Teorema lui Rolle

Teorema lui Rolle este o teoremă enunțată prima oară de Michel Rolle în 1691. Dacă f este o funcție definită pe un interval I și a și b două puncte din I (a < b) și dacă f este continuă pe [a , b], derivabilă pe (a , b), iar f(a) = f(b), atunci există un punct c, a < c < b, în care derivata se anulează, f'(c)=0.

Enunț teoremăModificare

Fie  . Dacă:

  1.   este continuă pe intervalul închis   ;
  2.   este derivabilă pe intervalul deschis   ;
  3.   are valori egale la capetele intervalului,   ),

atunci există cel puțin un punct   din intervalul deschis  , în care derivata se anulează,

 .

DemonstrațieModificare

Se analizează cazurile:

  1. Funcția   este constantă pe intervalul închis  . În acest caz  , oricare ar fi   și deci orice punct   răspunde concluziei teoremei.
  2. Funcția   nu este constantă. Cum   este continuă pe un compact  , atunci din Teorema lui Weierstrass   este mărginită și își atinge marginile pe compact, adică există   astfel încât

 ,

 ,

unde  ,   sunt marginea superioară respectivă și marginea inferioară respectivă a lui  . Deoarece   nu este constantă, rezultă

 .

Dacă punctul de minim   se află în interiorul intervalului  , atunci conform Teoremei lui Ferma

 .

Deci luând   teorema este demonstrată.

Dacă  , deci   coincide cu unul din capetele intervalului  , atunci

 .

În acest caz este clar că  , punctul de maxim al lui  , se află în interiorul intervalului  . Din nou aplicând teorema lui Fermat se deduce

 .

Deci   și teorema este complet demonstrată.

RECIPROCAModificare

Fie  , continuă pe  , derivabilă pe   și  , unde   sunt rădăcini pentru  .

Atunci există cel puțin un punct   astfel încât  . Deci între două rădăcini ale funcției   se află cel puțin o rădăcină a derivatei  .

InterpretăriModificare

Interpretare geometricăModificare

Teorema lui Rolle are o interpretare geometrică simplă. Din   rezultă că tangenta la graficul funcției   în punctul   este paralelă cu axa Ox. Deci dacă cerințele Teoremei lui Rolle sunt îndeplinite, atunci pe graficul funcției   există (cel puțin) un punct   în care tangenta este paralelă cu axa Ox.

Interpretare fizicăModificare

Presupunem că   este timpul și   este coordonata unui punct, care se mișcă pe o dreaptă, la momentul  . La momentul   punctul are coordonata  , apoi se mișcă într-un anumit mod cu viteza   și se întoarce la punctul de plecare cu coordonata  , la momentul  . Este clar că pentru a se întoarce la punctul  , el trebuie să se oprească la un anumit moment, adică la un anumit moment   viteza este zero,  .

ObservațiiModificare

  1. Teorema lui Rolle este o teoremă de existență.
  2. Toate cele trei cerințe din teorema lui Rolle sunt esențiale pentru ca teorema să fie adevărată. Dacă una din cele trei ipoteze nu se verifică, atunci concluzia teoremei nu mai are loc. Vom ilustra prin exemplele de mai jos acest lucru.

Exemplul 1Modificare

Fie funcția   definită prin

 

Aceasta funcție verifică cerințele 2) și 3) din teoremă, dar nu verifică 1), adică   nu este continuă la dreapta în  . Deci   nu este continuă pe  . Avem  , oricare ar fi   și prin urmare  , oricare ar fi  .

Exemplul 2Modificare

Să considerăm  ,   pentru care se verifică 1) (continuitatea pe intervalul  ), 3) ( ), dar nu se verifică 2) întrucât   nu este derivabilă în  . Prin urmare, nu există punct intermediar   în care  , căci

 

Exemplul 3Modificare

Fie  ,  . Aceasta funcție verifică 1), 2) din teoremă, dar nu verifică 3) ( ). Așadar nu există   astfel încât   deoarece  , oricare ar fi  .

Exemplul următor vine să atragă atenția că necesitatea ca domeniul de definiție al funcției să fie interval este esențială.

Fie  ,

 

Evident   este derivabilă pe   și   și totuși   nu se anulează pe  . Mulțimea de definiție nu este interval.

3. Nu trebuie să se tragă concluzia că derivata unei funcții nu se anulează în niciun punct dacă acea funcție nu satisface una una din condițiile teoremei lui Rolle. Nu avem decât să luăm  ,  

BibliografieModificare

Editura MathPress (Manual si culegere clasa a-XII-a - 4 ore)

Wikimedia Commons conține materiale multimedia legate de Teorema lui Rolle