Teoria gravitației gauge

În teoria cuantică a câmpurilor, teoria gravitației gauge (în engleză gauge gravitation theory) reprezintă încercarea de a extinde teoria Yang-Mills, care oferă o descriere universală a interacțiunilor fundamentale, pentru a include și gravitația.

Această teorie nu trebuie confundată cu alte formulări similare, cum ar fi o versiune clasică a gravitației în limbajul algebrei geometrice, sau cu teoria Kaluza-Klein, unde câmpurile gauge sunt folosite pentru a descrie câmpurile particulelor, dar nu gravitația însăși.

Prezentare generală

Primul model gauge al gravitației a fost propus de Ryoyu Utiyama în 1956,^[1] la doar doi ani după introducerea teoriei gauge.^[2] Încercările inițiale de a construi o teorie gauge a gravitației pe modelul simetriilor interne s-au confruntat cu dificultăți în tratarea transformărilor covariante generale și în definirea unui statut gauge pentru o metrică pseudo-Riemannienă (un câmp tetradic).

Pentru a depăși aceste dificultăți, s-a încercat tratarea câmpurilor tetradice ca fiind câmpuri gauge asociate grupului de translație.^[3] Generatoarele infinitezimale ale transformărilor covariante generale au fost interpretate ca fiind cele ale grupului gauge de translație, iar un câmp tetradic a fost identificat cu partea de translație a unei conexiuni afine pe o varietate spațială $X$ . Orice astfel de conexiune poate fi exprimată ca suma $K=\Gamma +\Theta$ unde $\Gamma$ reprezintă o conexiune liniară în spațiu, iar $\Theta$ este o formă de îmbinare, exprimată de exemplu ca $\Theta =\Theta _{\mu }^{a}dx^{\mu }\otimes \vartheta _{a}$ , unde $\vartheta _{a}=\vartheta _{a}^{\lambda }\partial _{\lambda }$ este un cadru neholonomic. În acest context, conexiunea Cartan $K$ este un exemplu, iar $\Theta$ poate fi considerată o formă canonică de îmbinare. Interpretările fizice ale componentei de translație $\Theta$ variază. În teoria gauge a dislocațiilor, acest câmp descrie o distorsiune,^[4] dar în alte contexte, un co-cadru $\vartheta _{a}$ poate fi tratat ca un câmp gauge de translație.^[5]

Problemele din construirea teoriei gravitației gauge prin analogie cu teoria Yang-Mills provin din diferențele de natură ale transformărilor gauge. În timp ce în teoria Yang-Mills transformările gauge sunt automorfisme verticale ale unui fascicul de fibre principal $P\to X$ , care lasă baza sa $X$ fixă, în gravitație acestea sunt automate pe un fascicule de fibre naturale, $T\to X$ , pentru care difeomorfismele bazei $X$ generează automorfisme ale fasciculului.^[6] Aceste automorfisme, numite transformări covariante generale, sunt suficiente pentru a reformula relativitatea generală a lui Einstein și gravitația metrică-afină în termeni de teorie gauge.

În contextul teoriei gauge pe fascicule de fibre naturale, câmpurile gauge sunt conexiuni liniare pe o varietate $X$ , definite ca fiind conexiuni principale pe fasciculul de fibre cadrelor liniare $FX$ . Câmpul gravitațional metric (tetradic) joacă rolul unui câmp Higgs, responsabil pentru ruperea spontană a simetriei transformărilor covariante generale.^[7]

Ruperea spontană a simetriei

Ruperea spontană a simetriei este un efect cuantic care apare atunci când vidul nu este invariant sub grupul de transformare. În teoria gauge clasică, aceasta are loc atunci când grupul de structură $G$ al unui fascicul de fibre principal $P\to X$ se reduce la un subgrup $H$ . adică există un fascicul de fibre principal subordonat lui $P$ cu grupul de structură $H$ .^[8] Există o corespondență între fasciculele de fibre principale reduse și secțiunile globale ale fasciculului $P / H \to X$ , care sunt interpretate ca fiind câmpuri Higgs clasice.

Ideea metricii pseudo-Riemanniene ca un câmp Higgs a apărut în contextul construcției reprezentărilor neliniare ale grupului liniar general $GL(4, R)$ , din care grupul Lorentz este un subgrup.^[9] Principiul echivalenței geometrice, care postulează existența unui cadru de referință în care invarianții Lorentz sunt definiți pe întreaga varietate spațială, justifică reducerea grupului de structură $GL(4, R)$ la grupul Lorentz. Acest lucru duce la interpretarea metricii pseudo-Riemanniene ca fiind un câmp Higgs. Ruperea simetriei spațiale este justificată de existența materiei fermionice Dirac, al cărei grup de simetrie este acoperirea dublă $SL(2, C)$ a grupului Lorentz restrâns $SO + (1, 3)$ .^[10]

Note

^ Utiyama, R. (1956). „Invariant theoretical interpretation of interaction”. Physical Review. 101: 1597. doi:10.1103/PhysRev.101.1597.
^ Blagojević, Milutin; Hehl, Friedrich W. (2013). Gauge Theories of Gravitation: A Reader with Commentaries. World Scientific. ISBN 978-184-8167-26-1.
^ Hehl, F.; McCrea, J.; Mielke, E.; Ne'eman, Y. (1995). „Metric-affine gauge theory of gravity: Field equations, Noether identities, world spinors, and breaking of dilaton invariance”. Physics Reports. 258: 1. doi:10.1016/0370-1573(94)00111-F.
^ Malyshev, C. (2000). „The dislocation stress functions from the double curl $T$ (3)-gauge equations: Linearity and look beyond”. Annals of Physics. 286: 249. doi:10.1006/aphy.2000.6088.
^ Blagojević, M. (2002). Gravitation and Gauge Symmetries. Bristol, UK: IOP Publishing.
^ Kolář, I.; Michor, P.W.; Slovák, J. (1993). Natural Operations in Differential Geometry. Berlin & Heidelberg: Springer-Verlag.
^ Ivanenko, D.; Sardanashvily, G. (1983). „The gauge treatment of gravity”. Physics Reports. 94: 1. doi:10.1016/0370-1573(83)90046-7.
^ Nikolova, L.; Rizov, V. (1984). „Geometrical approach to the reduction of gauge theories with spontaneous broken symmetries”. Reports on Mathematical Physics. 20: 287. doi:10.1016/0034-4877(84)90039-9.
^ Leclerc, M. (2006). „The Higgs sector of gravitational gauge theories”. Annals of Physics. 321: 708. doi:10.1016/j.aop.2005.08.009.
^ Sardanashvily, G.; Zakharov, O. (1992). Gauge Gravitation Theory. Singapore: World Scientific.

Bibliografie

Kirsch, I. (2005). „A Higgs mechanism for gravity”. Phys. Rev. D. 72: 024001. arXiv:hep-th/0503024  .
Sardanashvily, G. (2011). „Classical gauge gravitation theory”. Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 8: 1869–1895. arXiv:1110.1176  .
Obukhov, Yu. (2006). „Poincaré gauge gravity: Selected topics”. Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 3: 95–138. arXiv:gr-qc/0601090  .

Vezi și

[1] Utiyama, R. (1956). „Invariant theoretical interpretation of interaction”. Physical Review. 101: 1597. doi:10.1103/PhysRev.101.1597.

[2] Blagojević, Milutin; Hehl, Friedrich W. (2013). Gauge Theories of Gravitation: A Reader with Commentaries. World Scientific. ISBN 978-184-8167-26-1.

[3] Hehl, F.; McCrea, J.; Mielke, E.; Ne'eman, Y. (1995). „Metric-affine gauge theory of gravity: Field equations, Noether identities, world spinors, and breaking of dilaton invariance”. Physics Reports. 258: 1. doi:10.1016/0370-1573(94)00111-F.

[4] Malyshev, C. (2000). „The dislocation stress functions from the double curl $T$ (3)-gauge equations: Linearity and look beyond”. Annals of Physics. 286: 249. doi:10.1006/aphy.2000.6088.

[5] Blagojević, M. (2002). Gravitation and Gauge Symmetries. Bristol, UK: IOP Publishing.

[6] Kolář, I.; Michor, P.W.; Slovák, J. (1993). Natural Operations in Differential Geometry. Berlin & Heidelberg: Springer-Verlag.

[7] Ivanenko, D.; Sardanashvily, G. (1983). „The gauge treatment of gravity”. Physics Reports. 94: 1. doi:10.1016/0370-1573(83)90046-7.

[8] Nikolova, L.; Rizov, V. (1984). „Geometrical approach to the reduction of gauge theories with spontaneous broken symmetries”. Reports on Mathematical Physics. 20: 287. doi:10.1016/0034-4877(84)90039-9.

[9] Leclerc, M. (2006). „The Higgs sector of gravitational gauge theories”. Annals of Physics. 321: 708. doi:10.1016/j.aop.2005.08.009.

[10] Sardanashvily, G.; Zakharov, O. (1992). Gauge Gravitation Theory. Singapore: World Scientific.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]