Număr Smith
În teoria numerelor, un număr Smith este un număr compus a cărui sumă a cifrelor într-o bază dată este egală cu suma cifrelor factorilor lor primi.[1][2] În cazul numerelor care nu sunt libere de pătrate factorizarea se scrie fără exponenți, scriind factorul repetat de câte ori este nevoie.[1]
Numit după | Harold Smith (cumnatul lui Albert Wilansky) |
---|---|
Autorul publicării | Albert Wilansky |
Nr. total de termeni | infinit |
Formula | v. Definiția matematică |
Primii termeni | 4, 22, 27, 58, 85, 94, 121 |
Cel mai mare termen cunoscut | v. Proprietăți |
Index OEIS |
|
Numerele Smith au fost numite așa de Albert Wilansky de la Universitatea Lehigh, în urma observației că numărul de telefon al cumnatului său, Harold Smith, 493-7775, avea această proprietate:[2]
unde
în baza 10.[3]
Definiția matematică
modificareFie un număr natural. În baza , fie funcția suma digitală a lui . Numărul natural are divizorii întregi
și este un număr Smith dacă
unde este ordinul p-adic al lui .
De exemplu, în baza 10, este un număr Smith deoarece iar este un număr Smith deoarece .
Primele câteva numere Smith în baza 10 sunt:
Proprietăți
modificareÎn 1987 W.L. McDaniel a demonstrat că există infinit de multe numere Smith.[2][3][4] Numărul numerelor Smith în baza 10 mai mci de 10n pentru n=1, 2, ... este:
- 1, 6, 49, 376, 3294, 29928, 278411, 2632758, 25154060, 241882509, … [5]
Două numere Smith consecutive (de exemplu, 728 și 729, sau 2964 și 2965, sau cele trei 73615, 73616 și 73616) se numesc numere Smith înfrățite.[6][7] Nu se știe câte numere Smith înfrățite există. Elementele de pornire ale celor mai mici n-upluri Smith (adică n numere Smith consecutive) în baza 10 pentru n = 1, 2, ... sunt:
Elementele de pornire ale n-uplurilor Smith (adică n numere Smith consecutive) în baza 10 pentru n = 1, 2, ... sunt:[8][9]
- 4, 728, 73615, 4463535, 15966114, 2050918644, 164736913905, …
Cele mai mici elemente din perechile de numere Smith înfrățite sunt:[10]
- 728, 2964, 3864, 4959, 5935, 6187, 9386, 9633, 11695, 13764, 16536, 16591, 20784, 25428, 28808, 29623, 32696, 33632, 35805, 39585, 43736, 44733, 49027, 55344, 56336, 57663, 58305, 62634, 65912, 65974, 66650, 67067, 67728, 69279, 69835
Un număr compus având proprietatea că suma cifrelor factorilor săi primi este egală cu de kori suma cifrelor sale se numește număr k-Smith. Exemplu: 32 este un număr 2-Smith.[11] [12]
Un număr Smith al cărui revers este de asemenea un număr Smith se numește număr Smith reversibil. Exemplu: 58 este un număr Smith reversibil.[11][13]
Subșiruri ale numerelor Smith sunt numerele Smith semiprime[11][14] și numerele Smith palindromice[11][15].
Numerele Smith pot fi construite din numere repunit. Primele numere care multiplicate cu orice număr repunit generează un număr Smith sunt:[11][16]
- 1540, 1720, 2170, 2440, 5590, 6040, 7930, 8344, 8470, 8920, 23590, 24490, 25228, 29080, 31528, 31780, 33544, 34390, 35380, 39970, 40870, 42490, 42598, 43480, 44380, 45955, 46270, 46810, 46990, 47908, 48790, 49960, 51490, 51625, 52345, 52570, 53290, 57070.
În 2010 cel mai mare număr Smith cunoscut din baza 10 era:[11]
unde R1031 este un repunit egal cu .[11]
Note
modificare- ^ a b c Șirul A006753 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
- ^ a b c Coman, Enciclopedia…, p. 80
- ^ a b Sándor & Crstici (2004) p. 383
- ^ en McDaniel, Wayne (). „The existence of infinitely many k-Smith numbers”. Fibonacci Quarterly. 25 (1): 76–80. Zbl 0608.10012.
- ^ Șirul A104170 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
- ^ Coman, Enciclopedia…, p. 80, 81
- ^ Sándor & Crstici (2004) p.384
- ^ en Shyam Sunder Gupta. „Fascinating Smith Numbers”.
- ^ Șirul A059754 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
- ^ Șirul A050219 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
- ^ a b c d e f g Coman, Enciclopedia…, p. 81
- ^ Șirul A104390 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
- ^ Șirul A104171 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
- ^ Șirul A098837 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
- ^ Șirul A104390 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
- ^ Șirul A104167 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
Bibliografie
modificare- en Gardner, Martin (). Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers. pp. 299–300.
- en Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (). Handbook of number theory II . Dordrecht: Kluwer Academic. pp. 32–36. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001.
- Marius Coman, Enciclopedia matematică a claselor de numere întregi, Columbus, Ohio: Education Publishing, 2013, ISBN: 978-1-59973-237-4
Legături externe
modificare- en Eric W. Weisstein, Smith Number la MathWorld.
- en Shyam Sunder Gupta, Fascinating Smith numbers.
- en Copeland, Edmund. „4937775 – Smith Numbers”. Numberphile. Brady Haran.