În matematică, cuadricele sunt suprafețe algebrice de gradul al doilea, adică suprafețe ale spațiului afin euclidian tridimensional, a căror ecuație se obține prin anularea unui polinom de gradul al doilea în trei variabile.[1]

Un exemplu de cuadrică, un paraboloid hiperbolic

Prin generalizare, se poate vorbi de suprafețe n-dimensionale în spațiul cu n + 1 dimensiuni generate de locul geometric al soluțiilor unui polinom de gradul doi. În coordonate {x1, x2, ..., xn+1}, cuadrica generată este definită de o ecuație algebrică de forma:[2]

care poate fi scrisă compact în notație matriceală:

unde x = {x1, x2, ..., xn+1} este o matrice vector linie, xT este transpusa lui x (un vector coloană), Q este o matrice (n + 1)×(n + 1), P este un vector linie (n + 1)-dimensional, iar R este o constantă scalară. Valorile din Q, P și R sunt de obicei numere reale sau complexe, dar de fapt o cuadrică poate fi definită pe orice inel. În general, locurile geometrice ale soluțiilor polinoamelor sunt varietăți algebrice și fac obiectul geometriei algebrice.

Planul și spațiul euclidianModificare

În planul euclidian cuadricele au o singură dimensiune (n = 1), adică sunt linii, curbe. Aceste cuadrice sunt identice cu secțiunile conice și sunt cunoscute sub numele de conice.

 
Elipsă (e=1/2), parabolă (e=1) și hiperbolă (e=2) cu același focar F și directoare.

În spațiul euclidian cuadricele au două dimensiuni (n = 2), și formează suprafețe cuadice. Printr-o schimbare de variabilă potrivită (transformare izometrică) și alegerea direcțiilor axelor orice cuadrică din spațiul euclidian poate fi adusă la forma canonică.[3] În spațiul euclidian tridimensional există 16 asemenea forme. Dintre acestea, 11 sunt degenerate. Formele degenerate conțin planuri, linii, puncte sau chiar nimic din acestea.[4]

Cuadrice nedegenerate
Elipsoid[5]    
    Sferoid (caz particular al elipsoidului)  
        Sferă (caz particular al sferoidului)  
Paraboloid eliptic[6]    
    Paraboloid de rotație (caz particular al paraboloidului eliptic)  
Paraboloid hiperbolic[7]    
Hiperboloid cu o pânză[5]    
Hiperboloid cu două pânze[6]    
Cuadrice degenerate
Con[7]    
    Con de rotație (caz particular al conului)  
Cilindru eliptic[8]    
    Cilindru de rotație (caz particular al cilindrului eliptic)  
Cilindru hiperbolic[8]    
Cilindru parabolic[9]    

NoteModificare

  1. ^ Brăescu, p. 50
  2. ^ en Quadrics în Geometry Formulas and Facts de Silvio Levy, extras din cea de a 30-a ediție a CRC Standard Mathematical Tables and Formulae (CRC Press).
  3. ^ Cap 9 (Cuadrice), p. 187, unitbv.ro, accesat 2011-02-04
  4. ^ en Stewart Venit and Wayne Bishop, Elementary Linear Algebra (fourth edition), International Thompson Publishing, 1996.
  5. ^ a b Brăescu, p. 51
  6. ^ a b Brăescu, p. 52
  7. ^ a b Brăescu, p. 53
  8. ^ a b Brăescu, p. 54
  9. ^ Brăescu, p. 55

BibliografieModificare

  • Liliana Brăescu, Eva Kaslik, Simina Mariș, Simona Epure, Ioan Rodilă, Curs de geometrie, Universitatea de Vest din Timișoara, Facultatea de Matematică și Informatică, Departamentul de Informatică

Legături externeModificare