Teorema sinusurilor

În geometrie, teorema sinusurilor este o teoremă care stabilește relația dintre valorile laturilor unui triunghi și sinusurile unghiurilor dintre ele.

Enunț

Dacă laturile unui triunghi au lungimile $a$, $b$ și $c$, iar unghiurile care se opun acestora sunt $A$, $B$ și $C$, atunci:

${\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,=\,2R={\frac {a\cdot b\cdot c}{2S}}$

unde R este raza cercului circumscris triunghiului, iar S aria triunghiului.

Demonstrație

Construim cercul circumscris triunghiului $ABC$, la fel ca în figura alăturată.

Conform teoremei unghiului la centru,

$BAC={\frac {BOC}{2}}\,$

Pe de altă parte, triunghiul $OBC$ este triunghi isoscel cu vârful în O, deci înălțimea OA' este și mediană și bisectoare. Rezultă că

$BOA'={\frac {BOC}{2}}=BAC\,$

Deoarece triunghiul $OBA'$ este triunghi dreptunghic cu vârful în A',

$\sin(BOA')={\frac {a}{2R}}\,$

de unde rezultă că $\sin(A)={\frac {a}{2R}}=BAC\,$. Printr-un raționament similar, rezultă că și sinusurile unghiurilor B și C iau aceeași valoare.