Integralele Wallis

În matematică, și mai precis în analiză, integralele Wallis sunt o familie de integrale introduse de John Wallis.

Definiție

Integralele Wallis $(W_{n})_{\,n\,\in \,\mathbb {N} \,}$ sunt definite de șirurile:

W_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx,

sau, echivalent (făcând substituția: $x={\frac {\pi }{2}}-t$ ):

W_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx

In particular, câțva termeni sunt în tabelul:

$W_{0}$	$W_{1}$	$W_{2}$	$W_{3}$	$W_{4}$	$W_{5}$	$W_{6}$	$W_{7}$	$W_{8}$	...
${\frac {\pi }{2}}$	$1$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {2}{3}}$	${\frac {3\pi }{16}}$	${\frac {8}{15}}$	${\frac {5\pi }{32}}$	${\frac {16}{35}}$	${\frac {35\pi }{256}}$	...

Integralele Wallis: $W_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}\theta d\theta =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}\theta d\theta$

pot fi calculate cu ajutorul funcțiilor beta și gamma. Conform relației $\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x)$ , avem:

W_{n}={\frac {1}{2}}B\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)

și avem două cazuri, pentru $n=2p+1$ și $n=2p$ . Pentru aceste valori ale lui $n$ avem:

W_{2p+1}={\frac {1}{2}}B\left(p+1,{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma (p+1)\Gamma ({\frac {1}{2}})}{2\Gamma (p+{\frac {3}{2}})}}={\frac {p!\Gamma ({\frac {1}{2}})}{(2p+1)\Gamma (p+{\frac {1}{2}})}}

.

Cum însă

\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {1\cdot 3\cdot 5\dots (2n-1)}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}

,

obținem

W_{2p+1}={\frac {2^{p}p!}{1\cdot 3\cdot 5\dots (2p+1)}}={\frac {4^{p}p!^{2}}{(2p+1)!}}

.

Într-un mod asemănător se calculează și

W_{2p}={\frac {1}{2}}B\left(p+{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma (p+{\frac {1}{2}})\Gamma ({\frac {1}{2}})}{2\Gamma (p+1)}}

iar în final se obține

W_{2p}={\frac {1\cdot 3\cdot 5\dots (2p-1)}{2^{p+1}p!}}\pi ={\frac {(2p)!}{4^{p}p!^{2}}}{\frac {\pi }{2}}

.

Este ușor de observat că

W_{n+2}={\frac {1}{2}}B\left({\frac {n+2+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)={\frac {1}{2}}B\left({\frac {n+1}{2}}+1,{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\frac {(n+1)}{2}}{{\frac {n}{2}}+1}}W_{n}=\left({\frac {n+1}{n+2}}\right)W_{n}

.

Se poate considera că

W_{\alpha }={\frac {1}{2}}B\left({\frac {\alpha +1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)

chiar și pentru valori reale ale lui $\alpha$ mai mari ca -1, și, ca urmare , se pot obține, folosind definiția funcției beta ^[1] , că

\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {\sin \theta }}}=\int _{0}^{1}{\frac {2dt}{\sqrt {1-t^{4}}}}={\frac {\Gamma ^{2}({\frac {1}{4}})}{2{\sqrt {2\pi }}}}

,

\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\sin \theta }}d\theta =\int _{0}^{1}{\frac {2t^{2}dt}{\sqrt {1-t^{4}}}}={\frac {(2\pi )^{\frac {3}{2}}}{\Gamma ^{2}({\frac {1}{4}})}}

.

Produsul acestor două integrale ne conduce la

\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{4}}}}\int _{0}^{1}{\frac {t^{2}dt}{\sqrt {1-t^{4}}}}={\frac {\pi }{4}}