Teorema cosinusului

În geometria plană, teorema cosinusului, cunoscută și sub numele de teorema lui Pitagora generalizată stabilește relația dintre lungimea unei laturi a unui triunghi în funcție de celelalte două laturi ale sale și cosinusul unghiului dintre ele. A fost demonstrată de Al-Kashi.

EnunțModificare

Într-un triunghi oarecare pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi minus de două ori produsul lor multiplicat cu cosinusul unghiului dintre ele.

Formula:

 
 

sau:

 

unde AB=c, AC=b și BC=a sunt laturile triunghiului ABC.

Demonstrație bazată pe teorema lui PitagoraModificare

Se construiește înălțimea din unul din vârfurile laturii  , la fel ca în figura alăturată.[1]. Fără a restrânge generalitatea, se construiește și înălțimea opusă laturii  . Se formează astfel două triunghiuri dreptunghice. În triunghiul având ca ipotenuză latura  , se aplică teorema lui Pitagora:

 ,

ceea ce este echivalent cu formula enunțată.

NoteModificare

  1. ^ Küstner, Hellwitch, Kästner, Petite encyclopédie des mathématiques, Édition Didier, 1980, ch 11-2, p 265