Latură (geometrie)

În geometrie, o latură este un tip special de segment, care unește două vârfuri dintr-un poligon, poliedru sau politop.^[1] Într-un poligon, o latură este un segment al frontierei.^[2] Într-un poliedru, sau, mai general, într-un politop, o latură este un segment unde se întâlnesc două fețe.^[2] Un segment care unește două vârfuri trecând prin interior sau exterior nu este o latură ci o diagonală.

Trei laturi AB, BC și CA, fiecare între două vârfuri ale unui triunghi
Un poligon este mărginit de laturi; acest pătrat are 4 laturi
Într-un poliedru fiecare latură face parte din două fețe, ca la acest cub.
Fiecare latură face parte din trei sau mai multe fețe ale unui 4-politop, cum se vede în această proiecție a unui tesseract.

Numărul de laturi ale unui poliedru

(În limba română, pentru poliedre, și doar pentru poliedre, termenul pentru segmentul care unește două vârfuri este muchie, însă în alte contexte — politopuri — pentru coerența cu celelalte dimensiuni, se va folosi tot termenul „latură”.)

Pe orice frontieră a unui poliedru convex este valabilă caracteristica Euler

\chi =V-L+F=2,

unde V este numărul vârfurilor, L este numărul laturilor, iar F este numărul fețelor. Această relație este cunoscută drept formula lui Euler pentru poliedre. Deci, numărul laturilor este egal cu numărul vârfurilor plus numărul fețelor minus 3. De exemplu, un cub are 8 vârfuri și 6 fețe, deci are 12 laturi.

Legătura cu fețele

Într-un poligon, două laturi se întâlnesc în fiecare vârf; în general, teorema lui Balinski afirmă că în fiecare vârf al unui politop convex d-dimensional se întâlnesc cel puțin d laturi.^[3] Similar, într-un poliedru, pe fiecare latură se întâlnesc exact două fețe bidimensionale,^[4] în timp ce în dimensiuni superioare pe fiecare latură a unui politop se întâlnesc trei sau mai multe fețe bidimensionale.

Terminologie alternativă

În teoria politopurilor convexe din dimensiuni superioare, o fațetă sau față a unui politop d-dimensional este unul din elementele (d−1)-dimensionale, o „muchie” este un element (d−2)-dimensional și un „pisc” este un element (d−3)-dimensional. Prin urmare, laturile unui poligon sunt fațetele sale, laturile unui poliedru convex (tridimensional) sunt muchiile sale, iar laturile unui politop 4-dimensional sunt piscurile sale.^[5]

Relația cu muchiile din grafuri

În teoria grafurilor o muchie este un obiect abstract care conectează două noduri, în mod diferit de laturile poligoanelor și poliedrelor, unde acestea sunt segmente. Totuși, orice poliedru poate fi reprezentat prin n-scheletul său (scheletul laturilor), care este un graf ale cărui noduri corespund vârfurilor poliedrului și ale cărui muchii corespund laturilor geometrice.^[6] Invers, grafurile care sunt schelete ale poliedrelor tridimensionale pot fi caracterizate de teorema lui Steinitz^⁠(d) ca fiind grafuri planare de conexiuni ale k-vârfurilor.^[7]

Note

^ Ziegler, Lectures…, Definition 2.1, p. 51
^ ^a ^b en Eric W. Weisstein, ^[nefuncțională Poligon Edge]], MathWorld, accesat 2021-01-03
^ en Balinski, M. L. (1961), „On the graph structure of convex polyhedra in n-space”, Pacific Journal of Mathematics, 11 (2): 431–434, doi:10.2140/pjm.1961.11.431  , MR 0126765
^ en Wenninger, Magnus J. (1974), Polyhedron Models, Cambridge University Press, p. 1, ISBN 9780521098595 .
^ en Seidel, Raimund (1986), „Constructing higher-dimensional convex hulls at logarithmic cost per face”, Proceedings of the Eighteenth Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC '86), pp. 404–413, doi:10.1145/12130.12172 .
^ en Senechal, Marjorie (2013), Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination, Springer, p. 81, ISBN 9780387927145
^ en Pisanski, Tomaž; Randić, Milan (2000), „Bridges between geometry and graph theory”, În Gorini, Catherine A., Geometry at work, MAA Notes, 53, Washington, DC: Math. Assoc. America, pp. 174–194, MR 1782654 . V. în special Teorema 3, p. 176

Bibliografie

en Ziegler, Günter M. (1995), Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, 152, Springer, ISBN 9780387943657

Lectură suplimentară

en Matoušek, Jiří (2002), Lectures in Discrete Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 212, Springer, ISBN 9780387953748
en Grünbaum, Branko (2003), Convex Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, 221 (ed. 2nd), Springer

Legături externe

Portal Matematică

en Poligon Edge^{[nefuncțională]}, (română Latură de poligon) la Mathworld
en Polyhedron Edge, (română Muchie de poliedru) la Mathworld

[z-1] Ziegler, Lectures…, Definition 2.1, p. 51

[M-2] Eric W. Weisstein, ^[nefuncțională Poligon Edge]], MathWorld, accesat 2021-01-03

[3] Balinski, M. L. (1961), „On the graph structure of convex polyhedra in n-space”, Pacific Journal of Mathematics, 11 (2): 431–434, doi:10.2140/pjm.1961.11.431  , MR 0126765

[4] Wenninger, Magnus J. (1974), Polyhedron Models, Cambridge University Press, p. 1, ISBN 9780521098595 .

[5] Seidel, Raimund (1986), „Constructing higher-dimensional convex hulls at logarithmic cost per face”, Proceedings of the Eighteenth Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC '86), pp. 404–413, doi:10.1145/12130.12172 .

[6] Senechal, Marjorie (2013), Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination, Springer, p. 81, ISBN 9780387927145

[7] Pisanski, Tomaž; Randić, Milan (2000), „Bridges between geometry and graph theory”, În Gorini, Catherine A., Geometry at work, MAA Notes, 53, Washington, DC: Math. Assoc. America, pp. 174–194, MR 1782654 . V. în special Teorema 3, p. 176

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]