Deschide meniul principal

Constanta Euler–Mascheroni

În analiza matematică și în teoria numerelor, Constanta Euler–Mascheroni (de asemenea numită și Constanta lui Euler) este o constantă matematică, de obicei notată cu consoana mică de tipar grecească (gamma). Poartă numele matematicienilor Leonhard Euler și Lorenzo Mascheroni.

Numere iraționale și probabil iraționale:

γφeπ

Binar 0.100100111100010001...
Decimal 0.5772156649015328606065...
Hexadecimal 0.93C467E37DB0C7A4D1BE...
fracție continuată [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, … ]

(Această fracție continuată nu este periodică.)

Este definită ca limita diferenței dintre seriile armonice și logaritmul natural:

Valoarea ei numerică, estimată până la cea de-a 50-a zecimală, este:

0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 … (șirul A001620 în OEIS).

nu trebuie confundată cu baza logaritmului natural, e, care este câteodată numită numărul lui Euler.

IstorieModificare

Constanta a apărut pentru prima dată într-un articol din 1735 de matematicianul elvețian Leonhard Euler, întitulat De Progressionibus harmonicis observationes (Eneström Index 43). Euler a folosit notațiile C și O pentru constanta lui. În 1790, matematicianul italian Lorenzo Mascheroni a folosit notațiile A sau a pentru constanta lui Euler. Notația γ nu apare nicăieri în notele lui Euler sau ale lui Mascheroni, și a fost aleasă mai târziu datorită conexiunii constantei cu Funcția gamma. De exemplu, matematicianul german Carl Anton Bretschneider a folosit notația γ în 1835.

ProprietățiModificare

Numărul γ nu a fost descris ca un număr algebric sau transcendent. De fapt, nici măcar nu se știe cu exactitate dacă este irațional. Analiza fracției continuate demonstrează că dacă γ este irațional, numitorul lui trebuie să fie mai mare decât 10242080. Ubicuitatea numărului γ este arătat de numărul mare de ecuații (prezentate mai jos) face iraționalitatea constantei γ un subiect major în matematică.

For more equations of the sort shown below, see Gourdon and Sebah (2002).

Relația funcției GammaModificare

γ este asemănător cu Funcția Digamma (Ψ), și de aici, derivatele Funcțiilor Gamma (Γ), însă ambele funcții sunt evaluate la 1. Astfel:

 

Aceasta este egală cu limitele:

 

Alte rezultate ale limitelor sunt (Krämer, 2005):

 
 

O limită asemănătoare cu Funcția beta (exprimată în termenii Funcțiilor Gamma) este

 
 

Relația cu Funcția ZetaModificare

γ poate fi de asemenea exprimată ca o sumă infinită ale cărei termeni includ Funcția Zeta Riemann evaluată la un întreg pozitiv:

 

Alte serii asemănătoare cu funcția zeta includ:

 

Termenul eronat din ultima ecuație este o funcție care descrește rapid, a lui n. Ca rezultat, formula este gata pentru computația eficientă a constanei la o mare precizie.

Alte limite interesante egale cu constanta Euler–Mascheroni sunt limitele antisimetrică (Sondow, 1998):

 

și

 

Foarte asemănătaore cu aceastea sunt seriile zeta raționale. Prin excluderea primilor termeni ai seriilor de mai jos, se obține o aproximare pentru limita clasică a seriilor:

 

unde ζ(s,k) este Funcția zeta Hurwitz. Suma acestei ecuații include numerele armonice, Hn. Extinzând unii termeni în funcția zeta Hurwitz rezultă:

 , unde  

IntegraleModificare

γ este egal cu valoarea unui număr definit integral:

 

Integralele definite în care γ este inclus:

 
 

Numai o ecuație folosește γ cu un caz special al Formulei lui Hadjicostas ca o integrală dublă cu seriile echivalente :

 

O comparație interesantă de J. Sondow (2005) este dubla integrală si seriile alternate:

 

Aceasta arată că   poate fi abordată ca o "Constanta alternativă Euler".

Cele 2 constante sunt de asemenea asemănătoare cu următoarele 2 serii:

 
 

unde N1(n) și N0(n) sunt numerele 1 și 0, respectiv, în baza 2 a extinderii lui n.

Deasemenea, aceasta este constanta Catalană din 1875: