Adunarea matricilor
În matematică adunarea matricilor este operația de a aduna două matrici prin adunarea elementelor corespunzătoare.
Pentru un vector, adunarea a două matrici ar avea efectul geometric de a aplica fiecare transformare a matricei separat pe , și apoi adunarea vectorilor transformați.
Totuși, există și alte operații care ar putea fi considerate adunări pentru matrici, cum ar fi suma directă și suma Kronecker.
Suma pe elemente
modificarePentru a putea fi adunate, două matrici trebuie să aibă același număr de linii și coloane.[1] În acest caz, suma a două matrici A și B va fi o matrice care are același număr de linii și coloane ca și A și B. Suma lui A și B, notată A + B, se calculează prin adunarea elementelor corespunzătoare din A și B:
Sau, mai concis (presupunând că A + B = C):[2][3]
De exemplu:
Similar, este posibilă și scăderea unei matrice din alta, atâta timp cât au aceleași dimensiuni. Diferența dintre A și B, notată A − B, se calculează prin scăderea elementelor lui B din elementele corespunzătoare ale lui A și are aceleași dimensiuni ca și A și B. De exemplu:
Proprietăți ale adunării pe elemente
modificareAsociativitate. Adunarea este asociativă, adică:
Comutativitate. Adunarea este comutativă, adică:
Element neutru. Adunarea admite matricea nulă ca element neutru, adică:
- astfel încât
Element opus. Orice matrice are un opus, notat astfel încât:
Suma directă
modificareO altă operație, care este folosită mai rar, este suma directă (notată cu ⊕). Suma Kronecker se notează și ea cu ⊕; contextul ar trebui să clarifice despre ce este vorba. Suma directă a oricărei perechi de matrici A cu dimensiunea m × n și B cu dimensiunea p × q este o matrice de dimensiune (m + p) × (n + q), definită drept:
De exemplu,
Suma directă a matricilor este un tip particular de matrice de blocuri. În particular, suma directă a matricelor pătrate este o matrice de blocuri diagonală.
Matricea de adiacență a reuniunii de grafuri (sau multigrafuri) disjuncte este suma directă a matricilor de adiacență ale acestora. Orice element din suma directă(d) a două spații vectoriale de matrici poate fi reprezentat ca o sumă directă a două matrici.
În general, suma directă a n matrici este:[4]
unde zerourile sunt de fapt blocuri de zerouri (adică matrici nule).
Suma Kronecker
modificareSuma Kronecker este diferită de suma directă, dar se notează și ea cu ⊕. Acesta este definită folosind produsul Kronecker ⊗ și adunarea normală a matricilor. Dacă A este o matrice n × n, B este o matrice m × m și este matricea unitate k × k, atunci suma Kronecker este definită prin:
Note
modificare- ^ en Elementary Linear Algebra by Rorres Anton 10e p53
- ^ en Weisstein, Eric W. „Matrix Addition”. mathworld.wolfram.com (în engleză). Accesat în .
- ^ en „Finding the Sum and Difference of Two Matrices | College Algebra”. courses.lumenlearning.com. Accesat în .
- ^ Lipschutz, Lipson, 2017
Bibliografie
modificare- en Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (). Schaum's Outline of Linear Algebra (ed. 6). McGraw-Hill Education. ISBN 9781260011449.
- en Riley, K.F.; Hobson, M.P.; Bence, S.J. (). Mathematical methods for physics and engineering (ed. 3). Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511810763. ISBN 978-0-521-86153-3.