Utilizator:Solt/proiect 1.2./Oscilator armonic /Oscilator armonic cuantic

Reprezentarea funcţiilor de undă pentru primele opt sări staţionare corespunzătoare valorilor numărului cuantic principal n = 0 la 7. Pe axa orizontală se reprezintă poziţia x. Diagrama nu este calibrată.

Diagrama densităţilor de probabilitate |ψ_n(x)|² pentru stările staţionare, începând cu starea fundamentală (n = 0) continuând pentru stările corespunzătoare energiilor mai mari. Pe axa orizontală se reprezintă poziţia x, iar culorile mai deschise corespund densităţilor de probabilitate mai mari.

Un Oscilator armonic cuantic este un model fizic important pentru descrierea sistemelor oscilante microscopice.

Valorile posibile pentru energia unui oscilator armonic cuantic unidimensional sunt date de formula:

$E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hslash \omega$

unde:

• $E_{n}$ reprezintă setul valorilor permise pentru energie
• n numărul cuantic principal
• $\hslash$ este constanta lui Planck
• $\omega$ pulsaţia (frecvenţa) oscilaţiilor

Analogia cu oscilatorul armonic clasic

Teoria oscilatorului armonic are o importanţă deosebită în studiul fizicii întrucât în natură există o multitudine de sisteme fizice, structural şi calitativ foarte diferite la prima vedere, dar a căror evoluţie dinamică se poate descrie prin ecuaţiile mişcărilor care formal sunt echivalente cu cele ale unui sistem de oscilatori armonici care interacţionează între ei foarte slab. O aproximaţie primordială care se face în studiul sistemelor oscilante microscopice este aceea a neglijării oricărei interacţii dintre oscilatorii individuali. Acest aspect, oarecum „denaturant” simplifică substanţial studiul sistemelor formate dintr-un număr mare de oscilatori, fiind echivalent din punct de vedere analitic cu studiul sistemului de oscilatori complet independenţi. Studiul unui asemenea sistem este relativ simplu deoarece fiecare oscilator oscilează ca şi cum ceilalţi oscilatori nu ar exista şi din acest punct de vedere este evident că dacă se poate descrie comportamentul unui singur oscilator, atunci se pot descrie oricâţi oscilatori. . Exemple de sisteme de acest tip se pot da din toate ramurile fizicii: câmpul electromagnetic, un solid care oscilează elastic, de asemenea o serie de câmpuri cuantice, etc.

Model pentru oscilaţiile armonice liniare ale unei molecule diatomice

Model pentru oscilaţiile armonice de torsiune ale moleculei de polietilenă

Deducerea funcţiilor şi valorilor proprii

Pentru deducerea funcţiilor de undă asociate stărilor cuantice şi găsirea valorilor proprii ale energiei oscilatorului cuantic armonic, există în mecanica cuantică trei metode consacrate. Prima este cea analitică, bazată pe rezolvarea ecuaţiei temporale al lui Schrödinger cu folosirea proprietăţilor polinoamelor ortogonale, în speţă al sistemului coplet de polinoame Hermite. A doua metodă este cea algebrică, numită şi metoda lui Dirac-Fock care se bazează pe formalismul hamiltonian şi algebra operatorilor cuantici autoadjuncţi, respectiv proprietăţile acestora. A treia este metoda polinomială care se bazează pe folosirea seriei hipergeometrice. Rezultatele la care se ajung prin aplicarea celor trei metode sunt identice, metoda lui Dirac-Fock având avantajul că nu face apel la teoria ecuaţiilor diferenţiale. Cel mai important rezultat al celor două metode independente constă în stabilirea relaţiei exacte a cuantificării energiei oscilatorului în deplină concordanţă cu previziunile anterioare ale lui Planck.

Metoda analitică (metoda lui Schrödinger)

În mecanica cuantică, ecuaţia Schrödinger temporală corespunzătoare hamiltonianului clasic este

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\vec {\nabla }}^{2}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)+V(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} ,\,t)$

$(2.1)\,$

Pentru oscilatorul unidimensional, vectorul de poziţie $\mathbf {r}$ se înlocuieşte prin coordonata x , iar operatorul ${\vec {\nabla }}^{2}$ (laplaceanul) prin derivata parţială de ordinul doi în raport de coordonata x : ${\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}$. Potenţialul câmpului de forţe în care este plasată particula este în acest caz: $V(x)={1 \over 2}m\omega ^{2}x^{2}$. Se găseşte astfel, forma ecuaţiei Schrödinger temporale pentru oscilatorul armonic liniar (unidimensional):

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)\Psi (x,t)-{1 \over 2}m\omega ^{2}x^{2}\Psi (x,t)=0$ $(2.2)\,$

Legătura dintre ecuaţia lui Schrödinger şi ecuaţia clasică al lui Hamilton-Jacobi sugerează căutarea unei soluţii particulare de forma:$\scriptstyle \Psi (x,t)=e^{F(x,t)}$, unde $\scriptstyle F(x,t)$ este un polinom de gradul al doilea de variabilă x având coeficienţii $\scriptstyle A(t)$, $\scriptstyle B(t)$, $\scriptstyle C(t)$ în general dependenţi de timp $\scriptstyle F(x,t)={x^{2}}A(t)+2xB(t)+C(t)$. Cu această formă, se exprimă derivatele parţiale din ecuaţia Schrödinger, care înlocuite în ecuaţia (2.2) conduc la un sistem de trei ecuaţii diferenţiale ale cărui soluţii sunt:

$A=-m{\frac {\omega }{2\hbar }}$ $B(t)={\sqrt {\frac {m\,{\omega }}{\hbar }}}ue^{-{i\omega t}}$ $C(t)=-{i}u^{2}e^{-{2i\omega t}}-i{\frac {\omega t}{2}}$

$(2.3)\,$

unde termenul $u$ reprezintă constanta de integrare arbitrară care poate fi reală sau complexă. Expresiile coeficienţilor $A(t)$, $B(t)$ şi $C(t)$ conduc la forma funcţiei $F(x,t)$:

$\ F=-{1 \over 2}{\frac {m\,{\omega }}{\hbar }}x^{2}+2{\sqrt {\frac {m\,{\omega }}{\hbar }}}xue^{-{i\omega t}}-{(ue^{-{i\omega t}})}^{2}-i{\frac {\omega t}{2}}$

$(1.12)\,$

Utilizând schimbarea de variabilă prin care se trece de la coordonata x a microparticulei la o nouă coordonată numită naturală:

$\xi =\left({\frac {m\omega }{\hslash }}\right)^{1 \over 2}x$

$(1.13)\,$

forma funcţiei $F(x,t)$ devine:

$\ F=-{1 \over 2}{\xi }^{2}+2u\xi (e^{-{i\omega t}})-{(ue^{-{i\omega t}})}^{2}-i{\frac {\omega t}{2}}$

$(1.14)\,$

Prin folosirea unei notaţii ajutătoare:

$\ v=ue^{-{i\omega t}}$

$(1.15)\,$

soluţia (1.4) devine

$\Psi (\xi ,t)=e^{-{1 \over 2}{\xi }^{2}+2v\xi -v^{2}-i{\frac {\omega t}{2}}}$

$(1.16)\,$

unde factorul ce conţine variabila $v$ se dezvoltă în serie de puteri:

$e^{2v\xi -v^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {v^{n}}{n!}}H_{n}(\xi )$

$(1.17)\,$

Dacă dezvoltarea în serie se face dezvoltând separat factorul $exp(2v\xi )$ respectiv $exp(-v^{2})$ se constată că funcţiile $H_{n}(\xi )$ sunt polinoame de gradul n de variabilă $\xi$. De fapt ele sunt polinoamele Hermite care formează un sistem complet de polinoame ortogonale. Prin schimbarea simultană a semnelor variabilelor $v$ şi $\xi$ în primul membru, expresia acestui membru nu se modifică . Prin urmare:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {v^{n}}{n!}}H_{n}(\xi )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(-1)^{n}}v^{n}}{n!}}H_{n}(-\xi )$

$(1.18)\,$

egalând coeficienţii aceloraşi puteri în ambii membri se obţine

$H_{n}(-\xi )={(-1)^{n}}H_{n}(\xi )$

$(1.19)\,$

aceasta arată că polinoamele cu indici n pari conţin numai puteri pare iar cele cu indici impari numai puteri impare ale variabilei spaţiale. O expresie explicită a polinoamelor Hermite se poate găsi scriind primul membru al relaţiei (1.17) sub forma

$e^{-{\xi }^{2}}e^{-(\xi -v)^{2}}$

$(1.20)\,$

Cel de-al doilea factor se poate dezvolta în serie Mac Laurin:

$e^{-(\xi -v)^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}}{\frac {v^{n}}{n!}}{\frac {d^{n}e^{-{\xi }^{2}}}{d{\xi }^{n}}}$

$(1.21)\,$

prin compararea acestei relaţii cu forma expresiei (1.17)se obţine formula explicită a polinoamelor lui Hermite

$H_{n}(\xi )={(-1)^{n}}e^{{\xi }^{2}}{\frac {d^{n}e^{-{\xi }^{2}}}{d{\xi }^{n}}}$

$(1.21.1)\,$

Prin înlocuirea dezvoltărilor anterioare în relaţia (1.16) a soluţiei şi ţinând cont de notaţiile făcute se obţine

$\Psi (\xi ,t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{n!}}e^{-{i\omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)t}}H_{n}(\xi )e^{-{\frac {{\xi }^{2}}{2}}}$

$(1.22)\,$

sau în forma explicită:

$\Psi (\xi ,t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{n!}}e^{-{i\omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)t}}{(-1)^{n}}e^{-{\frac {{\xi }^{2}}{2}}}{\frac {d^{n}e^{-{\xi }^{2}}}{d{\xi }^{n}}}$

$(1.22.1)\,$

Expresia de mai sus (1.22.1) reprezintă o soluţie a ecuaţiei lui Schrödinger (1.2), transcrisă cu schimbarea de variabilă x→$\xi$ (1.13), oricare ar fi valoarea de regulă complexă a constantei arbitrare de integrare u. Prin urmare, coeficientul fiecărei puteri a acestei mărimi este şi el o soluţie a ecuaţiei temporale al lui Schrödinger (1.2). Pe baza acestui raţionament se obţin următoarele soluţii ale acestei ecuaţii:

$\Psi _{n}(\xi ,t)=e^{-{i\omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)t}}H_{n}(\xi )e^{-{\frac {{\xi }^{2}}{2}}}$

$(1.23)\,$

Se poate observa că în această ultimă formă a soluţiilor, termenii spaţiali (care conţin variabila spaţială $\xi$-elongaţia exprimată în unităţi naturale) se pot separa de termenul temporal (cel care conţine variabila t-timpul). Dacă notăm prin $\psi _{n}(\xi )$ partea spaţială şi prin $\phi _{n}(t)$ parte temporală a soluţiilor, atunci se poate scrie

$\psi _{n}(\xi )=H_{n}(\xi )e^{-{\frac {{\xi }^{2}}{2}}}$

$(1.24)\,$

$\phi _{n}(t)=e^{-{i\omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)t}}$

$(1.24.1)\,$

soluţia scriindu-se prin expresia formală

$\Psi _{n}(\xi ,t)=\psi _{n}(\xi )\phi _{n}(t)$

$(1.24.2)\,$

Soluţia $\psi _{n}(\xi )$ (1.24) este rezolvarea ecuaţiei Schrödinger atemporale scrisă în scara $\xi$

${\widehat {\textbf {\textit {H}}}}\psi _{n}(\xi )=E_{n}\psi _{n}(\xi )$

$(1.25)\,$

respectiv în notaţia ket (Dirac):

${\widehat {\textbf {\textit {H}}}}\left|\psi _{n}(\xi )\right\rangle =E_{n}\left|\psi _{n}(\xi )\right\rangle$

$(1.25.1)\,$

Aceasta este o ecuaţie cu vectori şi valori proprii pentru care valorile proprii $E_{n}$ se obţin prin identificarea factorului temporal din expresia (1.24.1) cu forma valabil pentru orice funcţie de undă

$e^{-{i{\frac {Et}{\hbar }}}}$

Prin urmare se găseşte formula binecunoscută:

$E_{n}=\hslash \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)$

$(1.26)\,$

Această expresie se află în concordanţă cu ipoteza cuantică iniţială al lui Planck din anul 1900

Prin înmulţirea ambilor membrii ai egalităţii (1.17) cu exp$(-{\xi ^{2}}/2)$ se obţine următoarea relaţie pentru $\psi _{n}(\xi )$

$e^{-{1 \over 2}{\xi }^{2}+2v\xi -v^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {v^{n}}{n!}}\psi _{n}(\xi )$

Forma aceasta permite găsirea normelor pentru funcţiile $\psi _{n}(\xi )$. Dacă se transcrie această relaţie prin înlocuirea lui n cu m şi al variabilei v cu w:

$e^{-{1 \over 2}{\xi }^{2}+2w\xi -w^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {w^{m}}{m!}}\psi _{m}(\xi )$

prin înmulţirea membru cu membru a celor două egalităţi şi integrarea după $\xi$ între limitele ${-\infty }$ şi ${\infty }$ se obţine

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\xi }^{2}+2(v+w)\xi -v^{2}-w^{2}}d\xi =\sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {w^{m}}{m!}}{\frac {v^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(\xi )\psi _{m}(\xi )d\xi$

Primul membru se poate transforma sub forma:

$e^{2vw}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{(\xi }-v-w)^{2})}d\xi ={\sqrt {\pi }}e^{2vw}$

prin urmare:

${\sqrt {\pi }}e^{2vw}={\sqrt {\pi }}e^{2vw}=\sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {w^{m}}{m!}}{\frac {v^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(\xi )\psi _{m}(\xi )d\xi$

Membrul întâi depinde numai de produsul $vw$ este necesar ca şi membrul al doilea să depindă de acelaşi produs, rezultă în continuare că pentru n diferit de m coeficienţii tuturor termenilor trebuie să se anuleze:

pentru n diferit de m

$\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(\xi )\psi _{m}(\xi )d\xi =0$

Această relaţie reprezintă condiţia de ortogonalitate pentru funcţiile $\psi _{n}(\xi )$, aceste funcţii sunt de variabilă reală şi corespund unor nivele de energie diferite, cuantificate prin numărul natural n. Prin egalarea coeficienţilor termenului ${(vw)}^{n}$ în ambii membrii a egalităţii, se obţine identitatea:

${\sqrt {\pi }}{\frac {2^{n}}{n!}}={\frac {1}{(n!)^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}^{2}(\xi )d\xi$

din care se deduce pătratul normei funcţiilor proprii $\psi _{n}(\xi )$:

$\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}^{2}(\xi )d\xi ={\sqrt {\pi }}2^{n}n!$

Funcţiile proprii normate, exprimate în scara naturală $\xi$ se scrie deci sub forma:

$\psi _{n}(\xi )={\frac {1}{\sqrt {{\sqrt {\pi }}2^{n}n!}}}H_{n}(\xi )e^{-{\frac {{\xi }^{2}}{2}}}$

sau, prin înlocuirea plinomului lui Hermite cu forma explicitată:

$\psi _{n}(\xi )={\frac {1}{\sqrt {{\sqrt {\pi }}2^{n}n!}}}{(-1)^{n}}e^{\frac {{\xi }^{2}}{2}}{\frac {d^{n}e^{-{\xi }^{2}}}{d{\xi }^{n}}}$ $(1.27)\,$

Metoda algebrică (metoda Dirac-Fock)

Metoda algebrică datorată lui Dirac şi Fock, cunoscută şi ca metoda operatorilor de creştere şi descreştere porneşte de la ecuaţiile de mişcare clasice, deduse pe baza ecuaţiilor canonice din cadrul formalismului Hamilton-Jacobi şi introduce două mărimi complex conjugate $C$ şi $C^{*}$ prin care se aduc ecuaţiile la o formă mai simplă. La scrierea hamiltonianului în tratarea cuantică, acestor mărimi i se asociază operatori diferenţiali analogi în baza principiului corespondenţei. Funcţiile de stare şi relaţia de cuantificare a energiei se deduce prin rezolvarea problemei valorilor şi funcţiilor proprii pentru operatorul Hamilton.

Expresiile celor două mărimi în cazul clasic sunt

$C=x+i{\frac {p}{m\omega }},C^{*}=x-i{\frac {p}{m\omega }}$

$(2.1)\,$

Derivând în raport cu timpul se scriu relaţiile

${\dot {C}}={\dot {x}}+i{\frac {\dot {p}}{m\omega }},{\dot {C}}^{*}={\dot {x}}-i{\frac {\dot {p}}{m\omega }}$

$(2.2)\,$

Prin înlocuirea ecuaţiilor de mişcare ${\dot {x}}={\frac {p}{m}}$, respectiv ${\dot {p}}=-m\omega ^{2}x$ în relaţiile de mai sus ecuaţiile respective devin

${\dot {C}}=-i\omega C,{\dot {C}}^{*}=i\omega C^{*}$

$(2.3)\,$

respectiv:

fiecare dintre aceste ecuaţii conţine câte una singură dintre variabilele (2.2). De asemenea, hamiltonianul sistemului oscilant se poate scrie

$H={\frac {m{\omega ^{2}}}{2}}CC^{*}={\frac {m{\omega }^{2}}{2}}C^{*}C$

$(2.4)\,$

Dacă se trece la cazul cuantic, este natural să se introducă operatorii analogi, aşa cum impune principiul corespondenţei:

${\widehat {\textbf {\textit {C}}}}={\widehat {\textbf {\textit {x}}}}+i{\frac {\widehat {\textbf {\textit {p}}}}{m\omega }},{\widehat {\textbf {\textit {C}}}}^{+}={\widehat {\textbf {\textit {x}}}}-i{\frac {\widehat {\textbf {\textit {p}}}}{m\omega }}$

$(2.5)\,$

Operatorii ${\widehat {\textbf {\textit {C}}}}$ şi ${\widehat {\textbf {\textit {C}}}}^{+}$ nu sunt autoadjuncţi ci fiecare este adjunctul celuilalt. Prin înmulţirea celor doi operatori se obţine şirul de relaţii, după cum urmează

${\widehat {\textbf {\textit {C}}}}{\widehat {\textbf {\textit {C}}}}^{+}={\widehat {\textbf {\textit {x}}}}^{2}+{\frac {{\widehat {\textbf {\textit {p}}}}^{2}}{m^{2}\omega ^{2}}}+{\frac {i}{m\omega }}({\widehat {\textbf {\textit {p}}}}{\widehat {\textbf {\textit {x}}}}-{\widehat {\textbf {\textit {x}}}}{\widehat {\textbf {\textit {p}}}})=$

$(2.6)\,$

$={\widehat {\textbf {\textit {x}}}}^{2}+{\frac {{\widehat {\textbf {\textit {p}}}}^{2}}{m^{2}\omega ^{2}}}+{\frac {\hbar }{m\omega }}{\widehat {\textbf {\textit {1}}}}={\frac {2}{m\omega }}{\widehat {\textbf {\textit {H}}}}+{\frac {\hbar }{m\omega }}{\widehat {\textbf {\textit {1}}}}$

$(2.6.1)\,$

respectiv:

${\widehat {\textbf {\textit {C}}}}^{+}{\widehat {\textbf {\textit {C}}}}={\widehat {\textbf {\textit {x}}}}^{2}+{\frac {{\widehat {\textbf {\textit {p}}}}^{2}}{m^{2}\omega ^{2}}}-{\frac {i}{m\omega }}({\widehat {\textbf {\textit {x}}}}{\widehat {\textbf {\textit {p}}}}-{\widehat {\textbf {\textit {p}}}}{\widehat {\textbf {\textit {x}}}})=$

$(2.7)\,$

$={\widehat {\textbf {\textit {x}}}}^{2}+{\frac {{\widehat {\textbf {\textit {p}}}}^{2}}{m^{2}\omega ^{2}}}-{\frac {\hbar }{m\omega }}{\widehat {\textbf {\textit {1}}}}={\frac {2}{m\omega }}{\widehat {\textbf {\textit {H}}}}-{\frac {\hbar }{m\omega }}{\widehat {\textbf {\textit {1}}}}$

$(2.7.1)\,$

În egalităţile precedente s-a utilizat relaţia de comutaţie dintre variabila de poziţie şi cea de impuls. Prin adunarea şi apoi scăderea membru cu membru a relaţiilor (2.6.1) şi (2.7.1) se găseşte expresia operatorului hamiltonian, scrisă în funcţie de operatorii ${\widehat {\textbf {\textit {C}}}}$ şi ${\widehat {\textbf {\textit {C}}}}^{+}$:

${\widehat {\textbf {\textit {H}}}}={\frac {m\omega }{4}}({\widehat {\textbf {\textit {C}}}}{\widehat {\textbf {\textit {C}}}}^{+}-{\widehat {\textbf {\textit {C}}}}^{+}{\widehat {\textbf {\textit {C}}}})$

$(2.8)\,$

şi relaţia de comutaţie:

${\widehat {\textbf {\textit {C}}}}{\widehat {\textbf {\textit {C}}}}^{+}-{\widehat {\textbf {\textit {C}}}}^{+}{\widehat {\textbf {\textit {C}}}}={\frac {2\hbar }{m\omega }}{\widehat {\textbf {\textit {1}}}}$

$(2.9)\,$

Ultima relaţie (2.9) poate fi adusă la o formă mult mai simplă prin introducerea operatorilor ${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}$ şi ${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}^{+}$, definite prin relaţiile de mai jos

${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}{\widehat {\textbf {\textit {C}}}}$

$(2.10.1)\,$

${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}^{+}={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}{\widehat {\textbf {\textit {C}}}}^{+}$

$(2.10.2)\,$

Relaţia capătă forma

${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}^{+}{\widehat {\textbf {\textit {a}}}}-{\widehat {\textbf {\textit {a}}}}{\widehat {\textbf {\textit {a}}}}^{+}={\widehat {\textbf {\textit {1}}}}$

$(2.11)\,$

Hamiltonianul din expresia (2.8) se scrie

${\widehat {\textbf {\textit {H}}}}={\frac {\hbar \omega }{2}}({\widehat {\textbf {\textit {a}}}}{\widehat {\textbf {\textit {a}}}}^{+}+{\widehat {\textbf {\textit {a}}}}^{+}{\widehat {\textbf {\textit {a}}}})$

$(2.12)\,$

Pentru a rezolva problema de valori şi funcţii proprii pentru hamiltonianul (2.12), este suficient rezolvarea aceleiaşi probleme pentru operatorul ${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}^{+}{\widehat {\textbf {\textit {a}}}}$, dacă se notează prin $\lambda$ valoarea proprie asociată funcţiei proprii $\psi _{\lambda }$ atunci ecuaţi se scrie

${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}^{+}{\widehat {\textbf {\textit {a}}}}\psi _{\lambda }=\lambda \psi _{\lambda }$

$(2.13)\,$

Folosind relaţia (2.11) rezultă

${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}{\widehat {\textbf {\textit {a}}}}^{+}\psi _{\lambda }=(\lambda +1)\psi _{\lambda }$

$(2.14)\,$

Prin înlocuirea ultimelor două expresii în relaţia (2.12) se obţine pentru hamiltonian expresia

${\widehat {\textbf {\textit {H}}}}\psi _{\lambda }={\frac {\hbar \omega }{2}}(2\lambda +1)\psi _{\lambda }=\hbar \omega (\lambda +{\frac {1}{2}})\psi _{\lambda }$

$(2.15)\,$

Din ecuaţia (2.13) rezultă că valorile proprii $\lambda$ ale operatorului ${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}^{+}{\widehat {\textbf {\textit {a}}}}$ nu pot fi negative, din cauza identităţii

$\lambda \langle \ \psi _{\lambda }|\psi _{\lambda }\rangle =\langle \ \psi _{\lambda }|{\widehat {\textbf {\textit {a}}}}^{+}{\widehat {\textbf {\textit {a}}}}\psi _{\lambda }\rangle =\langle \ {\widehat {\textbf {\textit {a}}}}\psi _{\lambda }|{\widehat {\textbf {\textit {a}}}}\psi _{\lambda }\rangle$

$(2.16)\,$

în care produsul scalar $\langle \ \psi _{\lambda }|\psi _{\lambda }\rangle$ este cu certitudine pozitiv (funcţia $\psi _{\lambda }$ nu poate fi identic nulă), iar produsul scalar $\langle \ {\widehat {\textbf {\textit {a}}}}\psi _{\lambda }|{\widehat {\textbf {\textit {a}}}}\psi _{\lambda }\rangle$ este norma funcţiei ${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}\psi _{\lambda }$ şi este în general pozitiv sau nul în cazul în care ${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}\psi _{\lambda }$ este identic nulă. Aplicând ambilor membri ai ecuaţiei (2.13) operatorul ${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}$ şi ţinând seama de relaţia de comutaţie (2.11), se poate scrie

$({\widehat {\textbf {\textit {a}}}}{\widehat {\textbf {\textit {a}}}}^{+}){\widehat {\textbf {\textit {a}}}}\psi _{\lambda }=({\widehat {\textbf {\textit {a}}}}^{+}{\widehat {\textbf {\textit {a}}}}+{\widehat {\textbf {\textit {1}}}}){\widehat {\textbf {\textit {a}}}}\psi _{\lambda }=\lambda {\widehat {\textbf {\textit {a}}}}\psi _{\lambda }$

$(2.17)\,$

relaţie care conduce la ecuaţia

$({\widehat {\textbf {\textit {a}}}}\psi _{\lambda })=(\lambda -1)({\widehat {\textbf {\textit {a}}}}\psi _{\lambda })$

$(2.17.1)\,$

Din ultima relaţie se deduce că funcţia ${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}\psi _{\lambda }$ este nulă, sau este o funcţie proprie a operatorului ${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}^{+}{\widehat {\textbf {\textit {a}}}}$, asociat valorii proprii $\lambda -1$. În cel de-al doilea caz, dacă se aplică din nou operatorul ${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}$ asupra acestei funcţii, va rezulta sau că ${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}^{2}\psi _{\lambda }$ este nulă, sau că ea este o funcţie proprie operatorului ${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}^{+}{\widehat {\textbf {\textit {a}}}}$ asociat valorii proprii $\lambda -2$ Procedeul aplicat nu poate continua la infinit, întrucât s-ar ajunge la valori negative ale valoriilor proprii pentru operatorul ${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}^{+}{\widehat {\textbf {\textit {a}}}}$ ceea ce, conform celor demonstrate anterior este absurd. Aplicând procedeul într-un număr finit de n paşi se ajunge la o funcţie proprie $\psi _{0}$ a operatorului ${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}^{+}{\widehat {\textbf {\textit {a}}}}$, aparţinând valorii proprii $\lambda _{0}=\lambda -n$, astfel, procedeul sigur conduce la o funcţie nulă:

${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}\psi _{0}=0$

$(2.18)\,$

În acest caz, din relaţia (2.13) rezultă

$\lambda _{0}\psi _{0}={\widehat {\textbf {\textit {a}}}}^{+}{\widehat {\textbf {\textit {a}}}}\psi _{0}={\widehat {\textbf {\textit {a}}}}^{+}({\widehat {\textbf {\textit {a}}}}\psi _{0})=0$

$(2.18.1)\,$

Cum funcţia $\psi _{0}$ nu este nulă, este necesar ca: $\lambda _{0}=0$, deci valoarea proprie $\lambda$ de la care s-a pornit trebuie în mod necesar să fie egală cu numărul întreg şi pozitiv sau nul n:

${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}^{+}{\widehat {\textbf {\textit {a}}}}\psi _{n}=n\psi _{n},n=1,2,3,...$

$(2.19)\,$

Problema de valori proprii pentru operatorul ${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}^{+}{\widehat {\textbf {\textit {a}}}}$ este complet rezolvat prin raţionamentul anterior. Ţinând cont de egalitatea (2.15) şi de condiţia $\lambda _{0}=\lambda -n$ în care se ia valoarea $\lambda _{0}=0$ se obţin valorile proprii ale hamiltonianului oscilatorului:

$E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hslash \omega$

Relaţia de mai sus se poate găsi şi prin aplicarea metodei analitice, datorată lui Schrödinger sau prin metoda polinomială care foloseşte teoria funcţiilor hipergeometrice confluente. Setul de valori pe care îl stabileşte relaţia valorilor proprii reprezintă o limitare a valorilor esenţial permise pentru energia totală pe care o poate avea un oscilator armonic cuantic. Fiecare valoare individuală din şirul infinit de valori posibile corespunde unei funcţii proprii $\psi _{n}$. Rezultatul la care s-a ajuns prin aplicarea metodei operatorilor de creştere şi descreştere este o strălucită confirmare teoretică a conceptului de cunatificare, introdus pentru prima oară de către fizicianul german Max Planck în anul 1900. Formula energiilor permise pentru oscilator, demonstrează faptul că energia sistemului este un multiplu întreg al unei cantităţi „elementare” de energie $\hslash \omega$-până la o constantă determinată prin cantitatea ${\frac {1}{2}}\hslash \omega$ care reprezintă energia stării cuantice corespunzătoare valorii n=0.

Normarea funcţiilor proprii

Petru a găsi forma explicită a funcţiilor proprii se presupune apriori că funcţiile $\psi _{n}$ sunt normate, raţionamentul de la relaţiile (2.17)-(2.19) conduc la relaţia de recurenţă

${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}\psi _{n}=K_{n}\psi _{n-1}$

$(2.20)\,$

$K_{n}$ fiind un factor numeric ce ţine cont de existenţa normelor funcţiilor $\psi _{n}$ şi $\psi _{n-1}$. Prin aplicarea operatorului ${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}^{+}$ ambilor membri ai ecuaţiei (2.20) şi folosind relaţia (2.19) se ajunge la ecuaţia

${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}^{+}{\widehat {\textbf {\textit {a}}}}\psi _{n}=n\psi _{n}=K_{n}{\widehat {\textbf {\textit {a}}}}^{+}\psi _{n-1}$

$(2.21)\,$

Din această ultimă identitate, prin simpla împărţire a termenilor se găseşte

${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}^{+}\psi _{n-1}={\frac {n}{K_{n}}}\psi _{n}$

$(2.21.1)\,$

Aşa cum relaţia (2.20) permite găsirea funcţiei $\psi _{n-1}$, pornind de la $\psi _{n}$, tot la fel, relaţia (2.21.1) asigură găsirea funcţiei $\psi _{n}$ plecând de la $\psi _{n}-1$. Această particularitate a comportamentului funcţiilor proprii ale hamiltonianului justifică folosirea unei terminologii specifice pentru desemnarea operatorilor ${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}$ şi ${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}^{+}$, astfel:

${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}$ se numeşte operator de descreştere (sau coborâre), aplicarea lui asupra funcţiei proprii are ca efect scăderea cu o unitate a numărului cuantic n (a valorii proprii asociată funcţiei) ${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}^{+}$ se numeşte operator de creştere , aplicarea lui asupra funcţiei proprii are ca efect creşterea cu o unitate a numărului cuantic n (a valorii proprii asociată funcţiei)

Utilizând relaţia de mai jos împreună cu relaţiile de recurenţă (2.21) şi (2.21.1)

$\langle \ \psi _{n-1}|{\widehat {\textbf {\textit {a}}}}\psi _{n}\rangle =\langle \ {\widehat {\textbf {\textit {a}}}}^{+}\psi _{n-1}|\psi _{n}|\rangle$

$(2.22)\,$

se găseşte relaţia

$K_{n}\langle \ \psi _{n-1}|\psi _{n-1}\rangle ={\frac {n}{{K_{n}}^{*}}}\langle \ \psi _{n}|\psi _{n}\rangle$

$(2.23)\,$

Datorită presupunerii de la care s-a pornit, potrivit căreia funcţiile $\psi _{n}$ şi $\psi _{n-1}$ sunt normate, pentru constanta numerică $K_{n}$ se poate scrie relaţia:$|K_{n}|^{2}=n$.Pentru factorul de fază arbitrar prin care se înmulţesc funcţiile proprii normate se poate alege o valoare astfel încât numărul $K_{n}$ să fie o cantitate reală şi pozitivă.Folosind un asemenea artificiu relaţiile de recurenţă (2.21) şi (2.21.1) capătă formele de mai jos:

${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}\psi _{n}={\sqrt {n}}\psi _{n-1},{\widehat {\textbf {\textit {a}}}}^{+}\psi _{n-1}={\sqrt {n}}\psi _{n}$

$(2.24)\,$

Relaţiile de mai sus permit determinarea tuturor funcţiilor $\psi _{n}$ pornind de la funcţia singulară $\psi _{0}$ corespunzătoare valorii proprii zero a operatorului ${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}^{+}{\widehat {\textbf {\textit {a}}}}$. Pentru a găsi recurenţa pentru funcţiile proprii se introduc în relaţiile de definiţie (2.1) expresiile cunoscute ale operatorilor ${\widehat {\textbf {\textit {x}}}}$ şi ${\widehat {\textbf {\textit {p}}}}$, se obţin relaţiile:

${\widehat {\textbf {\textit {C}}}}=x+{\frac {\hslash }{m\omega }}{\frac {d}{dx}},{\widehat {\textbf {\textit {C}}}}^{+}=x-{\frac {\hslash }{m\omega }}{\frac {d}{dx}}$

$(2.25)\,$

utilizând relaţiile (2.10.1) şi (2.10.2) rezultă formele:

${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}(x+{\frac {\hslash }{m\omega }}{\frac {d}{dx}})$

$(2.26.1)\,$

${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}^{+}={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}(x-{\frac {\hslash }{m\omega }}{\frac {d}{dx}})$

$(2.26.2)\,$

Pentru aducerea la o formă mai avantajoasă a acestor expresii se face o schimbare de variabilă prin care se trece de la coordonata x a microparticulei la o nouă coordonată adimensională:

$\xi =\left({\frac {m\omega }{\hslash }}\right)^{1 \over 2}x$

$(1.27)\,$

această schimbare induce alegerea unei unităţi naturale de lungime pentru măsurarea elongaţiilor. Avantajul acestei alegeri constă în aceea că exponenţialele din expresiile funcţiilor de undă vor avea exponenţii adimensionali şi va permite separarea variabilei temporale de cea spaţială. Introducând noua variabilă în expresiile (2.26.1) respectiv (2.26.2) se obţin formele:

${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\xi +{\frac {d}{d\xi }})$

$(2.28.1)\,$

${\widehat {\textbf {\textit {a}}}}^{+}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\xi +{\frac {d}{d\xi }})$

$(2.28.2)\,$

Ecuaţia (2.18), care determină univoc forma funcţiei $\psi _{0}$, devine, prin înlocuirea operatorului dat de expresia (2.28.1) de forma:

$\xi \psi _{0}+{\frac {d\psi _{0}}{d\xi }}=0$

$(2.29)\,$

Ecuaţia diferenţială de mai sus se rezolvă prin integrare directă, şi după aplicarea condiţiei de normare se obţine soluţia normată în scara naturală $\xi$:

$\psi _{0}=\pi ^{-{\frac {1}{4}}}e^{-{\frac {\xi ^{2}}{2}}}$

$(2.30)\,$

Relaţia a doua de recurenţă din (2.24) aplizat de n ori asupra funcţiei $\psi _{0}$ conduce la expresia:

$\psi _{n}={\frac {1}{\sqrt {n!}}}({\widehat {\textbf {\textit {a}}}}^{+})^{n}\psi _{0}={\frac {1}{\sqrt {{\sqrt {\pi }}2^{n}n!}}}(\xi -{\frac {d}{d\xi }})^{n}e^{-{\frac {\xi ^{2}}{2}}}$

$(2.31)\,$

Ţinând seama de identitatea

$(\xi -{\frac {d}{d\xi }})e^{\frac {\xi ^{2}}{2}}F(\xi )=-e^{\frac {\xi ^{2}}{2}}{\frac {dF(\xi )}{d\xi }}$

$\,$

unde $F(\xi )$ reprezintă o funcţie arbitrară, continuă, de n ori derivabilă de variabilă reală $\xi$, relaţia de recurenţă (2.31) capătă forma:

$\psi _{n}(\xi )={\frac {1}{\sqrt {{\sqrt {\pi }}2^{n}n!}}}(\xi -{\frac {d}{d\xi }})^{n}e^{\frac {\xi ^{2}}{2}}e^{-\xi ^{2}}={\frac {1}{\sqrt {{\sqrt {\pi }}2^{n}n!}}}{(-1)^{n}}e^{\frac {{\xi }^{2}}{2}}{\frac {d^{n}e^{-{\xi }^{2}}}{d{\xi }^{n}}}$ $(1.31)\,$

Bibliografie generală

în limba română

• Arnold, V.I.: Metodele matematice ale mecanicii clasice (traducere din limba rusă), Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1980
• Born, Max: Fizica atomică (traducere din limba engleză), Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1973
• Feynman, Richard P.: Fizica modernă (traducere din limba engleză), vol. 3, Editura Tehnică, Bucureşti, 1970
• Florescu, Viorica: Mecanică cuantică, vol. 1, Reprografia Universităţii din Bucureşti, Facultatea de Fizică, Bucureşti, 1979
• Heisenberg, Werner: Principiile fizice ale teoriei cuantice (traducere din limba germană), Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1969
• Hutten, Ernest H.: Ideile fundamentale ale fizicii (traducere din limba engleză), Editura enciclopedică română, Bucureşti, 1970
• Landau, Lev Davidovici şi Lifşiţ, E.M. : Mecanică cuantică (traducere din limba rusă), Editura Tehnică, Bucureşti, 1965
• Messiah, Albert: Mecanică cuantică, vol. I. (traducere din limba franceză), Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1973
• Novacu, Valeriu: Bazele teoretice ale fizicii, vol.1. Editura Tehnică, Bucureşti, 1990
• Ţiţeica, Şerban: Mecanică cuantică, Editura Academiei R.S.R., Bucureşti, 1984

în alte limbi

• en Griffiths, David J.: Introduction to Quantum Mechanics ( ed.2), Ed.Prentice Hall, 2004, ISBN: 0-13-805326-X
• en Liboff, Richard L.: Introductory Quantum Mechanics, Ed. Addison-Wesley, 2002, ISBN: 0-8053-8714-5
• fr Messiah, Albert: Mécanique quantique, Ed. Dunod, 1995, Paris, ISBN: 9782100073610
• de Planck, Max: Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum, Verhandlungen der Deutschen physikalischen Gesellschaft 2, 1900, Nr. 17, pag. 237 - 245, Berlin (vorgetragen am 14.12.1900).
• en Wichmann, H Eyvind: Quantum Phisics, Education Devlopment Center, Inc, 1971, Newton Massachusetts