Număr pentatopic

Un număr pentatopic sau 4-simplectic este un număr figurativ. Șirul acestor numere apare într-a cincea poziție din rândurile din triunghiul lui Pascal, indiferent că triunghiul este citit de la stânga la dreapta sau de la dreapta la stânga, începând cu rândul al cincilea 1 4 6 4 1. Este și numărul de 3-fețe (celule) al unui n-simplex.

Număr pentatopic

Generarea numerelor n-simplectice pe baza triunghiului lui Pascal
Nr. total de termeni	Infinit
Subșir al	Numere politopice
Formula	$P_{n}={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}$
Primii termeni	1, 5, 15, 35, 70, 126, 210
Index OEIS	A000332 Binomial(n,4)

Numărul pentatopic de 70 de sfere poate fi aranjat într-o figură cu latura bazei de 5 sfere. Fiecare strat reprezintă un număr tetraedric, de exemplu, cel de jos (verde) are 35 de sfere

Primele numere de acest tip sunt:

1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, 1001, 1365

Formule

Formula pentru al n-lea număr pentatopic este dată de raportul dintre al 4-lea factorial crescător al n și factorial de 4:

$P_{n}={\frac {n+3}{4}}T_{n}={\frac {n^{\overline {4}}}{4!}}={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}$.

unde $T_{n}$ reprezintă al n-lea număr tetraedric.

Numerele pentatopice pot fi reprezentate de coeficienții binomiali:

$P_{n}={\binom {n+3}{4}},$

care este numărul de seturi de 4 elemente care pot fi selectate dintre n + 3 elemente.

Numerele pentatopice pot fi reprezentate ca suma primelor n numere tetraedrice:

$P_{n}=\sum _{k=1}^{n}T_{n},$

Funcția generatoare pentru numerele pentatopice este

${\frac {x}{(1-x)^{5}}}=x+5x^{2}+15x^{3}+35x^{4}+\dots .$