derivatei în aceste puncte este 0. Astfel, problema determinării punctelor de maxim și minim ale unei funcții se reduce la obținerea soluțiilor unei ecuații.

EnunțModificare

Fie   o funcție și se presupune că   este un punct de maxim (sau minim) local al funcției  . Dacă   este derivabilă în   atunci  .

DemonstrațieModificare

Presupunem că   este un maxim (o considerație similară se poate face în cazul că   este un minim). Atunci   astfel ca   și avem   cu  . Prin urmare pentru orice   avem

 

Deoarece limita acestui raport când   tinde spre 0 există și este egală cu   se trage concluzia că  . Pe de altă parte, pentru   avem

 

unde, de asemenea, limita când   tinde spre 0 există și este egală cu   se trage concluzia că  .

Prin urmare rezultă că  .

Vezi șiModificare

Legături externeModificare