În analiza matematică și în teoria numerelor , Constanta Euler–Mascheroni (de asemenea numită și Constanta lui Euler ) este o constantă matematică , de obicei notată cu consoana mică de tipar grecească
γ
{\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}}
gamma ).
Poartă numele matematicienilor Leonhard Euler și Lorenzo Mascheroni .
Numere iraționale și probabil iraționale : γ – φ – e – π
Binar
0.100100111100010001...
Decimal
0.5772156649015328606065...
Hexadecimal
0.93C467E37DB0C7A4D1BE...
fracție continuă
[0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, … ]
(Această fracție continuată nu este periodică .)
Este definită ca limita diferenței dintre seriile armonice și logaritmul natural :
γ
=
lim
n
→
∞
(
∑
k
=
1
n
1
k
−
ln
(
n
)
)
=
∫
1
∞
(
1
⌊
x
⌋
−
1
x
)
d
x
.
{\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n)\right)=\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx.}
Valoarea ei numerică, estimată până la cea de-a 50-a zecimală, este:
0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 … Șirul A001620 Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi
γ
{\displaystyle \gamma }
logaritmului natural , e numărul lui Euler .
Constanta a apărut pentru prima dată într-un articol din 1735 de matematicianul elvețian Leonhard Euler , întitulat De Progressionibus harmonicis observationes (Eneström Index 43). Euler a folosit notațiile C și O pentru constanta lui. În 1790, matematicianul italian Lorenzo Mascheroni a folosit notațiile A sau a pentru constanta lui Euler. Notația γ nu apare nicăieri în notele lui Euler sau ale lui Mascheroni, și a fost aleasă mai târziu datorită conexiunii constantei cu funcția gamma . De exemplu, matematicianul german Carl Anton Bretschneider a folosit notația γ în 1835.
Numărul γ nu a fost descris ca un număr algebric sau transcendent . De fapt, nici măcar nu se știe cu exactitate dacă este irațional . Analiza fracției continuate demonstrează că dacă γ este rațional , numitorul lui trebuie să fie mai mare decât 10242080 . Ubicuitatea numărului γ este arătat de numărul mare de ecuații (prezentate mai jos) face iraționalitatea constantei γ un subiect major în matematică.
Pentru mai multe ecuații de tipul prezentat mai jos, a se vedea Gourdon and Sebah (2002).
γ este asemănător cu funcția Digamma (Ψ), și de aici, derivatele funcțiilor Gamma (Γ), însă ambele funcții sunt evaluate la 1. Astfel:
−
γ
=
Γ
′
(
1
)
=
Ψ
(
1
)
.
{\displaystyle \ -\gamma =\Gamma '(1)=\Psi (1).}
Aceasta este egală cu limitele:
−
γ
=
lim
z
→
0
{
Γ
(
z
)
−
1
z
}
=
lim
z
→
0
{
Ψ
(
z
)
+
1
z
}
.
{\displaystyle -\gamma =\lim _{z\to 0}\left\{\Gamma (z)-{\frac {1}{z}}\right\}=\lim _{z\to 0}\left\{\Psi (z)+{\frac {1}{z}}\right\}.}
Alte rezultate ale limitelor sunt (Krämer, 2005):
lim
z
→
0
1
z
{
1
Γ
(
1
+
z
)
−
1
Γ
(
1
−
z
)
}
=
2
γ
{\displaystyle \lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left\{{\frac {1}{\Gamma (1+z)}}-{\frac {1}{\Gamma (1-z)}}\right\}=2\gamma }
lim
z
→
0
1
z
{
1
Ψ
(
1
−
z
)
−
1
Ψ
(
1
+
z
)
}
=
π
2
3
γ
2
.
{\displaystyle \lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left\{{\frac {1}{\Psi (1-z)}}-{\frac {1}{\Psi (1+z)}}\right\}={\frac {\pi ^{2}}{3\gamma ^{2}}}.}
O limită asemănătoare cu funcția beta (exprimată în termenii funcțiilor Gamma ) este
γ
=
lim
n
→
∞
{
Γ
(
1
n
)
Γ
(
n
+
1
)
n
1
+
1
/
n
Γ
(
2
+
n
+
1
n
)
−
n
2
n
+
1
}
.
{\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left\{{\frac {\Gamma ({\frac {1}{n}})\Gamma (n+1)\,n^{1+1/n}}{\Gamma (2+n+{\frac {1}{n}})}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right\}.}
γ
=
lim
m
→
∞
∑
k
=
1
m
(
m
k
)
(
−
1
)
k
k
ln
(
Γ
(
k
+
1
)
)
.
{\displaystyle \gamma =\lim \limits _{m\to \infty }\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\ln(\Gamma (k+1)).}
γ poate fi de asemenea exprimată ca o sumă infinită ale cărei termeni includ funcția Zeta Riemann evaluată la un întreg pozitiv:
γ
=
∑
m
=
2
∞
(
−
1
)
m
ζ
(
m
)
m
=
ln
(
4
π
)
+
∑
m
=
2
∞
(
−
1
)
m
ζ
(
m
)
2
m
−
1
m
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{m}}\\&=\ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)+\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{2^{m-1}m}}.\end{aligned}}}
Alte serii asemănătoare cu funcția zeta includ:
γ
=
3
2
−
ln
2
−
∑
m
=
2
∞
(
−
1
)
m
m
−
1
m
[
ζ
(
m
)
−
1
]
=
lim
n
→
∞
[
2
n
−
1
2
n
−
ln
n
+
∑
k
=
2
n
(
1
k
−
ζ
(
1
−
k
)
n
k
)
]
=
lim
n
→
∞
[
2
n
e
2
n
∑
m
=
0
∞
2
m
n
(
m
+
1
)
!
∑
t
=
0
m
1
t
+
1
−
n
ln
2
+
O
(
1
2
n
e
2
n
)
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\frac {3}{2}}-\ln 2-\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\,{\frac {m-1}{m}}[\zeta (m)-1]\\&=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2\,n-1}{2\,n}}-\ln \,n+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}}\right)\right]\\&=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {2^{m\,n}}{(m+1)!}}\sum _{t=0}^{m}{\frac {1}{t+1}}-n\,\ln 2+O\left({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\right)\right].\end{aligned}}}
Termenul eronat din ultima ecuație este o funcție care descrește rapid, a lui n . Ca rezultat, formula este gata pentru calculul eficient al constantei cu o mare precizie.
Alte limite interesante egale cu constanta Euler–Mascheroni sunt limitele antisimetrice (Sondow, 1998):
γ
=
lim
s
→
1
+
∑
n
=
1
∞
(
1
n
s
−
1
s
n
)
=
lim
s
→
1
(
ζ
(
s
)
−
1
s
−
1
)
{\displaystyle \gamma =\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)=\lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)}
și
γ
=
lim
n
→
∞
1
n
∑
k
=
1
n
(
⌈
n
k
⌉
−
n
k
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right).\end{aligned}}}
Foarte asemănătoare cu acestea sunt seriile zeta raționale . Prin excluderea primilor termeni ai seriilor de mai jos, se obține o aproximare pentru limita clasică a seriilor:
γ
=
∑
k
=
1
n
1
k
−
ln
n
−
∑
m
=
2
∞
ζ
(
m
,
n
+
1
)
m
{\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n-\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {\zeta (m,n+1)}{m}}}
unde ζ(s ,k ) este funcția zeta Hurwitz . Suma acestei ecuații include numerele armonice , H n
H
n
=
ln
n
+
γ
+
1
2
n
−
1
12
n
2
+
1
120
n
4
−
ε
{\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\varepsilon }
0
<
ε
<
1
252
n
6
.
{\displaystyle 0<\varepsilon <{\frac {1}{252n^{6}}}.}
γ este egal cu valoarea unui număr definit integral:
γ
=
−
∫
0
∞
e
−
x
ln
x
d
x
=
−
∫
0
1
ln
ln
(
1
x
)
d
x
=
∫
0
∞
(
1
e
x
−
1
−
1
x
e
x
)
d
x
=
∫
0
1
(
1
ln
x
+
1
1
−
x
)
d
x
=
∫
0
∞
(
1
1
+
x
k
−
e
−
x
)
d
x
x
,
k
>
0.
{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=-\int _{0}^{\infty }{e^{-x}\ln x}\,dx\\&=-\int _{0}^{1}\ln \ln \left({\frac {1}{x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{xe^{x}}}\right)dx=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{\ln x}}+{\frac {1}{1-x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{1+x^{k}}}-e^{-x}\right){\frac {dx}{x}},\quad k>0.\end{aligned}}}
Integralele definite în care γ este inclus:
∫
0
∞
e
−
x
2
ln
x
d
x
=
−
1
4
(
γ
+
2
ln
2
)
π
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\ln x}\,dx=-{\tfrac {1}{4}}(\gamma +2\ln 2){\sqrt {\pi }}}
∫
0
∞
e
−
x
ln
2
x
d
x
=
γ
2
+
π
2
6
.
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x}\ln ^{2}x}\,dx=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}.}
Numai o ecuație folosește γ cu un caz special al Formulei lui Hadjicostas ca o integrală dublă cu seriile echivalente :
γ
=
∫
0
1
∫
0
1
x
−
1
(
1
−
x
y
)
ln
(
x
y
)
d
x
d
y
=
∑
n
=
1
∞
(
1
n
−
ln
n
+
1
n
)
.
{\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-x\,y)\ln(x\,y)}}\,dx\,dy=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-\ln {\frac {n+1}{n}}\right).}
O comparație interesantă de J. Sondow (2005) este dubla integrală si seriile alternate:
ln
(
4
π
)
=
∫
0
1
∫
0
1
x
−
1
(
1
+
x
y
)
ln
(
x
y
)
d
x
d
y
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
(
1
n
−
ln
n
+
1
n
)
.
{\displaystyle \ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1+x\,y)\ln(x\,y)}}\,dx\,dy=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\left({\frac {1}{n}}-\ln {\frac {n+1}{n}}\right).}
Aceasta arată că
ln
(
4
π
)
{\displaystyle \ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)}
Cele 2 constante sunt de asemenea asemănătoare cu următoarele 2 serii:
∑
n
=
1
∞
N
1
(
n
)
+
N
0
(
n
)
2
n
(
2
n
+
1
)
=
γ
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}=\gamma }
∑
n
=
1
∞
N
1
(
n
)
−
N
0
(
n
)
2
n
(
2
n
+
1
)
=
ln
(
4
π
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)-N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}=\ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)}
unde N 1 (n ) și N 0 (n ) sunt numerele 1 și 0, respectiv, în baza 2 a extinderii lui n .
De asemenea, aceasta este constanta Catalan din 1875:
γ
=
∫
0
1
1
1
+
x
∑
n
=
1
∞
x
2
n
−
1
d
x
.
{\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2^{n}-1}\,dx.}
![{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\frac {3}{2}}-\ln 2-\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\,{\frac {m-1}{m}}[\zeta (m)-1]\\&=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2\,n-1}{2\,n}}-\ln \,n+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}}\right)\right]\\&=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {2^{m\,n}}{(m+1)!}}\sum _{t=0}^{m}{\frac {1}{t+1}}-n\,\ln 2+O\left({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\right)\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c4a5413d5b0a6c08764cd0e62fd121a9012015b)
