Constanta Euler–Mascheroni

constantă matematică, de obicei notată cu consoana mică de tipar grecească γ, care este limita diferenței dintre seriile armonice și logaritmul natural

În analiza matematică și în teoria numerelor, Constanta Euler–Mascheroni (de asemenea numită și Constanta lui Euler) este o constantă matematică, de obicei notată cu consoana mică de tipar grecească (gamma). Poartă numele matematicienilor Leonhard Euler și Lorenzo Mascheroni.

Numere iraționale și probabil iraționale:

γφeπ

Binar 0.100100111100010001...
Decimal 0.5772156649015328606065...
Hexadecimal 0.93C467E37DB0C7A4D1BE...
fracție continuă [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, … ]

(Această fracție continuată nu este periodică.)

Este definită ca limita diferenței dintre seriile armonice și logaritmul natural:

Valoarea ei numerică, estimată până la cea de-a 50-a zecimală, este:

0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 … Șirul A001620 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS).

nu trebuie confundată cu baza logaritmului natural, e, care este câteodată numită numărul lui Euler.

Constanta a apărut pentru prima dată într-un articol din 1735 de matematicianul elvețian Leonhard Euler, întitulat De Progressionibus harmonicis observationes (Eneström Index 43). Euler a folosit notațiile C și O pentru constanta lui. În 1790, matematicianul italian Lorenzo Mascheroni a folosit notațiile A sau a pentru constanta lui Euler. Notația γ nu apare nicăieri în notele lui Euler sau ale lui Mascheroni, și a fost aleasă mai târziu datorită conexiunii constantei cu funcția gamma. De exemplu, matematicianul german Carl Anton Bretschneider a folosit notația γ în 1835.

Proprietăți

modificare

Numărul γ nu a fost descris ca un număr algebric sau transcendent. De fapt, nici măcar nu se știe cu exactitate dacă este irațional. Analiza fracției continuate demonstrează că dacă γ este rațional, numitorul lui trebuie să fie mai mare decât 10242080. Ubicuitatea numărului γ este arătat de numărul mare de ecuații (prezentate mai jos) face iraționalitatea constantei γ un subiect major în matematică.

Pentru mai multe ecuații de tipul prezentat mai jos, a se vedea Gourdon and Sebah (2002).

Relația funcției Gamma

modificare

γ este asemănător cu funcția Digamma (Ψ), și de aici, derivatele funcțiilor Gamma (Γ), însă ambele funcții sunt evaluate la 1. Astfel:

 

Aceasta este egală cu limitele:

 

Alte rezultate ale limitelor sunt (Krämer, 2005):

 
 

O limită asemănătoare cu funcția beta (exprimată în termenii funcțiilor Gamma) este

 
 

Relația cu funcția Zeta

modificare

γ poate fi de asemenea exprimată ca o sumă infinită ale cărei termeni includ funcția Zeta Riemann evaluată la un întreg pozitiv:

 

Alte serii asemănătoare cu funcția zeta includ:

 

Termenul eronat din ultima ecuație este o funcție care descrește rapid, a lui n. Ca rezultat, formula este gata pentru calculul eficient al constantei cu o mare precizie.

Alte limite interesante egale cu constanta Euler–Mascheroni sunt limitele antisimetrice (Sondow, 1998):

 

și

 

Foarte asemănătoare cu acestea sunt seriile zeta raționale. Prin excluderea primilor termeni ai seriilor de mai jos, se obține o aproximare pentru limita clasică a seriilor:

 

unde ζ(s,k) este funcția zeta Hurwitz. Suma acestei ecuații include numerele armonice, Hn. Extinzând unii termeni în funcția zeta Hurwitz rezultă:

 , unde  

Integrale

modificare

γ este egal cu valoarea unui număr definit integral:

 

Integralele definite în care γ este inclus:

 
 

Numai o ecuație folosește γ cu un caz special al Formulei lui Hadjicostas ca o integrală dublă cu seriile echivalente :

 

O comparație interesantă de J. Sondow (2005) este dubla integrală si seriile alternate:

 

Aceasta arată că   poate fi abordată ca o "Constanta alternativă Euler".

Cele 2 constante sunt de asemenea asemănătoare cu următoarele 2 serii:

 
 

unde N1(n) și N0(n) sunt numerele 1 și 0, respectiv, în baza 2 a extinderii lui n.

De asemenea, aceasta este constanta Catalan din 1875: