Formula lui Bretschneider

În geometrie, formula lui Bretschneider calculează aria unui patrulater convex oarecare în funcție de lungimea laturilor acestuia:

Un patrulater convex oarecare

unde a, b, c, d reprezintă laturile, - semiperimetrul, iar și două unghiuri opuse.

A fost descoperită în 1842 de Carl Anton Bretschneider. Formula a fost demonstrată în același an și de Karl Georg Christian von Staudt.

Demonstrație

modificare

Dacă A este aria patrulaterului, avem:

 

Deci:

 

Din teorema cosinusului se obține:

 

și care poate fi rescris ca:

 

Înlocuind în formula de mai sus pentru   rezultă:

 

Aceasta mai poate fi scris ca:

 

Introducem semiperimetrul:

 

de unde

 

de unde rezultă formula lui Bretschneider.

Formule conexe

modificare

Formula lui Bretschneider generalizează formula lui Brahmagupta care la rândul acesteia generalizează formula lui Heron.

Legături externe

modificare