Inegalitatea mediilor
Acest articol are nevoie de atenția unui expert în matematică. Recrutați unul sau, dacă sunteți în măsură, ajutați chiar dumneavoastră la îmbunătățirea articolului! |
Fie numerele reale strict mai mari decât zero : , , , , ..., avem formulele :
- Media aritmetică a numerelor și este = .
- Generalizare : Media aritmetică a numerelor , , ..., este = .
- Media armonică a numerelor și este = .
- Generalizare : Media armonică a numerelor , , ..., este = .
- Media geometrică a numerelor și este = .
- Generalizare : Media geometrică a numerelor , , ..., este = .
- Media pătratică a numerelor și este = .
- Generalizare : Media pătratică a numerelor , , ..., este = .
Inegalitatea mediilorModificare
În cuvinte, mediile armonică, geometrică, aritmetică și pătratică se află între a și b. Egalitatea se obține dacă a = b.
GeneralizareModificare
- Egalitatea se obține pentru x1 = x2 = ... = xn . Este atribuită lui Augustin Louis Cauchy.
Inegalitatea mediilor generalizateModificare
Fie Atunci:
Demonstrație. Fie funcția Deoarece funcția f este concavă și deci:
În particular, dacă se obține inegalitatea mediilor: