Tetraedru trunchiat

poliedru arhimedic
Tetraedru trunchiat
Truncatedtetrahedron.jpg
(animație și model 3D)
Descriere
TipPoliedru arhimedic
Fețe8 (4 triunghiuri, 4 hexagoane)
Laturi (muchii)18
Vârfuri12
χ2
Configurația vârfului3.6.6
Simbol Wythoff2 3 | 3
Simbol Schläflit{3,3} = h2{4,3}
t0,1{3,3}
Simbol ConwaytT
Diagramă CoxeterCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Grup de simetrieTd, A3, [3,3], (*332), ordin 24
Grup de rotațieT, [3,3]+, (332), ordin 12
Arie≈ 12,124 a2   (a = latura)
Volum≈   2,710 a3   (a = latura)
Unghi diedru3-6: 109° 28′ 16″
6-6:   70° 31′ 44″
Poliedru dualTetraedru triakis
ProprietățiPoliedru semiregulat, convex cu fețe poligoane regulate, tranzitiv pe vârfuri
Figura vârfului
Truncated tetrahedron vertfig.png
Desfășurată
Polyhedron truncated 4a net.svg

În geometrie tetraedrul trunchiat este un poliedru arhimedic. Are 4 fețe hexagoane regulate, 4 fețe triunghiuri echilaterale, 12 vârfuri și 18 laturi (de două tipuri). Poate fi construit prin trunchierea tuturor celor 4 vârfuri ale unui tetraedru regulat la o treime din lungimea laturii inițiale.

O trunchiere mai intensă, care elimină din fiecare vârf câte un tetraedru cu latura jumătate din lungimea laturii inițiale, se numește rectificare și transformă tetraedrul într-un octaedru.[1]

Tetraedrul trunchiat poate fi considerat un cub cantic, cu diagrama Coxeter, CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png, aând jumătate din vârfurile unui cub cantelat (rombicuboctaedru), CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png. Există două poziții duale ale acestei construcții, iar combinarea lor creează compusul uniform de două tetraedre trunchiate.

Are indicele de poliedru uniform U02,[2] indicele Coxeter C16 și indicele Wenninger W6.

Arie și volumModificare

Aria A și volumul V ale unui tetraedru trunchiat cu lungimea laturii a sunt:

 

Coordonate cartezieneModificare

Coordonatele carteziene ale celor 12 vârfuri ale tetraedrului trunchiat centrat în origine, cu lungimea laturii 8 sunt permutările lui (±1,±1,±3) cu un număr par de semne minus:

  • (+3,+1,+1), (+1,+3,+1), (+1,+1,+3)
  • (−3,−1,+1), (−1,−3,+1), (−1,−1,+3)
  • (−3,+1,−1), (−1,+3,−1), (−1,+1,−3)
  • (+3,−1,−1), (+1,−3,−1), (+1,−1,−3)
     
Proiecție ortogonală în coordonate carteziene în cubul de încadrare (±3,±3,±3). Fețele hexagonale ale tetraedrelor trunchiate pot fi împărțite în 6 triunghiuri echilaterale coplanare. Cele 4 noi vârfuri au coordonatele carteziene:
(−1,−1,−1), (−1,+1,+1),
(+1,−1,+1), (+1,+1,−1).
Astfel poate fi descompus în 4 octaedre (roșii) și 6 tetraedre (galbene).
Setul de permutări ale vârfurilor (±1,±1,±3) cu un număr impar de semne minus formează un tetraederu trunchiat complementar, care combinat cu cel inițial formează un compus uniform.

Proiecții ortogonaleModificare

Proiecție ortogonală
Centrat pe Normala laturii Normala feței Latură Față
Proiecție        
Cadru
de sârmă
       
Dual        
Simetrie
proiectivă
[1] [1] [4] [3]

Pavare sfericăModificare

Tetraedrul trunchiat poate fi reprezentat și ca o pavare sferică și proiectat în plan printr-o proiecție stereografică. Această proiecție este conformă, păstrând unghiurile, dar nu și ariile sau lungimile. Liniile „drepte” pe sferă sunt proiectate în plan ca arce de cerc.

   
centrat pe triunghiuri
 
centrat pe hexagoane
Proiecție ortogonală Proiecții stereografice

Poliedre înruditeModificare

Familia poliedrelor tetraedrice uniforme
Simetrie: [3,3], (*332) [3,3]+, (332)
               
                                               
{3,3} t{3,3} r{3,3} t{3,3} {3,3} rr{3,3} tr{3,3} sr{3,3}
Duale ale poliedrelor uniforme
               
V3.3.3 V3.6.6 V3.3.3.3 V3.6.6 V3.3.3 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3.3

Este, de asemenea, o parte dintr-un set de poliedre cantice și pavări cu configurația vârfului 3.6.n.6. În această construcție Wythoff, laturile dintre hexagoane reprezintă digoane degenerate.

Simetrii orbifold *n33 ale pavărilor cantice: 3.6.n.6
  Orbifold
*n32
Sferică Euclidiană Hiperbolice compacte Paracompactă
*332 *333 *433 *533 *633... *∞33
Figură cantică            
Configurația vârfului 3.6.2.6 3.6.3.6 3.6.4.6 3.6.5.6 3.6.6.6 3.6..6

Variante de simetrieModificare

Acest poliedru este înrudit topologic de familia de poliedre trunchiate uniforme cu simetriile din grupul Coxeter ale configurațiilor vârfurilor (3.2n.2n) și [n,3].

Variante de simetrii *n32 ale pavărilor sferice trunchiate: t{n,3}
Simetrii
*n32
[n,3]
Sferice Euclidiană Hiperb. compacte Paracomp.
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]...
*∞32
[∞,3]
Figuri
trunchiate
               
Schläfli t{2,3} t{3,3} t{4,3} t{5,3} t{6,3} t{7,3} t{8,3} t{∞,3}
Figuri
triakis
               
Config. V3.4.4 V3.6.6 V3.8.8 V3.10.10 V3.12.12 V3.14.14 V3.16.16 V3.∞.∞

NoteModificare

  1. ^ en Chisholm, Matt; Avnet, Jeremy (). „Truncated Trickery: Truncatering”. theory.org. Accesat în . 
  2. ^ en Eric W. Weisstein, Uniform Polyhedron la MathWorld.

BibliografieModificare

  • en Robert Williams (1979), The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, Dover Publications Inc., ISBN: 0-486-23729-X. (Section 3-9)
  • en Read, R. C.; Wilson, R. J. (), An Atlas of Graphs, Oxford University Press 

Legături externeModificare