Rectificare (geometrie)

În geometria euclidiană rectificarea, cunoscută și sub denumirea de trunchiere completă, este procesul de trunchiere a unui politop prin marcarea punctelor de mijloc ale tuturor laturilor și tăierea vârfurile în acele puncte.^[1] Politopul rezultat va fi mărginit de fațete de forma figurii vârfului și fațetele rectificate ale politopului inițial.

Un cub rectificat este un cuboctaedru, laturile sunt reduse la vârfuri, iar vârfurile sunt expandate în fețe noi

Un cub birectificat este un octaedru, fețele sunt reduse la puncte și apar fețe noi, centrate în vârfurile inițiale

La un fagure cubic rectificat laturile sunt reduse la vârfuri, iar vârfurile sunt expandate în celule noi

Un operator de rectificare este uneori notat cu litera $r$ înaintea simbolilui Schläfli. De exemplu, $r {4,3}$ este cubul rectificat, numit și cuboctaedru, notat și prin ${\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$ . Iar un cuboctaedru rectificat $rr$ {4,3} este un rombicuboctaedru, notat și prin $r{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$ .

Notația Conway a poliedrelor folosește pentru acest operator notația $a$ (ambo). În teoria grafurilor această operație creează un graf medial.

Rectificarea oricărui poliedru regulat sau pavare autoduale va avea ca rezultat un alt poliedru sau pavare de ordinul 4 regulate, de exemplu tetraedrul ${3,3}$ devenind un octaedru ${3,4}.$ Ca un caz particular, printr-o operație de rectificare o pavare pătrată ${4,4}$ se va transforma într-o altă pavare pătrată ${4,4}$ .

Exemple de rectificare ca trunchiere finală la o latură

Trunchieri ale cubului dincolo de rectificare

Rectificarea este punctul final al unui proces de trunchiere. De exemplu, pe un cub această secvență arată patru pași ai unui continuum de trunchieri între forma regulată și cea rectificată:


cub	trunchiat 1/4	trunchiat uniform	trunchiat 3/4	rectificat

Exemple de birectificare ca trunchiere finală la o față

Imaginea de alături arată un cub birectificat ca secvență finală de la un cub la dualul său, în care fețele originale sunt trunchiate la un singur punct.

La poligoane

Dualul unui poligon are același formă ca și poligonul rectificat. Noile vârfuri sunt plasate în centrul laturilor poligonului inițial.

La poliedre și pavări plane

Oricare poliedru platonic și dualul său au același poliedru rectificat. (Acest lucru nu este valabil pentru politopurile din dimensiuni superioare.)

Poliedrul rectificat se dovedește a fi exprimabil ca intersecție a poliedrului platonic inițial cu o versiune concentrică la scară adecvată a dualului său. Din acest motiv numele său este o combinație a numelui poliedrului inițial și al dualului său:

Tetraedrul rectificat, al cărui dual este tot tetraedrul, este tetratetraedrul, mai bine cunoscut sub numele de octaedru.
Octaedrul rectificat, al cărui dual este cubul, este cuboctaedrul.
Icosaedrul rectificat, al cărui dual este dodecaedrul, este icosidodecaedrul.
O pavare pătrată rectificată este tot o pavare pătrată.
O pavare triunghiulară sau pavare hexagonală rectificate sunt o pavare trihexagonală.

Exemple

Familia	Inițial	Rectificat	Dual
[p,q]
[3,3]	Tetraedru	Octaedru	Tetraedru
[4,3]	Cub	Cuboctaedru	Octaedru
[5,3]	Dodecaedru	Icosidodecaedru	Icosaedru
[6,3]	Pavare hexagonală	Pavare trihexagonală	Pavare triunghiulară
[7,3]	Pavare heptagonală de ordinul 3	Pavare triheptagonală	Pavare triunghiulară de ordinul 7
[4,4]	Pavare pătrată	Pavare pătrată	Pavare pătrată
[5,4]	Pavare pentagonală de ordinul 4	Pavare tetrapentagonală	Pavare pătrată de ordinul 5

La poliedre neregulate

Dacă un poliedru nu este unul regulat, punctele din mijlocul laturilor care înconjoară un vârf pot să nu fie coplanare. Totuși, și în acest caz este încă posibilă o formă de rectificare: fiecare poliedru are un graf poliedric ca 1-schelet, iar din acel graf se poate forma graful medial prin plasarea unui vârf (nod) în fiecare punct de mijloc al grafului inițial și conectând două dintre aceste noi noduri printr-o muchie ori de câte ori aparțin muchiilor consecutive de-a lungul unei fețe comune. Graful medial rezultat rămâne poliedric, deci prin teorema lui Steinitz^⁠(d) poate fi reprezentat ca un poliedru.

Notația Conway a poliedrelor echivalentă cu rectificarea este ambo, cu simbolul $a$ . Aplicarea de două ori, $aa$ a operației (rectificarea unei rectificări), este operația de expandare a lui Conway, $e$ , care pentru poliedre și pavări regulate este aceeași cu cea de cantelare a lui Johnson, t_0,2.

Rectificări în dimensiuni superioare

Rectificarea în dimensiuni superioare poate fi efectuată pe politopuri regulate din dimensiuni superioare. Cel mai înalt grad de rectificare creează un politop dual. O rectificare trunchiază laturile la puncte. O birectificare trunchiază fețele la puncte. O trirectificare trunchiază celulele la puncte și așa mai departe.

La 4-politopuri și teselări cu faguri tridimensionali

Orice 4-politop regulat convex are o formă rectificată ca 4-politop uniform.

Un 4-politop regulat {p,q,r} are celule {p,q}. Rectificarea sa va avea două tipuri de celule, un poliedru {p,q} rectificat rămas din celulele inițiale și un poliedru {q,r} ca celule noi formate la fiecare vârf trunchiat. Totuși, un {p,q,r} rectificat nu este același lucru cu un {r,q,p} rectificat. O altă trunchiere, numită bitrunchiere, este simetrică între un 4-politop și dualul său.

Exemple:

Familia	Inițial	Rectificat	Birectificat (Dual rectificat)	Trirectificat (Dual)
[p,q,r]	{p,q,r}	r{p,q,r}	2r{p,q,r}	3r{p,q,r}
[3,3,3]	5-celule	5-celule rectificat	5-celule rectificat	5-celule
[4,3,3]	tesseract	tesseract rectificat	16-celule rectificat (24-celule)	16-celule
[3,4,3]	24-celule	24-celule rectificat	24-celule rectificat	24-celule
[5,3,3]	120-celule	120-celule rectificat	600-celule rectificat	600-celule
[4,3,4]	Fagure cubic	Fagure cubic rectificat	Fagure cubic rectificat	Fagure cubic
[5,3,4]	Dodecaedric de ordinul 4	Dodecaedric de ordinul 4 rectificat	Cubic de ordinul 5 rectificat	Cubic de ordinul 5

Grade de rectificare

O primă rectificare trunchiază laturile la puncte. Dacă un politop este regulat, această formă este notată cu un simbol Schläfli extins, t₁{p,q,... } sau r{p,q,...}.

O a doua rectificare, sau birectificare trunchiază fețele la puncte. Dacă este regulată, notația sa este t₂{p,q,...} sau 2r{p,q,...}. La poliedre o birectificare creează un poliedru dual.

Rectificările de grad mai înalt pot fi construite pentru politopuri din dimensiuni superioare. În general, o n-rectificare trunchiază n-fețele la puncte.

Dacă un n-politop este (n−1)-rectificat, fațetele sunt reduse la puncte și politopul devine dualul său.

Notații și fațete

Există diferite notații echivalente pentru fiecare grad de rectificare. Aceste tabele arată numele după dimensiune și cele două tipuri de fațete pentru fiecare.

Poligoane regulate

Fațetele sunt laturi, notate prin {2}.

Nume {p}	Diagramă Coxeter	t-notație Simbol Schläfli	Simbol Schläfli vertical
Nume {p}	Diagramă Coxeter	t-notație Simbol Schläfli	Nume	Fațetă-1	Fațetă-2
Inițial		t₀{p}	{p}	{2}
Rectificat (Dual)		t₁{p}	{p}		{2}

Poliedre uniforme și pavări uniforme

Fațetele sunt poligoane regulate.

name {p,q}	Diagramă Coxeter	t-notație Simbol Schläfli	Simbol Schläfli vertical
name {p,q}	Diagramă Coxeter	t-notație Simbol Schläfli	Nume	Fațetă-1	Fațetă-2
Inițial	=	t₀{p,q}	{p,q}	{p}
Rectificat (Dual rectificat)	=	t₁{p,q}	r{p,q} = ${\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	{p}	{q}
Birectificat (Dual)	=	t₂{p,q}	{q,p}		{q}

4-politopuri regulate și faguri regulați

Fațetele sunt poliedre regulate sau rectificate.

Nume {p,q,r}	Diagramă Coxeter	t-notație Simbol Schläfli	Simbol Schläfli extins
Nume {p,q,r}	Diagramă Coxeter	t-notație Simbol Schläfli	Nume	Fațetă-1	Fațetă-2
Inițial		t₀{p,q,r}	{p,q,r}	{p,q}
Rectificat		t₁{p,q,r}	${\begin{Bmatrix}p\ \ \\q,r\end{Bmatrix}}$ = r{p,q,r}	${\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$ = r{p,q}	{q,r}
Birectificat (Dual rectificat)		t₂{p,q,r}	${\begin{Bmatrix}q,p\\r\ \ \end{Bmatrix}}$ = r{r,q,p}	{q,r}	${\begin{Bmatrix}q\\r\end{Bmatrix}}$ = r{q,r}
Trirectificat (Dual)		t₃{p,q,r}	{r,q,p}		{r,q}

5-politopuri regulate și 4-faguri regulați

Fațetele sunt 4-politopuri regulate sau rectificate.

Nume {p,q,r,s}	Diagramă Coxeter	t-notație Simbol Schläfli	Simbol Schläfli extins
Nume {p,q,r,s}	Diagramă Coxeter	t-notație Simbol Schläfli	Nume	Fațetă-1	Fațetă-2
Inițial		t₀{p,q,r,s}	{p,q,r,s}	{p,q,r}
Rectificat		t₁{p,q,r,s}	${\begin{Bmatrix}p\ \ \ \ \ \\q,r,s\end{Bmatrix}}$ = r{p,q,r,s}	${\begin{Bmatrix}p\ \ \\q,r\end{Bmatrix}}$ = r{p,q,r}	{q,r,s}
Birectificat (Dual birectificat)		t₂{p,q,r,s}	${\begin{Bmatrix}q,p\\r,s\end{Bmatrix}}$ = 2r{p,q,r,s}	${\begin{Bmatrix}q,p\\r\ \ \end{Bmatrix}}$ = r{r,q,p}	${\begin{Bmatrix}q\ \ \\r,s\end{Bmatrix}}$ = r{q,r,s}
Trirectificat (Dual rectificat)		t₃{p,q,r,s}	${\begin{Bmatrix}r,q,p\\s\ \ \ \ \ \end{Bmatrix}}$ = r{s,r,q,p}	{r,q,p}	${\begin{Bmatrix}r,q\\s\ \ \end{Bmatrix}}$ = r{s,r,q}
Cvadrirectificat (Dual)		t₄{p,q,r,s}	{s,r,q,p}		{s,r,q}

Note

^ en Eric W. Weisstein, Rectification la MathWorld.

Bibliografie

en Coxeter, H.S.M., Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN: 0-486-61480-8 (pp. 145–154 Chapter 8: Truncation)
en Norman Johnson, Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
en Norman Johnson, The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5 (Chapter 26)

Legături externe

Portal matematică

en George Olshevsky. „Rectification”. Glossary for Hyperspace. Arhivat din original la 4 februarie 2007.

v • d • m Operatori poliedrici
Sămânță	Trunchiere	Rectificare	Bitrunchiere	Dual	Expandare	Omnitrunchiere	Alternări


t₀{p,q} {p,q}	t₀₁{p,q} t{p,q}	t₁{p,q} r{p,q}	t₁₂{p,q} 2t{p,q}	t₂{p,q} 2r{p,q}	t₀₂{p,q} rr{p,q}	t₀₁₂{p,q} tr{p,q}	ht₀{p,q} h{q,p}	ht₁₂{p,q} s{q,p}	ht₀₁₂{p,q} sr{p,q}

[1] Eric W. Weisstein, Rectification la MathWorld.

[1]