În geometria algebrică, un invariant birațional este o proprietate care conservă echivalența birațională⁠(d).

Definiție formală

modificare

Un invariant birațional este o cantitate sau un obiect care este bine definit pe o clasă de echivalență birațională⁠(d) a varietăților algebrice⁠(d). Cu alte cuvinte, depinde doar de corpul funcțiilor varietății.

Primul exemplu este dat de lucrarea fundamentală a lui Bernhard Riemann însuși: în teza sa de doctorat el arată că se poate defini o suprafață Riemann⁠(d) pentru orice curbă algebrică⁠(d); fiecare suprafață Riemann provine dintr-o curbă algebrică, bine definită până la echivalența birațională, iar două curbe echivalente birațional dau aceeași suprafață. Prin urmare, suprafața Riemann, sau mai simplu genul său geometric este un invariant birațional.[1]

Un exemplu mai complicat este dat de teoria Hodge⁠(d): în cazul unei suprafețe algebrice, numerele Hodge⁠(d) h0,1 și h0,2 ai unei suprafețe proiective complexe netede sunt invarianți biraționali. Însă numărul Hodge h1,1 nu este, deoarece procesul de deplasare al unui punct la o curbă de pe suprafață îl poate crește.[2]

  1. ^ en Ullrich, Peter (). „Chapter 34 - Benhard Riemann, thesis on the theory of functions of a complex variable (1851)”. Landmark Writings in Western Mathematics 1640-1940. Editor: I. Grattan-Guiness. Elsevier B.V. pp. 448–459. doi:10.1016/B978-0-444-50871-3.X5080-3. ISBN 978-0-444-50871-3. 
  2. ^ en Reichstein, Z.; Youssin, B. (), „A birational invariant for algebraic group actions”, Pacific Journal of Mathematics, 204 (1): 223–246, arXiv:math/0007181 , doi:10.2140/pjm.2002.204.223, MR 1905199 

Vezi și

modificare