Matricea Vandermonde

În algebră, o matrice Vandermonde, numită după Alexandre-Théophile Vandermonde, este o matrice de forma[1]:

Determinantul unei matrici pătratice Vandermonde (m=n) poate fi exprimat astfel:[2]

DemonstrațieModificare

Calculând determinantul cu formula lui Leibniz:

 

unde Sn înseamnă mulțimea permutărilor lui  , iar sgn(σ) este signatura permutării

Se demonstrează prin inducție că:

 

Pentru (n=2), se verifică imediat. Pentru (n>2), executăm operația elementară

  

asupra coloanelor, scăzând din coloana n coloana (n-1) înmulțită cu coeficientul  , apoi din coloana (n-1) coloana (n-2) înmulțită cu  ..., din coloana 2 coloana 1 înmulțită cu  , - astfel încât în final pe prima linie să rămână 1 numai în poziția (1,1) și în rest zerouri. Determinantul rămâne neschimbat, și egal cu:

 


Dezvoltând după prima linie:

 

Conform proprietății de multiliniaritate a determinantului:

 

de unde, prin inducție matematică, se obține rezultatul cerut.

ReferințeModificare

  1. ^ Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1991), Topics in matrix analysis, Cambridge University Press. See Section 6.1
  2. ^ http://www.proofwiki.org/wiki/Vandermonde_Determinant