Funcție Struve

În matematică, funcția Struve notată $\mathbf {H} _{\alpha }(x)$, este soluția y(x) a ecuației diferențiale Bessel neomogene:

$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y={\frac {4{(x/2)}^{\alpha +1}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\alpha +{\frac {1}{2}})}}$

introdusă de H.Struve in 1882. Numărul complex α este ordinul funcției Struve, și adesea este un întreg.

Funcția Struve modificată este L_α(x) = −ie^−iαπ/2H_α(ix).

Definiție

Deoarece aceasta este o ecuație neomogenă, soluția poate fi construită dintr-o soluție particulară plus soluția ecuației omogene. În acest caz, soluția omogenă este o funcție Bessel, iar soluția particulară poate fi aleasă ca funcția corespunzătoare Struve.

Dezvoltare în serie de puteri

Funcția Struve se dezvoltă în următoarea serie de puteri:

$\mathbf {H} _{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{\Gamma (m+{\frac {3}{2}})\Gamma (m+\alpha +{\frac {3}{2}})}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha +1}$

unde $\Gamma (z)$ este funcția gamma.

Forma integrală

O altă definiție a funcției Struve, pentru valori $\alpha$ care satisfac relația $\operatorname {Re} \{\alpha \}>-1/2$, este posibilă folosind reprezentarea integrală:

$\mathbf {H} _{\alpha }(x)={\frac {2{(x/2)}^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\alpha +{\frac {1}{2}})}}\int _{0}^{\pi /2}\sin(x\cos \tau )\sin ^{2\alpha }(\tau )d\tau .$

Formele asimptotice

Pentru x mic, seria de puteri a fost dată la paragraful Expansiunea în serie de puteri.

Pentru x mare, obținem:

$\mathbf {H} _{\alpha }(x)-Y_{\alpha }(x)\rightarrow {\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\alpha +{\frac {1}{2}})}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{\alpha -1}+O\left({(x/2)}^{\alpha -3}\right)$

unde $Y_{\alpha }(x)$ este funcția Neumann.

Proprietăți

Funcția Struve satisface următoarele relații de recurență:

$\mathbf {H} _{\alpha -1}(x)+\mathbf {H} _{\alpha +1}(x)={\frac {2\alpha }{x}}\mathbf {H} _{\alpha }(x)+{\frac {{(x/2)}^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\alpha +{\frac {3}{2}})}}$

$\mathbf {H} _{\alpha -1}(x)-\mathbf {H} _{\alpha +1}(x)=2{\frac {\mathrm {d} \mathbf {H} _{\alpha }}{\mathrm {d} x}}-{\frac {{(x/2)}^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\alpha +{\frac {3}{2}})}}.$

Relația cu alte funcții

Funcția Struve de ordin întreg poate fi exprimată în termenii funcției Weber E_n și vice-versa, dacă n nu este un întreg negativ:

$\mathbf {E} _{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=0}^{[{\frac {n-1}{2}}]}{\frac {\Gamma (k+1/2)(z/2)^{n-2k-1}}{\Gamma (n-1/2-k)}}\mathbf {H} _{n}$

$\mathbf {E} _{-n}(z)={\frac {(-1)^{n+1}}{\pi }}\sum _{k=0}^{[{\frac {n-1}{2}}]}{\frac {\Gamma (n-k-1/2)(z/2)^{-n+2k+1}}{\Gamma (k+3/2)}}\mathbf {H} _{-n}.$

Funcția Struve de ordinul n+1/2 (n un întreg) poate fi exprimată în termenii unei funcții elementare. În particular, dacă n nu este un întreg negativ, atunci:

$\mathbf {H} _{-n-1/2}(z)=(-1)^{n}J_{n+1/2}(z)$

unde partea dreaptă a egalității este o funcție Bessel sferică.

Funcția Struve (de orice ordin) poate fi exprimată în termenii funcției hipergeometrice ₁F₂ (care nu este funcția hipergeometrică Gauss ₂F₁) :

$\mathbf {H} _{\alpha }(z)={\frac {(z/2)^{\alpha +1/2}}{{\sqrt {2\pi }}\Gamma (\alpha +3/2)}}{}_{1}F_{2}(1,3/2,\alpha +3/2,-z^{2}/4).$

Referințe

• Abramowitz and Stegun, Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Capitolul 12..
• Ivanov A.B, Struve function, in Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, 978-1556080104
• Struve, H. (1882), Ann. Physik Chemie, 17: 1008–1016 
• R.M. Aarts and Augustus J.E.M. Janssen, "Approximation of the Struve function H1 occurring in impedance calculations" |journal= J. Acoust. Soc. Am. |volume= 113 |pages= 2635-2637 |year= 2003
• Aarts, R.M. (2003), „Approximation of the Struve function H1 occurring in impedance calculations”, J. Acoust. Soc. Am., 113: 2635–2637 

Legături externe

• Struve functions at the Wolfram functions site.