Algebra Grassmann sau algebră exterioară (a unui spațiu vectorial real finit-dimensional ) este o -algebră asociativă cu element 1, notată , cu proprietățile:

  • este un subspațiu vectorial al lui și pentru orice unde prin se notează înmulțirea în ;
  • algebra este generată de elementul unitate împreună cu elementele lui  ;
  • este un spațiu vectorial de dimensiune unde este dimensiunea lui .

Nmele provine de la matematicianul Hermann Grassmann care, în 1846, a introdus așa-numitele mărimi extensive, precursoare ale multivectorilor de mai târziu.

Construcția unei algebre Grassmann

modificare

Pentru a construi o astfel de algebră, se consideră spațiul vectorial  , care este dualul spațiului vectorial   adică spațiul tuturor funcționalelor (formelor) liniare pe  

Definiție. Dacă   sunt spații vectoriale, o aplicație   se numește aplicație  -liniară (sau aplicație multiliniară de grad  ) dacă, pentru orice   și orice sistem de vectori  , aplicație parțială

 

este liniară.

Definiție. O aplicație multiliniară de grad   se numește aplicație biliniară.

Definiție. Se numește p-tensor covariant (sau tensor covariant de grad p sau funcțională multiliniară de grad p sau formă p-liniară) pe   orice aplicație p-liniară  

Mulțimea tuturor p-tensorilor covarianți pe spațiul vectorial   are o structură evidentă de spațiui vectorial; acest spațiu vectorial se notează prin   și se numește a p-a putere tensorială a lui  

Există relația   și se pune, prin definiție,   adică un tensor covariant de grad zero pe   este un număr real. În fine, se pune:

  (suma directă de spații vectoriale).

Definiție. Dacă  , produsul tensorial a doi tensori covarianți   și   este tensorul covariant   definit prin:

 

pentru  

Când   și se pune   în mod similar se tratează cazul   Produsul tensorial este o operație biliniară și asociativă, dar necomutativă în grade   Această operație se extinde prin liniaritate la o înmulțire pe spațiul vectorial   care face din acest spațiu vectorial o  algebră, numită algebră tensorială a lui   Pentru orice   grupul   al permutărilor mulțimii   acționează la stânga pe spațiul vectorial   prin aplicația   definită prin:

 

pentru orice  uplu de vectori   Un  tensor covariant   pe spațiul vectorial   se numește alternant (sau exterior) dacă   pentru orice   unde   este semnul permutării   adică   când   este pară și   când   este impară.

Mulțimea tuturor  tensorilor covarianți alternanți pe   este un subspațiu vectorial al lui  , care se notează prin   și se numește puterea exterioară de grad   al lui  . Există relația:   și se pune, prin definiție,   În fine, se pune:

  (sumă directă de spații vectoriale).

Definiție. Pentru orice număr natural   se definește o aplicație liniară  , numită aplicația de alternare, definită prin:

 

Această aplicație posedă proprietățile:

  1. Pentru orice   rezultă  
  2. Dacă   atunci  
  3.  
  4.   pentru   și  
  5.   pentru   și  

Definiție. Dacă   produsul exterior a doi tensori alternați   și   este tensorul alternat   definit prin:

 

Când   și se pune   în mod similar se tratează cazul   Produsul exterior este o operație biliniară, asociativă și, în plus, anticomutativă, adică   dacă   este de grad   și   de grad   în particular,   când   este de grad impar. Se observă că dacă   sunt tensori alternați pe   de grade   respectiv, atunci:

 

Produsul exterior se extinde prin liniaritate la o înmulțire pe spațiul vectorial   și face din acest spațiu vectorial o  -algebră, numită algebra Grassmann a lui  

Teorema bazei. Dacă   este un reper al lui  , atunci produsele exterioare de forma   cu   formează un reper în spațiul vectorial  ; în particular acest spațiu vectorial are dimensiunea   când   și   când  , deci spațiul vectorial   este de dimensiune  

Dacă   este un alt spațiu vectorial de dimensiune finită, se asociază fiecărei aplicații liniare   un morfism de  algebre   definit, pentru orice  , prin  , unde   (de p ori), când   și   când  ; tensorul alternant   are același grad cu   și se numește imaginea inversă a lui f prin aplicația liniară   Aplicațiile   și   definesc un vector contravariant de la spații vectoriale de dimensiune finită la  algebre.

Teorema determinantului'. Dacă   este un endomorfism al lui   atunci pentru orice n-tensor alternant f pe   unde n este dimensiunea lui  , există relația:  

Având în vedere că determinantul   al unui endomorfism   al lui   se definește folosind un reper al lui   care identifică   cu   (definiție care nu depinde de alegerea acestui reper), se poate realiza o construcție a algebrei exterioare a lui   astfel:

Fie   dualul lui  ; aplicația  , definită prin   pentru  , este un izomorfism de spații vectoriale. Acest izomorfism se utilizează pentru a identifica spațiile vectoriale   și  .

Vom defini deci algebra exterioară a lui   punând   pentru orice   și deci  . Aplicația canonică   definită prin   este p-liniară alternantă, adică:

 

pentru orice   și  , iar aplicația   definită prin  , este un izomorfism de spații vectoriale. Astfel spațiul vectorial   cu canonic izomorf cu dualul spațiului vectorial  

Există construcții mai generale care permit definirea algebrei tensoriale   și a algebrei exterioare   pentru orice   modul   unde   este un inel comutativ cu element unitate, în rest arbitrar.

Se pot construi puterea exterioară   și algebra exterioară   pentru un spațiu vectorial complex finit dimensional   după modelul prezentat anterior în cazul real.

Bibliografie

modificare
  • Romulus Cristescu, Dicționar de analiză matematică, Editura Științifică și Enciclopedică, 1989