Simetrie față de centru

În geometrie o inversiune față de centru, inversiune față de un punct sau reflexie față de un punct este un tip de izometrie a spațiului euclidian. Un obiect care este invariant^⁠(d) în urma unei inversiuni față de un punct se spune că posedă simetrie față de un punct; dacă este invariant în urma inversiunii față de centrul său se spune că are simetrie față de centru sau că are simetrie centrală.

Într-un spațiu bidimensional o simetrie față de un punct este aceeași cu o rotație de 180°

Tetraedre duale, care sunt mutual simetrice față de centru

O reflexie față de un punct poate fi clasificată ca fiind o transformare afină^⁠(d). Și anume, este o transformare afină izometrică involutivă, care are exact un punct fix, care este punctul de inversiune. Este echivalentă cu o transformare omotetică cu factor de scară egal cu −1. Punctul de inversiune este numit și centru de omotetie^⁠(d).

Terminologie

Termenul reflexie este considerat de unii un abuz de limbaj, fiind preferat cel de inversiune; cu toate acestea, expresia reflexie față de punct este utilizată. Astfel de aplicații sunt involuții, adică sunt propriile lor inverse: aplicându-le de două ori rezultă o identitate — ceea ce este valabil și pentru alte aplicații numite reflexii. Mai restrâns, o reflexie se referă la o reflexie într-un hiperplan (subspațiu afin (n−1)-dimensional — un punct de pe o dreaptă, o dreaptă dintr-un plan, un plan dintr-un spațiu tridimensional), cu hiperplanul fiind fix, dar în sens larg termenul de reflexie se aplică oricărei involuții a spațiului euclidian, iar mulțimea fixă (un spațiu afin k-dimensional, unde $1\leq k\leq n-1$) se numește oglindă. În dimensiunea 1 acestea coincid, deoarece un punct este un hiperplan din dreaptă.

În domeniul algebrei liniare, presupunând că originea este fixă, involuțiile sunt aplicațiile diagonalizabile cu toate valorile proprii fie 1, fie −1. Reflexia într-un hiperplan are o singură valoare proprie de −1 (și multiplicitatea n−1 la valoarea proprie 1), în timp ce reflexia față de punct are doar valoarea proprie −1 (cu multiplicitatea n).

Termenul inversiune nu trebuie confundat cu cel din geometria de inversiune^⁠(d), unde inversiunea este definită față de cerc.

Exemple

Exemple bidimensionale

Paralelogon hexagonal

Octogon

În două dimensiuni, o inversiune față de un punct este aceeași cu o rotație de 180°. În trei dimensiuni, o inversiune față de un punct poate fi descrisă ca o rotație de 180° compusă cu o reflexie față de un plan perpendicular pe axa de rotație. În dimensiunea n, inversiunile față de un punct conservă orientarea dacă n este par și inversează orientarea dacă n este impar.

Formule

Fiind dat un vector a în spațiul euclidian Rⁿ, formula pentru reflexia lui a față de punctul p este

$\mathrm {Ref} _{\mathbf {p} }(\mathbf {a} )=2\mathbf {p} -\mathbf {a} .$

În cazul în care p este originea, reflexia punctului este pur și simplu schimbarea semnului vectorului a.

În geometria euclidiană, inversiunea unui punct X față de un punct P este un punct X* astfel încât P este punctul de mijloc al segmentului cu capetele X și X*. Cu alte cuvinte, vectorul de la X la P este congruent cu vectorul de la P la X*.

Formula pentru inversiunea față de P este

x* = 2a − x

unde a, x și x* sunt vectorii de poziție ai punctelor P, X și respectiv X*.

Această aplicație este o transformare afină^⁠(d) izometrică involutivă care are exact un punct fix , care este P.

Reflexia față de un punct ca un caz particular al scalării uniforme sau omotetiei

Când punctul de inversiune P coincide cu originea, reflexia punctului este echivalentă cu un caz particular de scalare uniformă: cea cu factor de scară egal cu −1. (Acesta este un exemplu de transformare liniară.)

Când P nu coincide cu originea, reflexia față de un punct este echivalentă cu un caz particular de transformare omotetică: cea cu centrul de omotetie care coincide cu P și factorul de scară −1. Acesta este un exemplu de transformare afină neliniară.

Grup de reflexie punctual

Într-un spațiu bidimensional compunerea a două reflexii față de puncte diferite este o translație

Compunerea^⁠(d) a două reflexii față de două puncte diferite este o translație. Mai exact, reflexia punctului față de p urmată de reflexia punctului față de q este translația prin vectorul 2(q − p).

Mulțimea constând din toate translațiile și toate reflexiile față de un punct este subgrupul Lie al grupului euclidian^⁠(d). Este un produs semidirect^⁠(d) al lui Rⁿ cu un grup ciclic^⁠(d) de ordinul 2, acesta din urmă acționând asupra lui Rⁿ prin negativare. Tocmai subgrupul grupului euclidian fixează punctual dreapta de la infinit.

În cazul n = 1, grupul de reflexie punctual este întregul grup de izometrie al dreptei.

Reflexiile față de un punct în matematică

• Reflexia față de centrul unei sfere produce puncte antipodale.
• Un spațiu simetric^⁠(d) este o varietate riemanniană^⁠(d) cu o reflexie izometrică în fiecare punct. Spațiile simetrice joacă un rol important în studiul grupurilor Lie și a geometriei riemanniene^⁠(d).

Reflexia față de un punct în geometria analitică

Fiind dat punctul $P(x,y)$ și reflexia sa $P'(x',y')$ față de punctul $C(x_{c},y_{c})$, acesta din urmă este punctul din mijlocul segmentului ${\overline {PP'}}$;

${\begin{cases}x_{c}={\frac {x+x'}{2}}\\y_{c}={\frac {y+y'}{2}}\end{cases}}$

Prin urmare, ecuațiile pentru a găsi coordonatele punctului reflectat sunt

${\begin{cases}x'=2x_{c}-x\\y'=2y_{c}-y\end{cases}}$

Inversiunea față de origine este un caz particular în care coordonatele punctului C sunt $(0,0)$, caz în care relația de mai sus devine

${\begin{cases}x'=-x\\y'=-y\end{cases}}$

Proprietăți

Într-un spațiu euclidian cu un număr par de dimensiuni, de exemplu spațiul 2n-dimensional, inversiunea față de un punct P este echivalentă cu n rotații de unghi π din oricare plan ales arbitrar din setul de n plane reciproc ortogonale care se intersectează în P. Aceste rotații sunt reciproc comutative. Prin urmare, inversiunea față de un punct dintr-un astfel de spațiu este o izometrie care păstrează orientarea, adică o izometrie directă.

Într-un spațiu euclidian cu un număr impar de dimensiuni, de exemplu spațiul (2n+1)-dimensional, inversiunea față de un punct P este echivalentă cu n rotații de unghi π din oricare plan ales arbitrar din setul de n plane reciproc ortogonale care se intersectează în P combinate cu o reflexie în subspațiul 2n-dimensional generat de aceste plane de rotație. Prin urmare, inversiunea față de un punct dintr-un astfel de spațiu nu conservă orientarea, ci o inversează, este o izometrie indirectă.

Geometric, în spațiul tridimensional ea echivalează cu rotația în jurul unei axe prin P cu un unghi de 180°, combinată cu reflexia în planul prin P care este perpendicular pe axă; rezultatul nu depinde de orientarea axei. Notațiile pentru tipul de operație sau tipul de grup pe care îl generează sunt ${\overline {1}}$, C_i, S₂ și 1×. Tipul de grup este unul dintre cele trei tipuri de grupuri de simetrie în tridimensional fără nicio simetrie de rotație pură.

Următoarele grupuri punctuale în spațiul tridimensional^⁠(d) conțin inversiuni:

• C_nh și D_nh pentru n par
• S_2n și D_nd pentru n impar
• T_h, O_h și I_h

Bibliografie

• Mihai Anastasiei, Geometrie: Curbe și suprafețe, Iași, Ed. Cermi, 2003, ISBN: 973-8188-83-0, Cap. 3 Transformări geometrice ale figurilor din plan și spațiu