Funcție algebrică de gradul al doilea
O funcție algebrică de gradul al doilea, în matematică, este o funcție polinomială de forma , unde . Graficul unei funcții de gradul doi este o parabolă a cărei axă de simetrie este paralelă cu axa Oy.
Expresia din definiția unei funcții pătratice, este un polinom de grad 2 sau funcție polinomială de grad 2, pentru că cel mai mare exponent al variabilei este 2.
Dacă se egalează funcția pătratică cu zero, atunci va rezulta o ecuație pătratică. Soluțiile acestei ecuații sunt numite rădăcini pătrate ale ecuației, sau puncte de nul (zerouri) ale funcției. Expresia rădăcinilor se obține prin evidențierea unui pătrat perfect în expresia polinomială de gradul al doilea.
Originea cuvântului
modificareAdjectivul pătratic vine de la latinescul quadratum care înseamnă pătrat. Termenii de forma x2 sunt numiți pătrate în algebră, pentru că reprezintă suprafața unui pătrat cu latura x.
În general, prefixul quadr(i)-, în română cvadr(i)-, se referă la numărul 4.
Rădăcini
modificareCele două rădăcini ale polinomului de gradul al doilea , în care sunt:
- Fie
- Dacă , atunci există două rădăcini distincte pentru că este un număr real pozitiv.
- Dacă , atunci cele două rădăcini sunt egale, pentru că este zero.
- Dacă , atunci cele două rădăcini sunt conjugate complexe, pentru că este un număr imaginar.
Considerând și sau invers, se poate da factor comun sub forma .
Forme de exprimare a funcțiilor de gradul al doilea
modificareO funcție de gradul al doilea poate fi exprimată în trei forme principale:[1]
- se numește formă dezvoltată,
- se numește forma factorizată, în care și sunt rădăcinile ecuației
- este forma canonică, în care h și k reprezintă abscisa, respectiv ordonata punctului de extrem.
Graficul
modificareIndiferent de forma în care este exprimată ea, graficul unei funcții de gradul al doilea este o parabolă.
- Dacă , parabola are deschiderea în sus.
- Dacă , parabola are deschiderea în jos.
Coeficientul a controlează viteza de creștere (sau descreștere) a funcției de la vârf, un a pozitiv mai mare făcând ca funcția să crească mai rapid și ca graficul să pară mai strâns.
Coeficienții b și a împreună controlează axa de simetrie a parabolei (precum și abscisa vârfului) care este .
Coeficientul b singur este înclinația parabolei la intersecția cu axa Oy.
Coeficientul c controlează înălțimea parabolei, adică locul în care ea intersectează axa Oy.
Vârful
modificareVârful unei parabole este punctul în care ea atinge maximul sau minimul, fiind astfel punctul de extrem. Dacă funcția este scrisă în formă canonică, vârful este . Forma generală
se poate transforma în
și deci vârful parabolei are coordonatele
Dacă ecuația este în forma factorizată
media celor două rădăcini,
este abscisa vârfului, care are, deci, coordonatele
Vârful este punct de maxim dacă și punct de minim dacă .
Dreapta verticală
care trece prin vârf este axa de simetrie a parabolei.
- Puncte de maxim și de minim
În analiza matematică, coordonatele vârfului, ca punct de extrem al funcției, se pot obține aflând rădăcina derivatei:
ceea ce dă
cu valoarea corespunzătoare
și deci coordonatele vârfului pot fi exprimate:
Note
modificare- ^ Hughes-Hallett, Deborah; Connally, Eric; McCallum, William G. (), College Algebra, John Wiley & Sons Inc, p. 205, ISBN 0471271756, 9780471271758 Verificați valoarea
|isbn=
: invalid character (ajutor), Search result
Vezi și
modificareLegături externe
modificare