Teorema lui Stewart

În geometrie, Teorema lui Stewart furnizează o relație între lungimile laturilor unui triunghi și lungimea segmentului dintr-un vârf la un punct de pe latura opusă.

Fie a, b și c laturile unui triunghi. Fie p un segment din punctul A în punctul de pe latura a care divide această latură în segmentele x and y. Atunci:

Reprezentare grafică

DemonstrațieModificare

Vom numi P punctul în care latura a și segmentul p se intersectează. Începem prin aplicarea teoremei cosinusului pentru unghiurile suplementare APB și APC.

 
 

Înmulțim prima relație cu x, iar a doua cu y :

 
 

Acum adunăm cele două ecuații:

 

și obținem teorema lui Stewart.

Forma vectorialăModificare

Dacă M este un punct pe latura BC a triunghiului ABC, atunci:

 

sau altă formă:

 

O altă formă simetrică este următoarea:

Dacă punctele A, B, C sunt coliniare, iar P un punct oarecare, atunci:

 

Vezi șiModificare

Legături externeModificare