În matematică, și mai precis în analiză, integralele Wallis sunt o familie de integrale introduse de John Wallis.

Portretul lui Wallis, datat cu anul 1701

Definiție

modificare

Integralele Wallis   sunt definite de șirurile:

 

sau, echivalent (făcând substituția:  ):

 

Cazuri particulare

modificare

In particular, câțva termeni sunt în tabelul:

                  ...
                  ...

Legătura cu funcțiile beta și gamma

modificare

Integralele Wallis:  

pot fi calculate cu ajutorul funcțiilor beta și gamma. Conform relației  , avem:

 

și avem două cazuri, pentru   și  . Pentru aceste valori ale lui   avem:

 .

Cum însă

  ,

obținem

  .

Într-un mod asemănător se calculează și

 

iar în final se obține

 .

Este ușor de observat că

 .

Se poate considera că

 

chiar și pentru valori reale ale lui   mai mari ca -1, și, ca urmare , se pot obține, folosind definiția funcției beta [1] , că

 ,


 .

Produsul acestor două integrale ne conduce la

 

Vezi și

modificare

Legături externe

modificare
  1. ^