Teorema lui Jordan

O funcție $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ este cu variație mărginită pe $[a,b]$ dacă și numai dacă ea se reprezintă ca diferența a două funcții crescătoare.

Proprietăți

1. Pentru orice funcție $f:[a,b]\to \mathbb {R}$, următoarele afirmații sunt echivalente:
   1. $f$ este cu variație mărginită pe $[a,b]$;
   2. $f=g-h$, cu $g,h$ strict crescătoare;
   3. $f=g-h$, cu $g,h$ strict crescătoare și pozitive;
   4. $f=g-h$, cu $g,h$ strict descrescătoare și negative;
   5. $f=g-h$, cu $g,h$ strict descrescătoare;
   6. $f=g-h$, cu $g,h$ descrescătoare;
2. Pentru orice funcție $f:[a,b]\to \mathbb {R}$, următoarele afirmații sunt echivalente:
   1. $f$ este cu variație mărginită pe $[a,b]$;
   2. $f$ se reprezintă ca diferența a două funcții monotone de același sens;
   3. $f$ se reprezintă ca diferența a două funcții strict monotone de același sens.
3. Orice funcție cu variație mărginită este o funcție riglată.
4. Mulțimea punctelor de discontinuitate ale unei funcții $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ cu variație mărginită este cel mult numărabilă.
5. Subspațiul vectorial generat de mulțimea funcțiilor monotone este mulțimea funcțiilor cu variație mărginită.
6. Mulțimea funcțiilor $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ monotone nu este un spațiu vectorial, căci diferența a două funcții monotone nu este neapărat monotonă.

Bibliografie

• M. Megan, Bazele analizei matematice, Editura Eurobit.