Distanța de la un punct la un plan

lungime în geometria în spațiu

În geometria euclidiană distanța de la un punct la un plan este cea mai scurtă distanță de la un punct dat până la orice punct situat pe un plan dat. Distanța este lungimea segmentului care unește punctul cu proiecția sa ortogonală pe plan. Acest punct din plan este piciorul perpendicularei dusă din punct la plan.

Proiecția punctului pe plan poate fi obținută printr-o schimbare de variabile⁠(d) care mută originea pentru a coincide cu punctul dat, apoi determinând punctul din planul care este cel mai apropiat de origine. Punctul rezultat are coordonatele carteziene :

.

Distanța dintre origine și acest punct este .

Transformarea problemei generale în problema distanței față de origine

modificare

Presupunând că se dorește găsirea celui mai apropiat punct din plan de punctul ( ), unde planul este  , se definesc  ,  ,   și  , pentru a obține panul   în urma schimbării de variabile. Acum problema a devenit de a găsi cel mai apropiat punct din acest plan față de origine și distanța acestuia față de origine. Punctul din plan cu coordonatele inițiale poate fi obținut din acest punct folosind relațiile de mai sus între   și  ,   și   și   și  . Distanța în coordonatele inițiale este aceeași cu distanța în coordonatele revizuite.

Reformulare folosind algebra liniară

modificare

Formula pentru cel mai apropiat punct față de origine poate fi exprimată succint folosind notațiile din algebra liniară. Expresia   din definiția unui plan este produsul scalar  , iar expresia   care apare în soluție este pătratul normei,  . Astfel, dacă   este un vector dat, planul poate fi descris ca mulțimea de vectori   pentru care  , iar cel mai apropiat punct din acest plan este vectorul[1][2]

 

Distanța euclidiană de la origine la plan este norma acestui punct

 

De ce acesta este punctul cel mai apropiat

modificare

Atât în formulările prin coordonate, cât și în cele vectoriale, se poate verifica că punctul cel mai apropiat se află în planul dat, prin introducerea coordonatelor punctului în ecuația planului.

Pentru a arăta că este cel mai apropiat de origine punct din plan, se observă că   este un multiplu scalar al vectorului   care definește planul și, prin urmare, este ortogonal cu planul. Astfel, dacă   este un punct oarecare din plan, altul decât  , atunci segmentele de la origine la   și de la   la   formează un triunghi dreptunghic, iar din teorema lui Pitagora distanța de la origine la   este

 .

Deoarece   trebuie să fie un număr pozitiv, această distanță este mai mare decât  , distanța de la origine la  .[2]

Alternativ, este posibil să se rescrie ecuația planului folosind produsele scalare cu   în locul produsului scalar inițial cu   (deoarece acești doi vectori sunt multipli scalari unul ai celuilalt), din care faptul că   este punctul cel mai apropiat devine o consecință imediată a inegalității Cauchy–Schwarz.[1]

Cel mai apropiat punct și distanța dintre un hiperplan și punct arbitrar

modificare

Ecuația vectorială pentru un hiperplan euclidian n-dimensional   printr-un punct   cu vectorul normal   este   sau   unde  .[3] Forma carteziană corespunzătoare este   unde  .[3]

În formă carteziană, cel mai apropiat punct este dat de   pentru   unde

 ,

iar distanța de la   la hiperplan este

 .

Astfel, în   punctul din planul   care este cel mai apropiat de un punct arbitrar   este  , dat de

 

unde

 ,

iar distanța de la punct la plan este

 .
  1. ^ a b en Strang, Gilbert; Borre, Kai (), Linear Algebra, Geodesy, and GPS, SIAM, pp. 22–23, ISBN 9780961408862 
  2. ^ a b en Shifrin, Ted; Adams, Malcolm (), Linear Algebra: A Geometric Approach (ed. 2nd), Macmillan, p. 32, ISBN 9781429215213 
  3. ^ a b en Cheney, Ward; Kincaid, David (). Linear Algebra: Theory and Applications. Jones & Bartlett Publishers. pp. 450,451. ISBN 9781449613525. 

Lectură suplimentară

modificare

Vezi și

modificare