Funcție algebrică de gradul al doilea

O funcție algebrică de gradul al doilea, în matematică, este o funcție polinomială de forma , unde . Graficul unei funcții de gradul doi este o parabolă a cărei axă de simetrie este paralelă cu axa Oy.

Graficul unei funcții de gradul doi

Expresia din definiția unei funcții pătratice, este un polinom de grad 2 sau funcție polinomială de grad 2, pentru că cel mai mare exponent al variabilei este 2.

Dacă se pune condiția ca funcția pătratică să fie egală cu zero, atunci va rezulta o ecuație pătratică. Soluțiile acestei ecuații sunt numite rădăcini pătrate ale ecuației, sau puncte de nul ale funcției.

Originea cuvântuluiModificare

Adjectivul pătratic vine de la latinescul quadratum care înseamnă pătrat. Termenii de forma x2 sunt numiți pătrați în algebră, pentru că reprezintă suprafața unui pătrat cu latura x.

În general, prefix quadr(i)- se referă la numărul 4. Printre exemple se pot enumera quadrilater și cadan. Quadratum este latinescul pentru pătrat, pentru că pătratul are 4 laturi.

RădăciniModificare

Cele două rădăcini ale ecuației de gradul al doilea  , în care   sunt:

 

  • Fie  
  • Dacă  , atunci există două rădăcini distincte pentru că   este un număr real pozitiv.
  • Dacă  , atunci cele două rădăcini sunt egale, pentru că   este zero.
  • Dacă  , atunci cele două rădăcini sunt conjugate complexe, pentru că   este un număr imaginar.

Considerând   și   sau invers, se poate da factor comun   sub forma  .

Forme de exprimare a funcțiilor de gradul al doileaModificare

O funcție de gradul al doilea poate fi exprimată în trei forme principale:[1]

  •   se numește formă dezvoltată,
  •   se numește forma factorizată, în care   și   sunt rădăcinile ecuației
  •   este forma canonică, în care h și k reprezintă abscisa, respectiv ordonata punctului de extrem.

GraficulModificare

 
  
 
   
 
   

Indiferent de forma în care este exprimată ea, graficul unei funcții de gradul al doilea este o parabolă.

  • Dacă  , parabola are deschiderea în sus.
  • Dacă  , parabola are deschiderea în jos.

Coeficientul a controlează viteza de creștere (sau descreștere) a funcției de la vârf, un a pozitiv mai mare făcând ca funcția să crească mai rapid și ca graficul să pară mai strâns.

Coeficienții b și a împreună controlează axa de simetrie a parabolei (precum și abscisa vârfului) care este  .

Coeficientul b singur este înclinația parabolei la intersecția cu axa Oy.

Coeficientul c controlează înălțimea parabolei, adică locul în care ea intersectează axa Oy.

VârfulModificare

Vârful unei parabole este punctul în care ea atinge maximul sau minimul, fiind astfel punctul de extrem. Dacă funcția este scrisă în formă canonică, vârful este  . Forma generală

 

se poate transforma în

 

și deci vârful parabolei are coordonatele

 

Dacă ecuația este în forma factorizată

 

media celor două rădăcini,

 

este abscisa vârfului, care are, deci, coordonatele

 

Vârful este punct de maxim dacă   și punct de minim dacă  .

Dreapta verticală

 

care trece prin vârf este axa de simetrie a parabolei.

  • Puncte de maxim și de minim

În analiza matematică, coordonatele vârfului, ca punct de extrem al funcției, se pot obține aflând rădăcina derivatei:

 

ceea ce dă

 

cu valoarea corespunzătoare

 

și deci coordonatele vârfului pot fi exprimate:

 

NoteModificare

  1. ^ Hughes-Hallett, Deborah; Connally, Eric; McCallum, William G. (), College Algebra, John Wiley & Sons Inc, p. 205, ISBN 0471271756, 9780471271758 Verificați valoarea |isbn=: invalid character (ajutor) , Search result

Vezi șiModificare

Legături externeModificare