Orisferă
În geometria hiperbolică o orisferă[1][2] (din greacă όριον + σφαίρα = frontieră + sferă) este o hipersuprafață specifică într-un n-spațiu hiperbolic. Este limita unei oribile, o secvență de bile crescătoare care au în comun (pe o parte) un hiperplan tangent și punctul lor de tangență. Pentru n = 2 o orisferă este un oriciclu.
O orisferă poate fi descrisă și ca limita hipersferelor care au în comun un hiperplan tangent într-un punct dat, deoarece razele lor merg spre infinit. În geometria euclidiană, o astfel de „hipersferă cu rază infinită” ar fi un hiperplan, dar în geometria hiperbolică este o orisferă (o suprafață curbă).
Istoric
modificareConceptul își are rădăcinile într-o noțiune exprimată de Friedrich Ludwig Wachter în 1816 într-o scrisoare către profesorul său Carl Friedrich Gauss. Observând că deoarece raza ei tinde spre infinit, în geometria euclidiană limita unei sfere este un plan, Wachter a afirmat că, chiar dacă axioma paralelelor ar fi falsă, ar exista totuși o geometrie pe o suprafață identică cu aceea a planului obișnuit.[3] Termenii „orisferă” și „oriciclu” se datorează lui Nikolai Lobacevski, care a stabilit diverse rezultate care arată că geometria oriciclelor și orisfera din spațiul hiperbolic erau echivalente cu cea a dreptelor și a planului din spațiul euclidian.[4] Termenul de „oribilă” se datorează lui William Thurston, care l-a folosit în lucrarea sa despre 3-varietăți hiperbolice(d). Termenii „orisferă” și „oribilă” sunt adesea folosiți în geometria hiperbolică tridimensională. Etimologic, ambele au aceeași rădăcină ca și „orizont”.
Modele
modificareÎntr-un model conform similar cu modelul discului Poincaré o orisferă este reprezentată printr-o sferă tangentă la sfera orizont. În modelul semiplanului Poincaré(d) o orisferă poate apărea fie ca o sferă tangentă la planul orizontului, fie ca un plan paralel cu planul orizontului. În modelul hiperboloidului(d) o orisferă este reprezentată printr-un plan a cărui normală se află în conul asimptotic.
Curbură
modificareO orisferă are o cantitate critică de curbură (izotropă): dacă curbura ar fi mai mare, suprafața s-ar putea închide, rezultând o sferă, iar dacă curbura ar fi mai mică, suprafața ar fi un hiperciclu (n−1)-dimensional.
Note
modificare- ^ Maria Bica, Maria Neumann, Liubița Stanciu, Geometria diferențială a lui J. Bolyai, Cluj: Studia Universitatis Babeș-Bolyai, Fasc. 1/1963
- ^ Octavian Căpățînă, Mică enciclopedie de mari valori ridicate dintre români: Janos Bolyai, itc-cluj.ro, accesat 2022-05-23
- ^ Bonola, Non-Euclidean…, p. 63
- ^ Bonola, Non-Euclidean…, p. 88
Bibliografie
modificare
- Appendix, the theory of space Janos Bolyai, 1987, p.143
- en Roberto Bonola, Non-Euclidean Geometry, 1906, translated by Horatio Scott Carslaw, Dover, 1955