În teoria numerelor, un număr Smith este un număr compus a cărui sumă a cifrelor într-o bază dată este egală cu suma cifrelor factorilor lor primi.[1][2] În cazul numerelor care nu sunt libere de pătrate factorizarea se scrie fără exponenți, scriind factorul repetat de câte ori este nevoie.[1]

Număr Smith
Numit dupăHarold Smith (cumnatul lui Albert Wilansky)
Autorul publicăriiAlbert Wilansky
Nr. total de termeniinfinit
Formulav. Definiția matematică
Primii termeni4, 22, 27, 58, 85, 94, 121
Cel mai mare termen cunoscutv. Proprietăți
Index OEIS

Numerele Smith au fost numite așa de Albert Wilansky de la Universitatea Lehigh, în urma observației că numărul de telefon al cumnatului său, Harold Smith, 493-7775, avea această proprietate:[2]

unde

în baza 10.[3]

Definiția matematicăModificare

Fie   un număr natural. În baza  , fie funcția   suma digitală a lui  . Numărul natural   are divizorii întregi

 

și este un număr Smith dacă

 

unde   este ordinul p-adic al lui  .

De exemplu, în baza 10,   este un număr Smith deoarece   iar   este un număr Smith deoarece  .

Primele câteva numere Smith în baza 10 sunt:

4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, 382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, 648, 654, 663, 666, 690, 706, 728, 729, 762, 778, 825, 852, 861, 895, 913, 915, 922, 958, 985, 1086, 1111, 1165, 1219.[1]

ProprietățiModificare

În 1987 W.L. McDaniel a demonstrat că există infinit de multe numere Smith.[2][3][4] Numărul numerelor Smith în baza 10 mai mci de 10n pentru n=1, 2, ... este:

1, 6, 49, 376, 3294, 29928, 278411, 2632758, 25154060, 241882509, … [5]

Două numere Smith consecutive (de exemplu, 728 și 729, sau 2964 și 2965, sau cele trei 73615, 73616 și 73616) se numesc numere Smith înfrățite.[6][7] Nu se știe câte numere Smith înfrățite există. Elementele de pornire ale celor mai mici n-upluri Smith (adică n numere Smith consecutive) în baza 10 pentru n = 1, 2, ... sunt:

Elementele de pornire ale n-uplurilor Smith (adică n numere Smith consecutive) în baza 10 pentru n = 1, 2, ... sunt:[8][9]

4, 728, 73615, 4463535, 15966114, 2050918644, 164736913905, …

Cele mai mici elemente din perechile de numere Smith înfrățite sunt:[10]

728, 2964, 3864, 4959, 5935, 6187, 9386, 9633, 11695, 13764, 16536, 16591, 20784, 25428, 28808, 29623, 32696, 33632, 35805, 39585, 43736, 44733, 49027, 55344, 56336, 57663, 58305, 62634, 65912, 65974, 66650, 67067, 67728, 69279, 69835

Un număr compus având proprietatea că suma cifrelor factorilor săi primi este egală cu de kori suma cifrelor sale se numește număr k-Smith. Exemplu: 32 este un număr 2-Smith.[11][12]

Un număr Smith al cărui revers este de asemenea un număr Smith se numește număr Smith reversibil. Exemplu: 58 este un număr Smith reversibil.[11][13]

Subșiruri ale numerelor Smith sunt numerele Smith semiprime[11][14] și numerele Smith palindromice[11][15].

Numerele Smith pot fi construite din numere repunit. Primele numere care multiplicate cu orice număr repunit generează un număr Smith sunt:[11][16]

1540, 1720, 2170, 2440, 5590, 6040, 7930, 8344, 8470, 8920, 23590, 24490, 25228, 29080, 31528, 31780, 33544, 34390, 35380, 39970, 40870, 42490, 42598, 43480, 44380, 45955, 46270, 46810, 46990, 47908, 48790, 49960, 51490, 51625, 52345, 52570, 53290, 57070.

În 2010 cel mai mare număr Smith cunoscut din baza 10 era:[11]

 

unde R1031 este un repunit egal cu  .[11]

NoteModificare

  1. ^ a b c Șirul A006753 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  2. ^ a b c Coman, Enciclopedia…, p. 80
  3. ^ a b Sándor & Crstici (2004) p. 383
  4. ^ en McDaniel, Wayne (). „The existence of infinitely many k-Smith numbers”. Fibonacci Quarterly. 25 (1): 76–80. Zbl 0608.10012. 
  5. ^ Șirul A104170 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  6. ^ Coman, Enciclopedia…, p. 80, 81
  7. ^ Sándor & Crstici (2004) p.384
  8. ^ en Shyam Sunder Gupta. „Fascinating Smith Numbers”. 
  9. ^ Șirul A059754 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  10. ^ Șirul A050219 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  11. ^ a b c d e f g Coman, Enciclopedia…, p. 81
  12. ^ Șirul A104390 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  13. ^ Șirul A104171 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  14. ^ Șirul A098837 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  15. ^ Șirul A104390 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  16. ^ Șirul A104167 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)

BibliografieModificare

Legături externeModificare