Ecuațiile Newton–Euler

În mecanica clasică ecuațiile Newton–Euler sunt ecuații diferențiale ordinare cvasiliniare vectoriale de ordinul întâi care descriu translația și rotația unui solid rigid.

Tradițional, ecuațiile Newton–Euler sunt gruparea celor două legi ale mișcării lui Euler pentru un corp rigid într-o singură ecuație cu 6 componente, folosind vectori coloană și matrici. Aceste legi leagă mișcarea centrului de masă al unui corp rigid cu suma forțelor și momentelor care acționează asupra corpului rigid.

Sistemul de coordonate cu originea în centrul de masă

În ceea ce privește un sistem de coordonate a cărui origine coincide cu centrul de masă al corpului pentru τ (moment) și un sistem de referință inerțial pentru F (forță), ele pot fi exprimate sub formă matricială ca:

$\left({\begin{matrix}{\mathbf {F} }\\{\boldsymbol {\tau }}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}m{\mathbf {I} _{3}}&0\\0&{\mathbf {I} }_{\rm {cm}}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\mathbf {a} _{\rm {cm}}\\{\boldsymbol {\alpha }}\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}0\\{\boldsymbol {\omega }}\times {\mathbf {I} }_{\rm {cm}}\,{\boldsymbol {\omega }}\end{matrix}}\right),$

unde

F = rezultanta din centrul de masă

m = masa corpului

I₃ = matricea unitate 3×3

a_cm = accelerația centrului de masă

v_cm = viteza centrului de masă (v. mai jos)

τ = momentul rezultantei față de centrul de masă

I_cm = momentul de inerție față de centrul de masă

ω = viteza unghiulară a corpului

α = accelerația unghiulară a corpului

Un sistem de coordonate oarecare

În ceea ce privește un sistem de coordonate situat în punctul P care este atașat de corp și nu coincide cu centrul de masă, ecuațiile iau forma mai complicată:

$\left({\begin{matrix}{\mathbf {F} }\\{\boldsymbol {\tau }}_{\rm {p}}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}m{\mathbf {I} _{3}}&-m[{\mathbf {c} }]^{\times }\\m[{\mathbf {c} }]^{\times }&{\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times }\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\mathbf {a} _{\rm {p}}\\{\boldsymbol {\alpha }}\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}m[{\boldsymbol {\omega }}]^{\times }[{\boldsymbol {\omega }}]^{\times }{\mathbf {c} }\\{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }({\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times })\,{\boldsymbol {\omega }}\end{matrix}}\right),$

unde c este vectorul cu componentele c_x, c_y, c_z de la centrul de masă la P iar ω este vectorul cu componentele ω_x, ω_y, ω_z, exprimați în sistemul de coordonate atașat de corp, iar

$[\mathbf {c} ]^{\times }\equiv \left({\begin{matrix}0&-c_{z}&c_{y}\\c_{z}&0&-c_{x}\\-c_{y}&c_{x}&0\end{matrix}}\right)\qquad \qquad [\mathbf {\boldsymbol {\omega }} ]^{\times }\equiv \left({\begin{matrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\end{matrix}}\right)$

este matricea antisimetrică^⁠(d) a produsului vectorial al matricilor.

Termenii inerțiali sunt conținuți în matricea inerția spațială:

$\left({\begin{matrix}m{\mathbf {I} _{3}}&-m[{\mathbf {c} }]^{\times }\\m[{\mathbf {c} }]^{\times }&{\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times }\end{matrix}}\right),$

în timp ce forțele aparente sunt conținute în termenul:

$\left({\begin{matrix}m{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }{\mathbf {c} }\\{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }({\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times })\,{\boldsymbol {\omega }}\end{matrix}}\right).$

Când centrul de masă nu coincide cu originea sistemului de coordonate (adică când c este diferit de zero), accelerațiile de translație și unghiulare (a și α) sunt cuplate, astfel încât fiecare să fie asociat cu componentele forței și momentului.

Vezi și

• Legile mișcării ale lui Euler
• Ecuațiile lui Euler (solid rigid)
• Forță centrifugă