Un număr întreg
se numește cel mai mare divizor comun (prescurtat c.m.m.d.c.) a numerelor întregi
și
dacă și numai dacă pentru orice divizor comun
al lui
și
,
este un divizor al lui
.
Este numit c.m.m.d.c. un număr întreg
având proprietățile:
și
(
este divizor comun al numerelor
și
);
- orice alt divizor comun
al numerelor
și
divide pe
(adică (
și
)).
- Teorema:
Fie
și
două numere întregi. Atunci există exact două numere întregi opuse,
și
, cu statut de c.m.m.d.c. al numerelor
și
.
Observație: Numărul pozitiv dintre cele două se noteaza
, iar valoarea sa se calculează folosind algoritmul lui Euclid.
- Teorema:
Fie
și
două numere întregi și
un c.m.m.d.c. al lor (oricare din cei doi). Atunci există două numere întregi,
și
, astfel încât


.
- Exemplu:
Dacă
, atunci există numerele întregi
și
, astfel încât 



.
Observatii:
Două numere întregi
și
se numesc prime între ele dacă
. Deducem că două numere întregi
și
sunt prime între ele dacă și numai dacă există două numere întregi,
și
, astfel încât


.[1]
- Algoritmul privind calculul c.m.m.d.c.:
- Se descompun numerele în factori primi;
- Se aleg factorii primi comuni (o singură dată fiecare), cu exponentul cel mai mic și se înmulțesc între ei.
Produsul obținut este c.m.m.d.c. căutat.
- Exemplu:
,
,
,
Deci:

Prin urmare:
