Wikipedia

Pavare hexagonală

pavare a planului euclidian cu hexagoane regulate
Pavare hexagonală
Descriere
Tippavare uniformă
Configurația vârfului6.6.6 (sau 63)
Configurația fețeiV3.3.3.3.3.3 (sau V36)
Simbol Wythoff3 | 6 2
2 6 | 3
3 3 3 |
Simbol Schläfli{6,3}
t{3,6}
Diagramă Coxeter

Grup de simetriep6m, [6,3], (*632)
Grup de rotațiep4, [6,3]+, (632)
Poliedru dualpavare triunghiulară
Proprietățitranzitivă pe fețe, pe laturi și pe vârfuri
Figura vârfului

În geometrie pavarea hexagonală sau teselarea hexagonală este o pavare regulată a planului euclidian, în care exact trei hexagoane se întâlnesc în fiecare vârf. Are simbolul Schläfli {6,3} sau t{3,6} (ca o pavare triunghiulară trunchiată).

Pavarea duală

Unghiul intern al hexagonului este de 120°, astfel încât trei hexagoane în jurul unui punct acoperă 360°. Este una dintre cele trei pavări regulate ale planului. Celelalte două sunt pavarea triunghiulară și pavarea pătrată.

Aplicații modificare

Pavarea hexagonală este cea mai densă modalitate de a împacheta cercuri în spațiul bidimensional. Conjectura fagurelui afirmă că pavarea hexagonală este cea mai bună modalitate de a împărți o suprafață în regiuni de suprafață egală cu cel mai mic perimetru total. Structura tridimensională optimă pentru realizarea fagurilor (sau a bulelor de săpun) a fost investigată de Lord Kelvin, care credea că rețeaua cubică centrată intern este optimă. Totuși, structura Weaire–Phelan⁠(d), mai puțin obișnuită, este puțin mai bună.

Această structură există în natură la grafit, unde fiecare foaie de grafen seamănă cu plasa rabiț, cu legături puternice de carbon covalent. Au fost sintetizate foi tubulare de grafen; acestea sunt cunoscute ca nanotuburi de carbon. Au multe aplicații potențiale, datorită rezistenței la rupere⁠(d) și proprietăților electrice ridicate. Silicenul este similar.

Plasa rabiț este formată dintr-o rețea hexagonală (adesea neregulată) din sârmă.

  •  
    Cea mai deasă împachetare a cercurilor este asemănătoare cu pavarea hexagonală
  •  
    Gard din plasă rabiț
  •  
    Grafen
  •  
    Un nanotub de carbon poate fi considerat o pavare hexagonală a unei suprafețe cilindrice

Pavarea hexagonală apare în multe cristale. În spațiul tridimensional rețeaua cubică cu fețe centrate și împachetarea compactă a sferelor⁠(d) sunt structuri cristaline comune. Sunt cele mai dense aranjări ale sferelor în tridimensional. Structural, ele sunt formate din straturi paralele de pavări hexagonale, similare cu structura grafitului. Ele diferă prin modul în care straturile sunt eșalonate unul față de celălalt, rețeaua cubică cu fețe centrate fiind cea mai regulată dintre cele două. Cuprul pur, printre alte materiale, formează o rețea cubică cu fețe centrate.

Colorare uniformă modificare

Există trei colorări uniforme distincte ale unei pavări hexagonale, toate generate din simetria de reflexie a construcțiilor Wythoff. (h,k) reprezintă repetarea periodică a unei pavări colorate, numărând distanțele hexagonale ca h mai întâi și apoi k. Aceeași numărare este folosită în poliedrele Goldberg, cu notația {p+,3}h,k, și poate fi aplicată la pavări hiperbolice pentru p > 6.

k-uniformă 1-uniformă 2-uniformă 3-uniformă
Simetrie p6m, (*632) p3m1, (*333) p6m, (*632) p6, (632)
Imagine              
Culori 1 2 3 2 4 2 7
(h,k) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1)
Schläfli {6,3} t{3,6} t{3[3]}
Wythoff 3 | 6 2 2 6 | 3 3 3 3 |
Coxeter                
Conway H tΔ cH=t6daH wH=t6dsH

Pavarea cu 3 culori este o teselare generată de permutoedre de ordinul 3.

Pavare hexagonală șanfrenată modificare

 
La limită, pavarea hexagonală șanfrenată degenerează într-o pavare rombică

La o pavare hexagonală șanfrenată⁠(d) („teșită”) se înlocuiesc laturile cu noi hexagoane, iar pavarea se transformă într-o altă pavare hexagonală. La limită, fețele originale dispar, noile hexagoane degenerează în romburi, iar pavarea devine o pavare rombică.

Hexagoane (H) Hexagoane șanfrenate (cH) Romburi (daH)
         

Pavări înrudite modificare

Hexagoanele pot fi divizate în seturi de 6 triunghiuri. Acest proces duce la două pavări 2-uniforme și pavarea triunghiulară:

Pavare regulată Divizare Pavări 2-uniforme Pavare regulată Inserții Pavare duală
 
Originala 		 
  		 
divizare la 1/3 		 
divizare la 2/3 		 
divizare completă 		   
E → IH → FH → H
 
Pavare rombică 		 
Pavare hexagonală

Pavarea hexagonală poate fi considerată o pavare rombică alungită, unde fiecare vârf al pavării rombice este întins într-o nouă latură. Aceasta este similară cu relația dintre teselările tridimensionale fagurele dodecaedric rombic și dodecaedrul rombo-hexagonal.

De asemenea, este posibil să se divizeze dalele anumitor pavări hexagonale în două, trei, patru sau nouă pentagoane egale:

Pavări pentagonale
 
de tip 1,
în care hexagoanele regulate sunt înlocuite de 2 pentagoane 		 
de tip 3,
în care hexagoanele regulate sunt înlocuite de 3 pentagoane 		 
de tip 4,
în care hexagoanele regulate sunt înlocuite de 4 pentagoane 		 
de tip 3,
în care hexagoanele regulate sunt înlocuite de 3 sau 9 pentagoane

Variante de simetrie modificare

Această pavare este legată din punct de vedere topologic ca parte a secvenței de pavări regulate cu fețe hexagonale, începând cu pavarea hexagonală, cu simbolul Schläfli {6,n} și diagrama Coxeter      , mergând la infinit.

Variante de pavări regulate cu simetria *n62: {6,n}
Sferică Euclidiană Pavări hiperbolice
 
{6,2} 		 
{6,3} 		 
{6,4} 		 
{6,5} 		 
{6,6} 		 
{6,7} 		 
{6,8} 		...  
{6,∞}

Această pavare este legată din punct de vedere topologic cu poliedrele cu figura vârfului n3, ca parte a secvenței care continuă în planul hiperbolic.

Variante de pavări regulate cu simetria *n62: {6,n}
Sferică Euclidiană Pavări hiperbolice
 
{6,2} 		 
{6,3} 		 
{6,4} 		 
{6,5} 		 
{6,6} 		 
{6,7} 		 
{6,8} 		...  
{6,∞}

Similar, este înrudită cu poliedrele uniforme trunchiate cu figura vârfului n.6.6.

Variante de simetrii *n32 ale pavărilor trunchiate: n.6.6
Sim.
*n42
[n,3] 		Sferică Euclid. Compactă Paracomp. Hiperbolică necompactă
*232
[2,3] 		*332
[3,3] 		*432
[4,3] 		*532
[5,3] 		*632
[6,3] 		*732
[7,3] 		*832
[8,3]... 		*∞32
[∞,3] 		[12i,3] [9i,3] [6i,3]
Figuri
trunchiate 		                     
Config. 2.6.6 3.6.6 4.6.6 5.6.6 6.6.6 7.6.6 8.6.6 ∞.6.6 12i.6.6 9i.6.6 6i.6.6
Figuri
n-kis 		               
Config. V2.6.6 V3.6.6 V4.6.6 V5.6.6 V6.6.6 V7.6.6 V8.6.6 V∞.6.6 V12i.6.6 V9i.6.6 V6i.6.6

Această pavare face parte și din secvența poliedrelor rombice trunchiate și a pavărilor cu simetrie Coxeter [n,3]. Cub poate fi considerat un hexaedru rombic la care romburile sunt pătrate. Formele trunchiate au n-goane regulate la vârfurile trunchiate și fețe hexagonale neregulate.

Variante de pavări cvasiregulate duale: V(3.n)2
*n32 Sferice Euclidiană Hiperbolice
*332 *432 *532 *632 *732 *832... *∞32
Pavare              
Conf. V(3.3)2 V(3.4)2 V(3.5)2 V(3.6)2 V(3.7)2 V(3.8)2 V(3.∞)2

Construcții Wythoff din pavări hexagonale și triunghiulare modificare

Ca și la poliedrele uniforme, există opt pavări uniforme care pot fi bazate pe pavarea hexagonală regulată (sau pe duala sa, pavarea triunghiulară).

Desenând dalele colorate cu roșu pe fețele originale, galbene în vârfurile originale și albastre de-a lungul laturilor originale, exisă 8 forme, dintre care 7 sunt topologic distincte. (Pavarea triunghiulară trunchiată este identică topologic cu pavarea hexagonală.)

Pavări hexagonale/triunghiulare uniforme
Domenii
fundamentale 		Simetrie: [6,3], (*632) [6,3]+, (632)
{6,3} t{6,3} r{6,3} t{3,6} {3,6} rr{6,3} tr{6,3} sr{6,3}
                                               
                 
Config. 63 3.12.12 (6.3)2 6.6.6 36 3.4.6.4 4.6.12 3.3.3.3.6

Pavări echivalente topologic modificare

Plasările hexagonale pot fi realizate cu topologia {6,3} identică cu cea regulată (3 hexagoane în jurul fiecărui vârf). Cu fețele izoedrice, există 13 variante. Simetria dată presupune că toate fețele sunt de aceeași culoare. Aici culorile reprezintă pozițiile rețelei.[1] Rețelele monocolore (cu 1 tip de dală) sunt formate din hexagoane paralelogoane.

13 pavări hexagonale izoedrice
pg (××) p2 (2222) p3 (333) pmg (22*)
           
pgg (22×) p31m (3*3) p2 (2222) cmm (2*22) p6m (*632)
             

Alte pavări izoedrice, topologic cu dale hexagonale, care sunt văzute ca patrulatere și pentagoane care nu sunt aliniate latură la latură, ci interpretate ca laturi adiacente coliniare:

Pavări izoedrice cu dreptunghiuri
pmg (22*) pgg (22×) cmm (2*22) p2 (2222)
 
Paralelogram 		 
Trapez 		 
Paralelogram 		 
Dreptunghi 		 
Paralelogram 		 
Dreptunghi 		 
Dreptunghi
Pavări izoedrice cu pentagoane
p2 (2222) pgg (22×) p3 (333)
     

Teselările 2- și 3-uniforme au un grad de libertate de rotație care distorsionează 2/3 din hexagoane, inclusiv un caz coliniar care poate fi văzut și ca o pavare care nu este latură la latură cu hexagoane și triunghiuri mai mari.[2]

De asemenea, ele pot fi distorsionate într-o schemă tridimensională chirală cu 4 culori, distorsionând unele hexagoane în paralelograme. Modelul cu fețe în 2 culori are simetrie 632 (p6). Un model ca simbolul Chevron are simetria pmg (22*), care este degradată la p1 (°) în cazul colorărilor cu 3 sau 4 culori.

Regulată Girată Regulată Împletită Chevron
p6m, (*632) p6, (632) p6m (*632) p6 (632) p1 (°)
         
p3m1, (*333) p3, (333) p6m (*632) p2 (2222) p1 (°)
         

Note modificare

  1. ^ en Grünbaum, Tilings and Patterns, p. 473–481 (din lista de 107 de pavări izoedrice)
  2. ^ en Grünbaum, Tilings and Patterns, pavări care nu sunt latură la latură

Bibliografie modificare

  • en Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN: 0-486-61480-8 p. 296, Table II: Regular honeycombs
  • en Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (). Tilings and Patterns . New York: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.  (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings, pp. 58–65)
  • en Williams, Robert (). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. p. 35. ISBN 0-486-23729-X. 
  • en John Horton Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5 [1]

Legături externe modificare

  Portal Matematică
 v • d • m Faguri convecși regulați și uniformi în dimensiunile 2–8
Spațiu Familia           /   /  
E2 Pavare uniformă {3[3]} δ3 hδ3 qδ3 Hexagonală
E3 Fagure convex uniform {3[4]} δ4 hδ4 qδ4
E4 4-fagure uniform {3[5]} δ5 hδ5 qδ5 Fagure 24-celule
E5 5-fagure uniform {3[6]} δ6 hδ6 qδ6
E6 6-fagure uniform {3[7]} δ7 hδ7 qδ7 222
E7 7-fagure uniform {3[8]} δ8 hδ8 qδ8 133 • 331
E8 8-fagure uniform {3[9]} δ9 hδ9 qδ9 152 • 251 • 521
En-1 (n−1)-fagure uniform {3[n]} δn hδn qδn 1k2 • 2k1 • k21
Adus de la https://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Pavare_hexagonală&oldid=15272780