Funcție absolut integrabilă

În matematică, o funcție absolut integrabilă[1][2] este o funcție a cărei valoare absolută este integrabilă, ceea ce înseamnă că integrala valorii absolute pe întregul domeniu este finită.

DefinițieModificare

Funcția   se numește absolut integrabilă dacă integrala   este convergentă.[1][2]

Pentru o funcție reală, deoarece

 

unde

 

ambele   și   trebuie să fie finite la integrarea Lebesgue. Aceasta este exact cerința ca orice funcție măsurabilă f să fie considerată integrabilă, iar atunci integrala este  , astfel încât, de fapt, „absolut integrabil” înseamnă același lucru cu „integrabil Lebesgue” pentru funcții măsurabile.

Același lucru este valabil și pentru o funcție complexă. Definind:

 
 
 
 

unde   și   sunt partea reală, respectiv cea imaginară a  . Atunci

 

deci

 

Aceasta arată că suma celor patru integrale (la mijloc) este finită dacă și numai dacă integrala valorii absolute este finită, iar funcția este integrabilă Lebesgue numai dacă toate cele patru integrale sunt finite. Deci, având o integrală finită a valorii absolute este echivalent cu condițiile pentru ca funcția să fie „integrabilă Lebesgue”.

NoteModificare

  1. ^ a b Florin Iacob, Matematică (unități de curs), uaic.ro, p. 480, accesat 2021-05-30
  2. ^ a b Daniela Roșu Transformarea Fouier, tuiasi.ro, accesat 2021-06-01

Legături externeModificare

  • en Hazewinkel, Michiel, ed. (), „Absolutely integrable function”, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104