Gen geometric

În geometria algebrică genul geometric este un invariant birațional fundamental $p g$ în varietățile algebrice^⁠(d) și varietățile complexe^⁠(d).

Definiție

Genul geometric poate fi definit pentru varietăți proiective complexe nesingulare și, în general, pentru varietăți complexe ca numărul Hodge^⁠(d) $h n,0$ (egal cu $h 0, n$ prin dualitatea Serre^⁠(d)) , adică dimensiunea sistemului liniar canonic plus unu.

Cu alte cuvinte, pentru o varietate $V$ de dimensiune complexă $n$ este numărul de $n$ -forme olomorfe liniar independente care se găsesc în $V$ .^[1] Acestă definiție, ca dimensiune a lui

H 0 (V,Ω n)

se transferă la orice corp de bază, când $Ω$ este considerat familia de diferențiale Kähler^⁠(d), iar puterea este cea mai mare putere exterioară, fibratul de drepte^⁠(d) canonic^⁠(d).

Genul geometric este primul invariant $p g = P$ ₁ al unui șir de invarianți $P n$ numiți inelul canonic.

Cazul curbelor

În cazul varietăților complexe, (locurile geometrice complexe ale) curbelor nesingulare sunt suprafețe Riemann^⁠(d). Definiția algebrică a genului este în acord cu noțiunea topologică. Pe o curbă nesingulară, fibratul de drepte canonic are gradul $2 g - 2$ .

Noțiunea de gen apare în special în enunțul teoremei Riemann–Roch^⁠(d) și a formulei Riemann–Hurwitz. După teorema Riemann-Roch, o curbă plană ireductibilă de gradul d are genul geometric

g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}-s,

unde $s$ este numărul singularităților.

Dacă $C$ este o suprafață ireductibilă (și netedă) în planul proiectiv^⁠(d) decupat de o ecuație polinomială de gradul $d$ , atunci fibratul dreptelor sale normale este fibratul Serre ${\mathcal {O}}$ $(d)$ , deci fibratul de drepte canonice al $C$ este dat de

{\mathcal {K}}_{C}=\left[{\mathcal {K}}_{\mathbb {P} ^{2}}+{\mathcal {O}}(d)\right]_{\vert C}={\mathcal {O}}(d-3)_{\vert C}

Genul varietăților singulare

Definiția genului geometric este transferată clasic la curbele singulare $C$ , prin decretarea că

p g (C)

este genul geometric al normalizării $C'$ . Adică deoarece aplicația

C' \to C

este birațională^⁠(d), definiția este extinsă de invarianța birațională.

Note

^ en Danilov & Shokurov (1998), p. 53

Bibliografie

en P. Griffiths; J. Harris (1994). Principles of Algebraic Geometry. Wiley Classics Library. Wiley Interscience. p. 494. ISBN 0-471-05059-8.
en V. I. Danilov; Vyacheslav V. Shokurov (1998). Algebraic curves, algebraic manifolds, and schemes. Springer. ISBN 978-3-540-63705-9.

Vezi și

Portal Matematică

[1] Danilov & Shokurov (1998), p. 53

[1]