Fracție continuă

În matematică, o fracție continuă este o expresie obținută în urma unui proces iterativ de reprezentare a unui număr ca suma unor numere întregi și inverse ale unor întregi.

Este de forma:

$x=a_{0}+{\frac {b_{1}}{a_{1}+{\frac {b_{2}}{a_{2}+{\frac {b_{3}}{a_{3}+\ldots }}}}}},\!$

unde $a_{0},a_{1},\ldots \!$ și $b_{1},b_{2},\ldots \!$ sunt numere întregi.

Acest tip de fracții au fost considerate pentru prima dată de către Wallis în lucrarea sa, Arithmetica infinitorum din 1653.

Orice $x\in \mathbb {R} \!$ se poate reprezenta ca o fracție continuă:

$x=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+\ldots }}}}=[a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ],\!$

unde $a_{0}\in \mathbb {Z} \!$ și $a_{i}\in \mathbb {N} \!$ pentru orice $i\geq 1.\!$

Numerele raționale se reprezintă ca fracții continue finite, folosind algoritmul lui Euclid. O fracție continuă infinită se numește periodică dacă există numerele naturale nenule $k,m\!$ astfel ca $a_{k+i+j}=a_{k+j},\;\forall i\in \mathbb {N} ,\;\forall j\in \{1,2,\ldots ,m\}.\!$ În acest caz, fracția continuă se reprezintă sub forma

${\bigg [}a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k},{\overline {a_{k+1}}},a_{k+2},\ldots ,a_{k+m}{\bigg ]}.\!$

O rădăcină reală irațională a unui polinom de gradul doi din $\mathbb {Z} [X]\!$ se numește irațională pătratică. Un număr real se reprezintă printr-o fracție continuă dacă și numai dacă este o irațională pătratică (Euler, Lagrange). Dacă $r\in \mathbb {Q} ,\;r>1,\!$ nu este un pătrat perfect, atunci:

${\sqrt {r}}={\bigg [}a_{0};{\overline {a_{1},a_{2},\ldots a_{2},a_{1},2a_{0}}}{\bigg ]},\!$

(Lagrange, Galois). În particular, dacă $D\in \mathbb {N} ^{*}\!$ este liber de pătrate, atunci ${\sqrt {D}}\!$ se reprezintă printr-o fracție continuă, având perioada de lungime m, astfel încât primele $m-1\!$ câturi parțiale formează un șir palindromic.

Lungimea $l({\sqrt {D}})\!$ a perioadei fracției continue care reprezintă pe ${\sqrt {D}}\!$ este mai mică decât $2D,\!$ iar câturile parțiale sunt mai mici decât $2{\sqrt {D}}\!$ (Lagrange). Mai recent s-a arătat că $l({\sqrt {D}})={\mathcal {O}}({\sqrt {D}}\ln D),\!$ unde simbolul ${\mathcal {O}}\!$ înseamnă asimptotic proporțional cu.