Matrice de blocuri

matrice formată din matrici mai mici, numite blocuri

În matematică o matrice de blocuri[1] este o matrice care este interpretată ca fiind împărțită în secțiuni numite blocuri sau submatrici.[2] Intuitiv, o matrice interpretată ca o matrice de blocuri poate fi vizualizată ca matricea originală cu o colecție de linii orizontale și verticale care o despart sau partiționează, într-o colecție de matrici mai mici.[3] Orice matrice poate fi interpretată ca o matrice de blocuri în unul sau mai multe moduri, fiecare interpretare fiind definită de modul în care sunt împărțite rândurile și coloanele sale.

Această noțiune poate fi făcută mai precisă pentru o matrice M (n × m) prin partiționarea lui n într-o colecție de grupuri linie, apoi partiționarea lui m într-o colecție de grupuri coloane. Matricea originală este apoi considerată „totalul” acestor grupuri, în sensul că elementul al matricei originale corespunde bijectiv cu un anumit element cu cu offsetul⁠(d) , unde grupuri linie și grupuri coloană.

Algebra matricilor de blocuri apare în general în biproduse din categoriile matricilor.[4]

 
O matrice 168×168 cu blocuri 12×12, 12×24, 24×12, și 24×24. Elementele albastre sunt nenule, iar cele gri sunt zerouri.

Matricea

 

poate fi partiționată în patru blocuri 2×2

 

matricea partiționată poate fi scrisă:

 

Înmulțirea matricilor de blocuri

modificare

Este posibil să se utilizeze un produs de matrici partiționate în blocuri care implică numai algebră pe submatricile factorilor. Totuși, partiționarea factorilor nu este arbitrară și necesită partiții compatibile (în engleză conformable)[5] în cele două matrici   și   asfel încât toate produsele matriciale ale submatricilor care se înmulțesc să fie definite.[6] Fiind dată matricea   cu partiții de   linii și   coloane

 

și matricea   cu partiții de   linii și   coloane

 

care sunt compatible cu partițiile lui  , produsul matricial

 

poate fi efectuat pe blocuri, obținând o matrice   cu partiții de   linii și   coloane. Matricile din matricea rezultată   sunt calculate prin înmulțirea:

 

Altă notație este notația Einstein⁠(d), care implică sumarea pentru inidicii care se repetă:

 

Inversarea matricilor de blocuri

modificare

Dacă o matrice este împărțită în patru blocuri, aceasta poate fi inversată pe blocuri după cum urmează:

 

unde A și D sunt blocuri pătrate de dimensiune oarecare, iar B și C sunt compatibile cu acestea ca partișionare. În plus, A și complementara Schur a lui A în P: P/A = DCA−1B trebuie să fie inversabile.[7]

Echivalent, prin permutarea blocurilor:

 

Aici D și complementara Schur a lui D în P: P/D = ABD−1C trebuie să fie inversabile.

Dacă A și D sunt ambele inversabile, atunci:

 

Conform identității Weinstein–Aronszajn, una dintre cele două matrice din matricea diagonală de blocuri este inversabilă dacă și numai dacă și cealaltă este.

Determinantul unei matrice de blocuri

modificare

Formula pentru determinantul unei matrici   de mai sus continuă să fie valabilă, în baza unor ipoteze suplimentare adecvate, pentru o matrice compusă din patru submatrici A, B, C, D. Cea mai ușoară astfel de formulă, care poate fi demonstrată folosind fie formula Leibniz, fie o factorizare care implică complementul Schur⁠(d), este

 

Dacă   este inversabilă (și, la fel, dacă   este inversabilă[8]), se obține

 

Dacă   este o matrice  , aceasta se simplifică la  .

Dacă blocurile sunt matrici pătrate de aceeași dimensiune, sunt valabile și alte formule. De exemplu, dacă   și   pot comuta (adică,  ), atunci[9]

 

Această formulă a fost generalizată la matrici cu mai mult de   blocuri, din nou în condiții de comutativitate adecvate între blocurile individuale.[10]

Pentru   și  , este valabilă următoarea formulă (chiar și dacă   și   nu pot comuta):

 

Matrice de blocuri diagonală

modificare

O matrice de blocuri diagonală este o matrice de blocuri pătrată astfel încât blocurile de pe diagonala principală sunt matrici pătrate și toate blocurile din afara diagonalei sunt matrici nule. Adică, o matrice de blocuri diagonală A are forma:

 

unde Ak este o matrice pătrată pentru orice k = 1, ... , n. Altfel spus, matricea A este suma directă a A1, ... , An. Ea poate fi notată și prin A1A2 ⊕ ... ⊕ An sau diag(A1, A2, ..., An) (ultima fiind aceeași formalizare folosită pentru o matrice diagonală). Trivial, orice matrice pătrată poate fi considerată o matrice de blocuri diagonală cu un singur bloc.

Pentru determinant și urmă, sunt valabile următoarele proprietăți:

 

O matrice de blocuri diagonală este inversabilă dacă și numai dacă fiecare dintre blocurile sale de pe diagonala principală sunt inversabile, iar în acest caz inversa sa este o altă matrice de blocuri diagonală dată de

 

Vectorii și valorile proprii ale   sunt, simplu, cele ale matricilor   combinate.

Matrice de blocuri tridiagonală

modificare

O matrice de blocuri tridiagonală este o altă matrice de blocuri particulară, care este și ea o matrice pătrată, având matrici pătrate (blocuri) pe diagonala inferioară, diagonala principală și diagonala superioară, toate celelalte blocuri fiind matrice nule. Este în esență o matrice tridiagonală, dar are submatrici în locurile scalarilor. O matrice de blocuri tridiagonală A are forma:

 

unde Ak, Bk și Ck sunt submatrici pătrate ale diagonalei inferioare, principale și, respectiv, superioară.

Matricile tridiagonale de blocuri sunt adesea întâlnite la soluționarea numerică a problemelor de inginerie (de exemplu, mecanica fluidelor numerică). Sunt disponibile metode numerice optimizate pentru descompunerea LU⁠(d) și, prin urmare, algoritmi de soluționare eficienți pentru sistemele de ecuații cu o matrice de blocuri tridiagonală ca matrice a coeficienților. Algoritmul matricei tridiagonale⁠(d), folosit pentru rezolvarea eficientă a sistemelor de ecuații care are matricea coeficienților tridiagonală poate fi aplicat și folosind operații cu matrice de blocuri tridiagonale.

Matrice de blocuri Toeplitz

modificare

O matrice de blocuri Toeplitz este o altă matrice de blocuri particulară, care conține blocuri care se repetă pe diagonalele matricei, deoarece o matrice Toeplitz are elemente care se repetă pe diagonală.

O matrice de blocuri Toeplitz are forma:

 

Transpusa matricei de blocuri

modificare

O formă particulară de matrice transpusă poate fi definită și pentru matricile de blocuri, în care blocurile individuale sunt reordonate, dar nu sunt transpuse. Fie   o matrice de blocuri   cu blocuri  . Transpusa de blocuri a lui   este matricea de blocuri   cu   blocuri  .[11]

Ca și în cazul operatorului urmă convențional, transpusa de blocuri este o aplicație liniară astfel încât  . Totuși, în general, proprietatea   nu este valabilă decât dacă blocurile   și   pot comuta.

Suma directă

modificare

Pentru orice matrici arbitrare A (m × n) și B (p × q), suma directă a lui A și B, notată cu   este definită drept

 

De exemplu,

 

Această operație se generalizează în mod natural la matrici cu dimensiuni arbitrare (cu condiția ca A și B să aibă același număr de dimensiuni).

Orice element din suma directă a două spații vectoriale de matrice poate fi reprezentat ca o sumă directă a două matrici.

Aplicații

modificare

Având în vedere interpretarea via transformări liniare și sume directe, există un tip particular de matrice de blocuri care apare pentru matricele pătrate (cazul m = n). Pentru aceștia se poate presupune o interpretare ca fiind un endomorfism a unui spațiu n-dimensional V. Structura blocului în care gruparea liniilor și coloanelor este aceeași este importantă deoarece corespunde existenței unei singure descompuneri în sumă directă pe V. În acest caz, de exemplu, blocurile de pe diagonale sunt toate pătrate. Acest tip de structură este necesar pentru a descrie forma normală Jordan⁠(d).

Această tehnică este folosită pentru a reduce calculele matricilor, dezvoltările pe coloane-linii și multe aplicații din informatică, inclusiv proiectarea circuitelor integrate VLSI⁠(d). Un exemplu este algoritmul Strassen⁠(d) pentru înmulțirea rapidă a matricilor, precum și codificarea Hamming(7,4)⁠(d) pentru detectarea erorilor și recuperarea informației în transmisiile de date.

Tehnica poate fi folosită și acolo unde elementele matricelor A, B, C și D nu necesită toate același corp pentru elementele lor. De exemplu, matricea A poate fi peste corpul numerelor complexe, în timp ce matricea D poate fi peste corpul numerelor reale. Acest lucru poate duce la operații valide care implică matrice, simplificând în același timp operațiile în cadrul uneia dintre matrice. De exemplu, dacă D are doar elemente reale, găsirea inversei sale necesită mai puține calcule decât dacă elementele sunt complexe. Dar numerele reale fac parte dintr-un subcorp al numerelor complexe (mai mult, poate fi considerat o proiecție), astfel încât operațiile cu matrice pot fi bine definite.

  1. ^ Tiberiu Trif, Forma canonică Jordan, Universitatea Babeș-Bolyai, accesat 2023-04-18
  2. ^ en Eves, Howard (). Elementary Matrix Theory  (ed. reprint). New York: Dover. p. 37. ISBN 0-486-63946-0. Accesat în . We shall find that it is sometimes convenient to subdivide a matrix into rectangular blocks of elements. This leads us to consider so-called partitioned, or block, matrices. 
  3. ^ en Anton, Howard (). Elementary Linear Algebra (ed. 7th). New York: John Wiley. p. 30. ISBN 0-471-58742-7. A matrix can be subdivided or partitioned into smaller matrices by inserting horizontal and vertical rules between selected rows and columns. 
  4. ^ en Macedo, H.D.; Oliveira, J.N. (). „Typing linear algebra: A biproduct-oriented approach”. Science of Computer Programming. 78 (11): 2160–2191. arXiv:1312.4818 . doi:10.1016/j.scico.2012.07.012. 
  5. ^ en Eves, Howard (). Elementary Matrix Theory  (ed. reprint). New York: Dover. p. 37. ISBN 0-486-63946-0. Accesat în . A partitioning as in Theorem 1.9.4 is called a conformable partition of A and B. 
  6. ^ en Anton, Howard (). Elementary Linear Algebra (ed. 7th). New York: John Wiley. p. 36. ISBN 0-471-58742-7. ...provided the sizes of the submatrices of A and B are such that the indicated operations can be performed. 
  7. ^ en Bernstein, Dennis (). Matrix Mathematics. Princeton University Press. p. 44. ISBN 0-691-11802-7. 
  8. ^ en Taboga, Marco (2021). "Determinant of a block matrix", Lectures on matrix algebra.
  9. ^ en Silvester, J. R. (). „Determinants of Block Matrices” (PDF). Math. Gazette. 84 (501): 460–467. doi:10.2307/3620776. JSTOR 3620776. Arhivat din original (PDF) la . Accesat în . 
  10. ^ en Sothanaphan, Nat (ianuarie 2017). „Determinants of block matrices with noncommuting blocks”. Linear Algebra and Its Applications. 512: 202–218. arXiv:1805.06027 . doi:10.1016/j.laa.2016.10.004. 
  11. ^ en Mackey, D. Steven (). Structured linearizations for matrix polynomials (PDF) (Teză). University of Manchester. ISSN 1749-9097. OCLC 930686781. 

Bibliografie

modificare

Vezi și

modificare