Inegalitatea mediilor

Fie numerele reale strict mai mari decât zero : , , , , ..., avem formulele :

  • Media aritmetică a numerelor și este = .
    • Generalizare : Media aritmetică a numerelor , , ..., este = .
  • Media armonică a numerelor și este = .
    • Generalizare : Media armonică a numerelor , , ..., este = .
  • Media geometrică a numerelor și este = .
    • Generalizare : Media geometrică a numerelor , , ..., este = .
  • Media pătratică a numerelor și este = .
    • Generalizare : Media pătratică a numerelor , , ..., este = .

Inegalitatea mediilorModificare

  •  

În cuvinte, mediile armonică, geometrică, aritmetică și pătratică se află între a și b. Egalitatea se obține dacă a = b.

GeneralizareModificare

  •  
  •  
  • Egalitatea se obține pentru x1 = x2 = ... = xn . Este atribuită lui Augustin Louis Cauchy.

Inegalitatea mediilor generalizateModificare

Fie     Atunci:

 

Demonstrație. Fie funcția     Deoarece     funcția f este concavă și deci:

 
 

În particular, dacă     se obține inegalitatea mediilor:

Vezi șiModificare