600-celule

4-politop, analog icosaedrului din 3D
600-celule regulat
(tetraplex)
Schlegel wireframe 600-cell vertex-centered.png
Diagramă Schlegel cu un vârf în față
(vârfuri și laturi)
Tip4-politop regulat convex
Simbol Schläfli{3,3,5}
Diagramă CoxeterCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Celule600 (3.3.3) Tetrahedron.png
Fețe720 {5} Regular pentagon.svg
Laturi720
Vârfuri120
Figura vârfului600-cell verf.svg
icosaedru
Poligon Petrie30-gon
Grup CoxeterH4, [3,3,5], ordin 1440
Dual120-celule
Proprietățiconvex, izogonal, izotoxal, izoedric
Index uniform35

În geometrie 600-celule[a] este un obiect din spațiul cvadridimensional, unul dintre cele șase 4-politopuri convexe regulate descrise pentru prima dată de matematicianul elvețian Ludwig Schläfli la mijlocul secolului al XIX-lea. Mai este cunoscut sub numele de tetraplex (prescurtare a expresiei „complex de tetraedre”) sau C600.[1]

Desfășurata

Poate fi considerat analogul în 4 dimensiuni al icosaedrului regulat. Așa cum un icosaedru poate fi construit din 20 de triunghiuri, câte 5 în jurul fiecărui vârf, „tetraplexul” poate fi construit din 600 de celule tetraedrice, care se întâlnesc câte 5 în jurul fiecărei laturi și câte 20 în jurul fiecărui vârf.[b] Împreună au 1200 de fețe triunghiulare, 720 de laturi și 120 de vârfuri. Politopul său dual este 120-celule, cu care poate forma compusul de 120-celule și 600-celule.

GeometrieModificare

600-celule este al cincilea din secvența de 6 politopuri regulate convexe (în ordinea mărimii și complexității)[c] Poate fi divizat în douăzeci și cinci de figuri suprapuse ale predecesorului său imediat, 24-celule,[3] la fel cum 24-celule poate fi divizat în trei figuri suprapuse ale predecesorului său, tesseractul (8-celule), iar 8-celule poate fi divizat în două figuri care se suprapun ale predecesorului său, 16-celule.[4] Procedura inversă pentru a construi fiecare dintre acestea dintr-o figură a predecesorului său conservă raza predecesorului, dar produce, în general, un succesor cu o lungime a laturii mai mică.[d] Lungimea laturii 24-celulei este egală cu raza sa, dar lungimea laturii unui 600-celule de ≈0,618 ori mai mare decât raza sa. Raza și lungimea laturii unui 600-celule în raportul secțiunii de aur.

CoordonateModificare

Coordonate carteziene pentru raza de o unitateModificare

Vârfurile unui 600-celule cu raza de o unitate centrat în originea 4-spațiului, cu laturi de lungimea 1/φ ≈ 0,618 (unde φ = 1 + 5/2 ≈ 1,618 este secțiunea de aur), pot fi obținute[5] după cum urmează:

8 vârfuri se obțin din:

(0, 0, 0, ±1)

prin permutarea coordonatelor, iar 16 vârfuri din:

1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2).

Restul de 96 de vârfuri se obțin din permutările pare ale:

φ/2, ±1/2, ±φ–1/2, 0).

De notat că primele 8 sunt vârfurile unui 16-celule, următoarele 16 sunt vârfurile unui tesseract, iar cele 24 de vârfuri împreună sunt vârfurile unui 24-celule. Restul de 96 de vârfuri sunt vârfurile unui 24-celule snub, care pot fi găsite prin divizarea în secțiunea de aur a fiecăreia dintre cele 96 de laturi ale altei 24-celule (duală față de prima) într-o manieră consistentă.[6]

Într-un 24-celule există pătrate, hexagoane și triunghiuri care se află pe cercuri mari (în plane cuntrale prin patru sau șase vârfuri).[e] În 600-celule există 25 de 24-celule înscrise suprapuse, fiecare pătrat fiind unic pentru câte un singur 24-celule, fiecare hexagon sau triunghi fiind comun la câte două 24-celule și fiecare vârf fiind comun la câte cinci 24-celule.[g]

Coordonate sferice HopfModificare

În 600-celule există pentagoane și decagoane pe cercuri mari (în plane centrale, prin zece vârfuri).[h]

Doar laturile decagonului sunt elemente vizibile ale unui 600-celule (deoarece sunt laturile unui 600-celule). Laturile celorlalte poligoane din cercurile mari sunt coarde interioare ale unui 600-celule, care nu sunt prezentate în niciuna dintre imaginile 600-celulelor din acest articol.

Datorită simetriei, prin fiecare vârf trec același număr de poligoane de fiecare fel; deci este posibil să se considere toate cele 120 de vârfuri drept intersecții ale unui set de poligoane centrale de un singur fel: decagoanele, hexagoane, pentagoane, pătrate sau triunghiuri. De exemplu, cele 120 de vârfuri pot fi văzute ca vârfurile a 15 perechi de pătrate complet ortogonale care nu au în comun niciun vârf sau ca 144 de pentagoane neortogonale dintre care câte șase se întâlnesc în fiecare vârf. Această ultimă simetrie pentagonală a unui 600-celule este cuprinsă în coordonatele Hopf[k] (𝜉i, 𝜂, 𝜉j) dat ca:

({<10}𝜋/5, {≤5}𝜋/10, {<10}𝜋/5)

unde {<10} este permutarea celor zece cifre (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9) iar {≤5} este permutarea celor șase cifre (0 1 2 3 4 5). Coordonatele 𝜉i și 𝜉j diferă în cele 10 vârfuri ale decagoanelor înscrise într-un cerc mare; cifrele pare și impare etichetează vârfurile celor două pentagoane înscrise în fiecare decagon dintr-un cerc mare. Coordonatele 𝜂 diferă la cele 6 decagoane neortogonale înscrise în cercuri mari, care se intersectează în fiecare vârf.[l]

StructurăModificare

Secțiuni poliedriceModificare

Distanțele dintre vârfuri, măsurate în grade de arc pe hipersfera circumscrisă, au valorile 36° = 𝜋/5, 60° = 𝜋/3, 72° = 2𝜋/5, 90° = 𝜋/2, 108° = 3𝜋/5, 120° = 2𝜋/3, 144° = 4𝜋/5 și 180° = 𝜋. Plecând dintr-un vârf arbitrar V, la 36° și 144° se află cele 12 vârfuri ale unui icosaedru,[b] la 60° și 120° cele 20 de vârfuri ale unui dodecaedru, la 72° și 108° cele 12 vârfuri ale unui icosaedru mai mare, la 90° cele 30 de vârfuri ale unui icosidodecaedru, iar la 180° vârful de la antipodul lui V.[9] Acestea pot fi văzute în proiecțiile din planul Coxeter H3, având vârfurile suprapuse colorate.[10][11]

 

Aceste secțiuni poliedrice sunt tridimensionale și toate vârfurile lor se află pe suprafața unui 600-celule. Fiecare poliedru se află în spațiul euclidian cvadridimensional ca o secțiune transversală paralelă prin 600-celule (un hiperplan). În spațiul tridimensional curbat al anvelopei unui 600-celule poliedrul înconjoară vârful V așa cum își înconjoară propriul centru. Însă centrul său se află în interiorul unui 600-celule, nu pe suprafața sa. V nu este de fapt în centrul poliedrului, deoarece este deplasat spre exterior din acel hiperplan în a patra dimensiune, la suprafața unui 600-celule. Astfel, V este apexul unei 4-piramide cu baza un poliedru.

Coardele dintre vârfuriModificare

 
Geometria unui vârf al unui 600-celule, care prezintă cele 5 poligoane regulate înscrise de cerc mare și cele 8 lungimi ale coardelor de la vârf la vârf[e] și unghiurile respective. Secțiunea de aur[m] determină părțile fracționare ale oricărei alte coarde,[n] și triunghiurile de aur radiale[o] care se întâlnesc în centru

Cele 120 de vârfuri sunt distribuite[12] la 8 lungimi diferite ale coardelor. Laturile și coardele unui 600-celule sunt pur și simplu laturile și coardele celor cinci poligoane înscrise în cercuri mari.[13] În ordine crescătoare, ele au lungimile 0,𝚫, 1, 1,𝚫, 2, 2,𝚽, 3, 3,𝚽 și 4.[p]

De observat că coardele hipercubice ale unui 24-celule (1, 2, 3 și 4) alternează cu patru noi coarde ale 600-celulei, coarde ale decagoanelor și pentagoanelor înscrise în cercuri mari. Noile lungimi ale coardelor sunt în mod necesar rădăcini pătrate ale unor fracții, dar fracții foarte speciale, legate de secțiunea de aur[n]

GeodeziceModificare

Coardele care pornesc din vârfurile unui 600-celule sunt aranjate pe cercuri mari, geodezice, de poligoane de cinci feluri: decagoane, hexagoane, pentagoane, pătrate și triunghiuri.[14]

Laturile 0,𝚫 = 𝚽 formează 72 de decagoane regulate plate centrale, dintre care 6 se încrucișează la fiecare vârf.[b] La fel cum icosidodecaedrul poate fi divizat în 6 decagoane centrale (60 de laturi = 6 × 10), 600-celule poate fi divizat în 72 de decagoane (720 laturi = 72 × 10). Laturile 720 0,𝚫 împart suprafața în 1200 de fețe triunghiulare și 600 de celule tetraedrice: un 600-celule. Cele 720 de laturi apar în 360 de perechi paralele, la distanță de 3,𝚽 între ele. La fel ca în decagon și icosidodecaedru, laturile apar în triunghiuri de aur care se întâlnesc în centrul politopului.[o]

Coardele 1 formează 200 de hexagoane centrale (25 de seturi de 16, cu fiecare hexagon în două seturi),[f] 10 dintre care se intersectează în fiecare vârf[q] (4 din fiecare din cele cinci 24-celule, cu fiecare hexagon în două din cele 24-celule). Fiecare set de 16 hexagoane este format din cele 96 de laturi și 24 de vârfuri ale unuia dintre cele 25 de celule înscrise suprapuse. Coardele 1 unesc vârfurile care la capetele a două laturi 0,𝚫. Fiecare coardă 1 este diagonala mare a unei perechi de celule tetraedrice lipite pe o față (o bipiramidă triunghiulară) și trece prin centrul feței comune. Deoarece există 1200 de fețe, există 1200 de coarde1, în 600 de perechi paralele, la distanță de 3 între ele.

Coardele 1,𝚫 formează 144 de pentagoane centrale, dintre care 6 se intersectează în fiecare vârf.[h] Coardele 1,𝚫 leagă două vârfuri din aceleași plane ca ale celor 72 de decagoane: în fiecare decagon sunt înscrise două pentagoane. Coardeșe 1,𝚫 unesc vârfurile a două laturi 0,𝚫 separate de pe un cerc mare geodezic. Cele 720 de coarde 1,𝚫 apar în 360 de perechi paralele, 2,𝚽 la distanța φ între ele.

Coardele 2 formează 450 de pătrate centrale (25 de seturi disjuncte de 18), dintre care 15 se intersectează la fiecare vârf (câte 3 din fiecare din cele 24-celule). Fiecare set de 18 pătrate este format din cele 72 de laturi 2 24 de vârfuri ale unuia dintre cele 25 de celule înscrise suprapuse. Coardele 2 unesc vârfurile care sunt separate de trei laturi 0,𝚫 (și două coarde 1). Fiecare coardă 2 este diagonala mare a unei celule octaedrice într-un singur 24-celule. Există 1800 de coarde 2, în 900 de perechi paralele, la distanța de 2 între ele.

Coardele 2,𝚽 = φ formează picioarele a 720 triunghiuri isoscele centrale (72 seturi de 10 înscrise în fiecare decagon), dintre care 6 se intersectează în fiecare vârf. Cea de-a treia latură (baza) a fiecărui triunghi isoscel are o lungime de 3.𝚽. Coardele 2,𝚽 leagă un vârf cu al treilea din aceleași planei ca a celor 72 de decagoane, unind vârfuri care sunt la trei laturi 0,𝚫 distanță pe un cerc mare geodezic. Există 720 de coarde 2,𝚽 distincte, în 360 de perechi paralele, la distanța de 1,𝚫 între ele.

Coardele 3 formează 400 de triunghiuri centrale echilaterale (25 de seturi de 32, cu fiecare triunghi în două seturi), dintre care 10 se intersectează în fiecare vârf (4 din fiecare din cele cinci 24-celule, cu fiecare triunghi în două din cele 24-celule). Fiecare set de 32 de triunghiuri este format din 96 de coarde 3 și 24 de vârfuri ale unuia dintre cele 25 de 24-celule înscrise suprapuse. Acordurile 3 rulează vârf-la-fiecare-secundă-vârf în aceleași plane ca cele 200 de hexagoane: în fiecare hexagon sunt inscripționate două triunghiuri. Coardele 3 unesc vârfuri care sunt separate de patru laturi 0,𝚫 (și două coarde 1 separate pe un cerc mare geodezic). Fiecare coardă 3 este diagonala mare a două celule cubice din același 24-celule.[r] Există 1200 de coarde 3, în 600 de perechi paralele, la distanța de 1 între ele.[s] Există 1200 de coarde 3, în 600 de perechi paralele, la distanța de 1 între ele.

Coardele 4 apar ca 60 de diametre (75 seturi de 4 axe ortogonale), adică cele 120 de raze lungi ale 600-celulei. Coardele 4 unesc vârfuri opuse care sunt la distanța de cinci laturi 0,𝚫 pe un cerc mare geodezic. Există 25 de seturi distincte, dar suprapuse, de 12 diametre, fiecare fiind în una din cele 25 de 24-celule înscrise.[t]

Suma pătratelor lungimilor[u] tuturor acestor coarde distincte ale 600-celulei este 14400 = 1202.[v] Acestea sunt toate geodezice prin vârfuri, dar un 600-celule are cel puțin o altă geodezică care nu trece prin niciun vârf.[w]

Anvelope de margineModificare

600-celule „rotunjesc” cele 24-celule prin adăugarea a încă 96 de vârfuri între cele 24 de vârfuri existente ale celor 24-celule, adăugând efectiv douăzeci și patru de 24-celule suprapuse înscrise în 600-celule.[x] Noua suprafață astfel formată este o teselare de celule mai mici, mai numeroase[y] și fețe: tetraedre cu lungimea laturii de 1/φ ≈ 0,618 în loc de octaedre co latura de lungime 1. Acesta cuprinde laturile 1 ale celor 24-celule, care devin coarde interioare în 600-celule, la fel cu coardele 2 și 3.

Deoarece tetraedrele sunt formate din laturi ale triunghiurilor mai scurte decât octaedrele (cu un factor de 1/φ, inversul secțiunii de aur), 600-celule nu are lungimea laturilor de o unitate într-un sistem de coordonate cu raza lungă de o unitate, cum este la 24-celule și la tesseract; spre deosebire de cele două, 600-celule nu este radial echilateral. La fel ca ei, este radial triunghiular într-un mod special, dar unul în care triunghiurile de aur se întâlnesc în centru, mai degrabă decât triunghiurile echilaterale.[z]

Anvelopa de margine a 600 de celule tetraedrice mici se înfășoară în jurul celor douăzeci și cinci de anvelope ale 24 de celule octaedrice (adăugând spațiu cvadridimensional între aceste anvelope tridimensionale). Forma acestor interstiții trebuie să fie o 4-piramidă octaedrică de un anume fel, dar în 600-celule acestea nu sunt octaedre regulate.[aa]

ConstrucțiiModificare

600-celule încorporează geometriile fiecărui politop regulat convex din primele patru dimensiuni, cu excepția a 5-celule, 120-celule și a poligoanelor de la {7} în sus.[17] În consecință, există numeroase modalități de a construi sau descompune un 600-celule, dar niciuna dintre ele nu este banală. Construcția unui 600-celule de la predecesorul său regulat, al 24-celule, poate fi dificil de vizualizat.

Construcția GossetModificare

Thorold Gosset a descoperit 4-politopurile semiregulate, inclusiv 24-celule snub cu 96 de vârfuri, care se încadrează între 24-celule și 600-celule în secvența de 4-politopuri convexe cu dimensiuni și complexitate crescătoare la aceeași rază. Construcția Gosset a 600-celule din 24-celule se face în două etape, folosind 24-celule snub ca formă intermediară. În prima etapă, mai complexă, 24-celule snub este construit printr-o trunchiere snub particulară a unui 24-celule la secțiunea de aur a laturilor sale.[18] În cea de a doua etapă, 600-celule este construit într-o manieră simplă prin adăugarea de 4-piramide (vârfuri) la fațetele 24-celulei snub.[19]

24-celule snub este un 600-celule diminuat din care 24 de vârfuri (și grupul de 20 de celule tetraedrice din jurul fiecăruia) au fost trunchiate, lăsând o celulă icosaedrică "plată" în locul fiecărei piramide icosaedrice eliminată.[b] 24-celule snub are astfel 24 de celule icosaedrice, iar restul de 120 de celule, tetraedrice. Al doilea pas al construcției Gosset al 600-celule este pur și simplu inversul acestei diminuări: o piramidă icosaedrică de 20 de celule tetraedrice este plasată pe fiecare celulă icosaedrică.

Construirea unui 600-celule cu raza de o unitate pornind de la precursorul său, 24-celule cu raza de o unitate prin metoda Gosset necesită de fapt trei pași. 24-celule precursor al 24-celulei snub nu are aceeași rază: este mai mare, deoarece 24-celule snub este trunchierea sa. Începând de la un 24-celule cu raza de o unitate, primul pas este de a construi dualul său canonic exterior față de sfera sa mediană: un 24-celule mai mare, deoarece 24-celule este autodual. Acel 24-celule mai mare poate fi apoi trunchiat într-un 24-celule snub cu raza de o unitate.

Grupuri de celuleModificare

Deoarece este atât de indirectă, construcția Gosset s-ar putea să nu ajute prea mult la vizualizarea directă a modului în care cele 600 de celule tetraedrice se potrivesc împreună într-o anvelopă tridimensională,[y] sau cum sunt situate pe anvelopa celulelor octaedrice ale 24-celulelor. Pentru aceasta este util să se construiască 600-celule direct din grupuri de celule tetraedrice.

Multor persoane le este dificil să vizualizeze un 600-celule din exterior în spațiul cvadridimensional sau să recunoască o proiecție a unui 600-celule din cauza lipsei totale de experiență senzorială în spații cvadridimensionale, dar ar trebui să poată vizualiza anvelopa unui 600-celule din interior, deoarece volumul respectiv este un spațiu tridimensional care ar putea fi explorat.{{Sfn|Miyazaki|1990|ps=; Miyazaki showed that the surface envelope of the 600-cell can be realized architecturally in our ordinary 3-dimensional space as physical buildings (geodesic domes). (în română Miyazaki a arătat că anvelopa unui 600-celule poate fi realizată arhitectural în spațiul tridimensional a o clădire fizică (un dom geodezic). Acestă construcție a unui 600-celule din grupuri de celule, este una într-un spațiu tridimensional, deși unul ciudat: mic, închis și curbat, în care se poate merge în linie dreaptă în orice direcție pe o lungime de doar 10 laturi, ajungând din nou în punctul de plecare.

IcosaedreModificare
 
Un icosaedru regulat colorat conform simetriei unui octaedru snub.[ab] Icosaedrele dintr-un 600-celule sunt legate de celelalte icosaedre pe fețele galbene și cu grupuri de 5 celule tetraedrice pe fețele albastre. Apexul piramidei icosaedrice (nu este vizibil) este un al 13-lea vârf al 600-celule din interiorul icosaedrului (dar deasupra hiperplanului său).
 
Un grup de 5 celule tetraedrice: patru celule legate pe fețe în jurul unei a cincea celule (care nu este vizibilă). Cele patru celule se află în hiperplane diferite.

Figura vârfului unui 600-celule este un icosaedru.[b] Douăzeci de celule tetraedrice se întâlnesc în fiecare vârf, formând o piramidă icosaedrică al cărei apex este vârful, înconjurat de icosaedrul său de bază. 600-celule 600 are un unghi diedru de 𝜋/3 + arccos(−1/4) ≈ 164,4775°.[21]

Un 600-celule întreg poate fi asamblat din 24 de astfel de piramide icosaedrice (lipite pe 8 din cele 20 de fețe ale icosaedrului, colorate în galben în imagine), plus 24 de grupuri de câte 5 celule tetraedrice (patru celule lipite pe fețe în jurul uneia) care umplu golurile rămase între icosaedre. Șase grupuri de 5 celule înconjoară fiecare icosaedru și șase icosaedre înconjoară fiecare grup de 5 celule. Cinci celule tetraedrice înconjoară fiecare latură a icosaedrului: două din piramida icosaedrică și trei dintr-un grup de 5 celule (dintre care una este tetraedrul central al celor cinci). Fiecare icosaedru este lipit de fiecare grup adiacent de 5 celule pe două fețe albastre care au în comun o latură (care este, de asemenea, una dintre cele șase laturi ale tetraedrului central al celor cinci).

Apexurile celor 24 de piramide icosaedrice sunt vârfurile unui 24-celule înscrise în 600-celule. Celelalte 96 de vârfuri (vârfurile icosaedrice) sunt vârfurile unui 24-celule snub, care are exact aceeași structură ca icosaedrele și tetraedrele descrise aici, cu excepția faptului că icosaedrele nu sunt 4-piramide umplute de celule tetraedrice; ele sunt doar celule icosaedrice tridimensionale „plane”.

Divizatea 600-celulei în grupuri de 20 de celule și grupuri de 5 celule este artificială, deoarece toate celulele sunt la fel. Se poate începe prin alegerea unui grup de piramide icosaedrice centrat pe orice vârf ales arbitrar. Astfel, într-un 600-celule există 120 de icosaedre suprapuse.

Colorarea icosaedrelor cu 8 fețe galbene și 12 albastre se poate face în 5 moduri diferite.[ac] Astfel, apexul fiecărei piramide icosaedrice este vârful a 5 24-celule diferite, iar cele 120 de vârfuri cuprind 25 (nu 5) de 24-celule.[x]

Icoosaedrele sunt lipite pe fețele lor opuse în „linii drepte” geodezice, îndoite în a patra dimensiune într-un inel de 6 piramide icosaedrice. Vârfurile lor sunt vârfurile unor hexagoane înscrise în cercuri mari. Această geodezie hexagonală traversează un inel de 12 celule tetraedrice, lipite între ele alternativ față la față și vârf la vârf. Diametrul lung al fiecărei perechi de tetraedre legate pe fețe (fiecare bipiramidă triunghiulară) este o latură hexagonală (o latură a unui 24-celule).

Celulele tetraedrice sunt lipite pe fețe în elice Boerdijk–Coxeter, îndoite în a patra dimensiune în inele de 30 de celule tetraedrice.[ad] Laturile lor formează „linii drepte” geodezice de 10 laturi: decagoane înscrise în cercuri mari. Fiecare tetraedru, având șase laturi, participă la șase decagoane diferite.

OctaedreModificare

Există și alt mod util de a diviza suprafața unui 600-celule, în 24 de grupuri de câte 25 de celule tetraedrice, care dezvăluie multe despre structură[22] și o construcție directă a 600-celulei din predecesorul său, 24-celule.

Se începe cu oricare dintre grupurile de 5 celule (de mai sus) și se consideră că celula sa centrală este obiectul central al unui nou grup mai mare de celule tetraedrice. Celula centrală este prima secțiune a 600-celulei care începe cu o celulă. Înconjurându-l cu mai multe celule tetraedrice, se poate ajunge la secțiunile mai profunde începând cu o celulă.

În primul rând, de notat că un grup de 5 celule este format din 4 perechi suprapuse de tetraedre lipite (bipiramide triunghiulare) al căror diametru lung este o latură a unui 24-celule (o latură hexagonală) de lungime 1. Șase alte piramide triunghiulare umplu concavitățile de pe suprafața grupului de 5,[ae] deci coardele exterioare care leagă cele 4 vârfuri apicale ale sale sunt, de asemenea, laturi ale 24-celulelor, de lungime 1. Ele formează un tetraedru cu lungimea laturii 1, care este a doua secțiune a 600-celulei începând cu o celulă.[af] Într-un 600-celule există 600 de astfel de secțiuni tetraedrice 1.[ag]

Cu cele șase bipiramide triunghiulare din concavități există 12 celule și 6 vârfuri noi, în plus față de cele 5 celule și 8 vârfuri ale grupului original. Cele 6 noi vârfuri formează a treia secțiune a 600-celule începând cu o celulă, un octaedru cu lungimea muchiei 1, evident celula unui 24-celule. Ca parțial umplut până acum (cu 17 celule tetraedrice), acest octaedru 1 are fețe concave în care se potrivește o piramidă triunghiulară scurtă; are același volum ca o celulă tetraedrică regulată dar o formă tetraedrică neregulată.[ah] Fiecare celulă octaedrică este alcătuită din 1 + 4 + 12 + 8 = 25 celule tetraedrice: 17 celule tetraedrice regulate plus 8 celule tetraedrice echivalente volumetric, fiecare alcătuită din 6 fragmente de o șesime din 6 celule tetraedrice regulate diferite care se întind pe trei celule octaedrice adiacente.

Astfel, 600-celule cu raza de o unitate este construit direct din predecesorul său,[aa] 24-celule cu raza de o unitate, prin plasarea pe fiecare dintre fațetele sale octaedrice a unei piramide octaedrice neregulate trunchiate[ai] cu 14 vârfuri[aj] construite (în maniera de mai sus) din 25 de celule tetraedrice regulate cu lungimea laturii 1/φ ≈ 0,618.

RotațiiModificare

600-celule este generat de rotații ale 24-celule în trepte de 36° = 𝜋/5 (arcul unei laturi al unui 600-celule ).

Există 25 de 24-celule înscrise în 600-celule. Prin urmare, există și 25 de 24-celule snub înscrise, 75 de tesseracte înscrise și 75 de 16-celule înscrise.[x]

Un 16-celule (cu 8 vârfuri) are 4 diametre lungi înclinate la 90 ° = 𝜋/2 între ele, adesea luate ca cele 4 axe ortogonale ale sistemului de coordonate.

Un 24-celule (cu 24 de vârfuri) are 12 diametre lungi înclinate la 60° = 𝜋/3 între ele: 3 seturi disjuncte de 4 axe ortogonale, fiecare set cuprinzând diametrele uneia dintre cele 3 16-celule înscrise, rotite izoclinic cu 𝜋/3 unul față de celălalt.

Un 600-celule (cu 120 de vârfuri) are 60 de diametre lungi: nu doar 5 seturi disjuncte de 12 diametre, fiecare cuprinzând unu dintre cele 5 celule înscrise în 24-celule (așa cum am putea suspecta prin analogie), ci 25 de seturi distincte, dar suprapuse, de 12 diametre, fiecare cuprinzând unul din cei 25 de 24-celule înscrise. În 600-celule există 5 24-celule disjuncte, dar nu doar 5: există 10 moduri diferite de a diviza 600-celule în 5 24-celule disjuncte.[t]

Cele 24-celule sunt rotite una față de cealaltă în trepte de 𝜋/5. Distanța de rotație între 24-celulele înscrise este întotdeauna o rotație dublă de la 0 la 4 trepte de 𝜋/5 într-unul dintre planele invariante, combinat cu de la 0 la 4 trepte de 𝜋/5 în planul invariant complet ortogonal. Produsul acestor două rotații simple în 5 trepte produce 25 de moduri distincte în care se pot alege cele 24 de vârfuri ale unui 24-celule dintre cele 120 de vârfuri ale unui 600-celule.

Triunghiuri de aur radialeModificare

Un 600-celule poate fi construit radial din 720 de triunghiuri de aur cu lungimi ale laturilor de 0,𝚫, 1 și 1 care se întâlnesc în centrul 4-politopului contribuind cu două raze 1 și o latură 0,𝚫.[o] Acestea formează 1200 de piramide triunghiulare cu apexurile în centru: tetraedre neregulate cu bazele triunghiuri echilaterale cu laturile 0,𝚫 (fețele 600-celulei). De asemenea, formează 600 de piramide tetraedrice cu apexurile în centru: 5-celule neregulate cu bazele tetraedre regulate cu laturile 0,𝚫 (celulele 600-celulei).

ConfigurațieModificare

Un 600-celule este descris de matricea de configurație de mai jos.[23]. Rândurile și coloanele corespund vârfurilor, laturilor, fețelor și celulelor. Numerele de pe diagonală spun câte din fiecare element apar în întregul 600-celule. Celelalte numere indică câte elemente ale coloanei apar în sau la elementul rândului.

 

Mai jos este configurația dezvoltată cu elementele k-fețelor și k-figurilor. Numărul de elemente de pe diagonale reprezintă rapoartele dintre întregul grup Coxeter, 14400, și ordinul subgrupului cu eliminarea oglinzii.

H4         k-față fk f0 f1 f2 f3 k-fig Note
H3         ( ) f0 120 12 30 20 {3,5} H4/H3 = 14400/120 = 120
A1H2         { } f1 2 720 5 5 {5} H4/H2A1 = 14400/10/2 = 720
A2A1         {3} f2 3 3 1200 2 { } H4/A2A1 = 14400/6/2 = 1200
A3         {3,3} f3 4 6 4 600 ( ) H4/A3 = 14400/24 = 600

SimetriiModificare

Un icosian este un set particular de cuaternioni hamiltonieni cu aceeași simetrie ca și 600-celule.[24] Icosienii se află în „domeniul de aur”, (a + b5) + (c + d5)i + (e + f5)j + (g + h5)k, unde cele opt variabile sunt numere raționale.[25] Sumele finite ale celor 120 de icosieni unitate formează un inel icosian.

Când sunt interpretate drept cuaternioni, cele 120 de vârfuri ale unui 600-celule formează un grup față de înmulțirea cuaternionilor. Acest grup este adesea numit grupul icosaedric binar și notat cu 2I deoarece este anvelopa dublă a grupului icosaedric I regulat. Apare de două ori în grupul de simetrie de rotație RSG al unui 600-celule ca subgrup invariant, și anume subgrupul 2IL de înmulțire la stânga a cuaternionilor și ca subgrup 2IR de înmulțire la dreapta a cuaternionilor. Fiecare simetrie de rotație a unui 600-celule este generată de elemente specifice ale 2IL și 2IR; perechea de elemente opuse generează același element al RSG. Centrul RSG constă din rotația nulă Id și inversarea față de centru −Id. Există izomorfismul RSG ≅ (2IL × 2IR) / {Id, -Id}. Ordinul RSG este 120 × 120/2 = 7200.

Grupul icosaedric binar este izomorf cu grupul liniar special SL(2,5).

Grupul de simetrie complet al unui 600-celule este grupul Weyl al H4.[26] Acesta este un grup de ordinul 14400. Se compune din 7200 de rotații și 7200 de rotații-reflexii. Rotațiile formează un subgrup invariant al grupului de simetrie completă. Grupul simetriei de rotație a fost descris de S.L. van Oss.[27]

VizualizareModificare

Simetriile suprafeței tridimensionale ale unui 600-celule sunt oarecum dificil de vizualizat datorită atât numărului mare de celule tetraedrice,[y], cât și faptului că tetraedrul nu are fețe sau vârfuri opuse. Se poate începe prin a observa că 600-celule este dualul unui 120-celule. Se poate observa, de asemenea, că 600-celule 600 conține și vârfurile unui dodecaedru,[28] care cu ceva efort poate fi văzut în majoritatea proiecțiilor de perspectivă de mai jos.

Uniune de două toruriModificare

 
100 de tetraedre într-un tablou de 10 × 10 formând frontieră de tor Clifford în 600-celule

La fel ca la 120-celule, structura sa poate fi descompusă în două toruri disjuncte. Deoarece el este dualul unui 600-celule, aceeași structură de toruri duală există și în 600-celule, deși este oarecum mai complexă. Calea geodezică de 10 celule din 120-celule corespunde unei căi decagonale cu 10 vârfuri în 600-celule. Se începe prin asamblarea a cinci tetraedre în jurul unei laturi comune. Această structură arată oarecum ca o „farfurie zburătoare” unghiulară. Se aliniază zece dintre acestea vârf la vârf. Se completează inelul între fiecare „farfurie” cu 10 tetraedre formând un icosaedru. Acest lucru poate fi văzut drept cinci piramide icosaedrice, cu cele cinci goluri inelare umplute și ele. Suprafața este aceeași cu cea a zece antiprisme pentagonale. Acum torul este compus din 150 de celule, având lungimea de zece laturi și 100 de fețe, 150 de laturi și 50 de vârfuri expuse. Se plasează câte un tetraedru pe fiecare față expusă. Acest lucru va da un tor oarecum colțuros din 250 de celule cu 50 de vârfuri „spre vârf”, 50 de vârfuri „în vale” și 100 de laturi „în vale”. Văile sunt căi închise lungi de 10 laturi și corespund cu alte căi ale decagonului cu 10 vârfuri menționate mai sus. Aceste căi spiralează în jurul căii centrale, dar matematic toate sunt echivalente. Se construiește un al doilea tor identic de 250 de celule care se leagă de primul, rezultând o construcție de 500 de celule. Aceste două toruri se combină împreună, vârfurile „dinspre vârf” ale unuia intră în vârfurile „din vale”, lăsând 100 de goluri tetraedrice care sunt umplute cu restul de 100 de tetraedre care se combină în perechi pe laturile văii. Acest ultim set de 100 de tetraedre se află la limita exactă a duocilindrului și formează un tor Clifford. Ele pot fi „desfășurate” într-o matrice pătrată de 10 × 10. De altfel, această structură formează un strat tetraedric în fagurele tetraedric-octaedric.

 
Proiecție stereografică a unui singur inel în formă de elice Boerdijk–Coxeter format din 30 de tetraedre
 
Proiecție ortogonală în care inelul de 30 de tetraedre se află pe perimetrul 30-gonului

Există exact 50 de adâncituri pe ambele părți care ale torurilor de 250 de celule. În acest caz, în fiecare adâncitură, în locul unui octaedru, ca în fagure, se potrivește o bipiramidă triunghiulară compusă din două tetraedre.

În continuare, 600-celule poate fi divizat în 20 de inele interconectate disjuncte de câte 30 de celule, lungi cât zece laturi, formând o fibrare Hopf discretă.[29] Aceste lanțuri de câte 30 de tetraedre formează fiecare o elice Boerdijk–Coxeter. Cinci astfel de elice spiralează în jurul fiecăreia dintre căile decagonale prin 10 vârfuri, formând torul de 150 de celule menționat mai sus. Axa centrală a fiecărei elice este o geodezică 30-gonală care nu trece prin niciun vârf.[w]

Această descompunere a 600-celulei are simetria [[10,2+,10]], ordinul 400, aceeași simetrie ca și marea antiprismă. Marea antiprismă este doar un 600-celule cu cele două toruri de câte 150 de celule transformate în toruri de antiprisme pentagonale, lăsând doar singurul strat mijlociu de tetraedre, similar cu centura unui icosaedru cu cele 5 triunghiuri superioare și 5 inferioare eliminate (antiprisma pentagonală).

Proiecții 2DModificare

Proiecția decagonală H3 arată planul poligonului van Oss.

Proiecții ortogonale în planele Coxeter
H4 - F4
 
[30]
 
[20]
 
[12]
H3 A2 / B3 / D4 A3 / B2
 
[10]
 
[6]
 
[4]

Proiecții 3DModificare

Un model tridimensional al unui 600-celule din colecția Institutului Henri Poincaré a fost fotografiat în 1934–1935 de Man Ray și a făcut parte din două picturi ale sale ulterioare, "Shakesperean Equation" (în română Ecuația Shakespereană).[30]

Proiecție cu un vârf în față
  Această imagine prezintă o proiecție în perspectivă a 600-celule cu un vârf în față. 600-celule este scalat la o rază la vârf de 1, iar punctul de vedere 4D este plasat la o distanță de 5 unități. Sunt efectuate următoarele modificări:
  • cele 20 de tetraedre care se întâlnesc în vârful cel mai apropiat de punctul de vedere 4D sunt colorate roșu, se vede clar aranjamentul lor icosaedric;
  • tetraedrele imediat alăturate acestor 20 de celule sunt colorate galben transparent;
  • la celulele rămase sunt redate doar contururile;
  • celulele care sunt îndreptate în alte direcții decât cea a punctului de vedere (acelea care se află pe „fața îndepărtată” a 600-celulei) sunt eliminate pentru a clarifica imaginea.
Proiecție cu o celulă în față
  Această imagine prezintă o proiecție în perspectivă a 600-celule cu o celulă în față. Din nou, 600-celule este scalat la o rază la vârf de 1, iar punctul de vedere 4D este plasat la o distanță de 5 unități. Sunt efectuate următoarele modificări:
  • cea mai apropiată celulă de punctul de vedere 4D este situată în centrul imaginii și colorată roșu;
  • celulele care o înconjoară (având în comun cel puțin 1 vârf) sunt colorate galben transparent;
  • la celulele rămase sunt redate doar contururile;
  • celulele care sunt îndreptate în alte direcții decât cea a punctului de vedere sunt eliminate pentru a clarifica imaginea.

Acest punct de vedere particular arată spre partea din față a imaginii un contur de 5 tetraedre care au în comun câte o latură.

Rotație simplă
  Proiecție a unui 600-celule executând o rotație simplă.
Anvelope concentrice
  Un 600-celule proiectat utilizând o bază ortonormală. Vârfurile sunt sortate și calculate după norma lor 3D. Generarea corpului din ce în ce mai transparent al fiecărui set de norme înalte arată perechi de:

1) puncte în origine
2) icosaedre
3) dodecaedre
4) icosaedre
5) un singur icosidodecaedru
la un total de 120 de vârfuri.

Comparație animată sincronizată a cadrelor unui 600-celule într-o proiecție izometrică (stânga) și una în perspectivă (dreapta).

Proiecție stereografică (pe o 3-sferă)
  Centrat pe celulă. Cele 720 de laturi ale 600-celulei pot fi văzute aici ca 72 de cercuri, fiecare divizată în 10 laturi în intersecții. În fiecare vârf se intersectează 6 cercuri.

600-celule diminuatModificare

24-celule snub poate fi obținut din 600-celule prin eliminarea vârfurilor unui 24-celule înscris și construind anvelopa convexă a vârfurilor rămase. Procesul este o diminuare a 600-celulei.

Larga antiprismă poate fi obținut printr-o altă diminuare a 600-celulei: eliminarea a 20 de vârfuri care se află pe două inele reciproc ortogonale și construirea anvelopei convexe a vârfurilor rămase.

Un 600-celule bi-24-diminuat, cu toate celulele în formă de icosaedru tridiminuat are 48 de vârfuri eliminate, rămânând 72 din cele 120 de vârfuri ale 600-celulei. Dualul unui 600-celule bi-24-diminuat este un 600-celule tri-24-diminuat, cu 48 de vârfuri și 72 de celule hexaedrice.

În total există 314 248 344 de diminuări ale 600-celulei prin vârfuri neadiacente. Toate acestea constau din celule tetraedrice și icosaedrice regulate.[31]

600-celule diminuat
Nume 600-celule tri-24-diminuat 600-celule bi-24-diminuat 24-celule snub
(600-celule 24-diminuat)
Larga antiprismă
(600-celule 20-diminuat)
600-celule
Vârfuri 48 72 96 100 120
Figura
vârfului
(simetrie)
 
dualul icosaedrului tridiminuat
([3], ordin 6)
 
antipană tetragonală
([2]+, ordin 2)
 
icosaedru tridiminuat
([3], ordin 6)
 
icosaedru tridiminuat
([2], ordin 4)
 
Icosaedru
([5,3], ordin 120)
Simetrie Ordin 144 (48×3 or 72×2) [3+,4,3]
Ordin 576 (96×6)
[[10,2+,10]]
Ordin 400 (100×4)
[5,3,3]
Ordin 14400 (120×120)
Desfășurată          
Orto
plan H4
       
Orto
plan F4
       

Poligoane complexe asociateModificare

Politopurile complexe regulate 3{5}3,     și 5{3}5,    , din   au o reprezentare reală ca 600-celule. Ambele au 120 de vârfuri și 120 de laturi. Primul grup de reflexii complex 3[5]3, ordinul 360, și al doilea au simetria 5[3]5, ordin 600.[32]

Politop complex regulat în proiecția ortogonală a planului Coxeter H4
 
{3,3,5}
Ordin 14400
 
3{5}3
Ordin 360
 
5{3}5
Ordin 600

Politopuri și faguri asociațiModificare

600-celule este unul dintre cele 15 politopuri regulați și uniformi cu aceeași simetrie [3,3,5]:

Familia de politopuri H4
120-celule 120-celule
rectificat
120-celule
trunchiat
120-celule
cantelat
120-celule
runcinat
120-celule
cantitrunchiat
120-celule
runcitrunchiat
120-celule
omnitrunchiat
                                                               
{5,3,3} r{5,3,3} t{5,3,3} rr{5,3,3} t0,3{5,3,3} tr{5,3,3} t0,1,3{5,3,3} t0,1,2,3{5,3,3}
               
             
600-celule 600-celule
rectificat
600-celule
trunchiat
600-celule
cantelat
600-celule
bitrunchiat
600-celule cantitrunchiat 600-celule
runcitrunchiat
600-celule
omnitrunchiat
                                                               
{3,3,5} r{3,3,5} t{3,3,5} rr{3,3,5} 2t{3,3,5} tr{3,3,5} t0,1,3{3,3,5} t0,1,2,3{3,3,5}

Este similar cu trei 4-politopuri regulate: 5-celule {3,3,3}, 16-celule {3,3,4} din spațiul euclidian cvadridimensional și cu fagurele tetraedric de ordinul 6 {3,3,6} din spațiul hiperbolic. Toți aceștia au celule tetraedrice.

Politopuri {3,3,p}
Spațiu S3 H3
Formă Finit Paracompact Necompact
Nume {3,3,3}
       
{3,3,4}
       
     
{3,3,5}
       
{3,3,6}
       
     
{3,3,7}
       
{3,3,8}
       
      
... {3,3,∞}
       
      
Imagine              
Figura
vârfului
 
{3,3}
     
 
{3,4}
     
   
 
{3,5}
     
 
{3,6}
     
   
 
{3,7}
     
 
{3,8}
     
    
 
{3,∞}
     
    

Acest 4-politop face parte dintr-o secvență de 4-politopuri și faguri cu figura vârfului icosaedrică:

Politopuri {p,3,5}
Spațiu S3 H3
Formă Finit Compact Paracompact Necompact
Nume {3,3,5}
       
{4,3,5}
       
{5,3,5}
       
{6,3,5}
       
{7,3,5}
       
{8,3,5}
       
... {∞,3,5}
       
Imagine              
Celule  
{3,3}
     
 
{4,3}
     
 
{5,3}
     
 
{6,3}
     
 
{7,3}
     
 
{8,3}
     
 
{∞,3}
     

Note explicativeModificare

  1. ^ „600-celule” este o prescurtare a expresiei din limba română „un politop cvadridimensional format din 600 de celule”, plural „două sau mai multe politopuri cvadridimesnsionale formate din câte 600 de celule”, expresii care se acordă corespunzător, deci se vorbește despre „un/acel 600-celule”, nu „o/acea 600-celule”, respectiv „unele/acele 600-celule”', nu „unii/acei 600-celule”. La fel la celelalte politopuri ale căror nume este de forma „n-celule”.
  2. ^ a b c d e f În spațiul tridimensional al suprafeței de delimitare a unui 600-celule, la fiecare vârf se găsesc 12 cele mai apropiate vârfuri care înconjoară vârful, în felul în care vârfurile unui icosaedru îi înconjoară centrul. 12 laturi ale unui 600-celule converg în centrul icosaedrului, unde par să formeze șase drepte care se intersectează acolo. Însă centrul este deplasat de fapt în a 4-a dimensiune (radial spre exterior din centrul unui 600-celule), din hiperplanul definit de vârfurile icosaedrului. Astfel, icosaedrul vârfului este de fapt o piramidă icosaedrică canonică, compusă din 20 de tetraedre regulate pe o bază de icosaedru regulat.
  3. ^ 4-politopurile convexe regulate pot fi ordonate în funcție de dimensiune ca măsură a conținutului 4-dimensional (hipervolum) pentru aceeași rază. În secvență, fiecare politop mai mare este „mai rotund” decât predecesorul său, cuprinzând mai mult conținut[2] în aceeași rază. 4-simplex (5-celule) este cel mai mic, cazul limită, iar 120-celule este cel mai mare. Complexitatea (măsurată prin compararea matricilor de configurație sau pur și simplu a numărul de vârfuri) au aceeași ordine. Aceasta oferă o schemă de denumire numerică alternativă pentru politopurile regulate în care celula 600 este politopul de 120 de puncte: al cincilea în secvența ascendentă care se deplasează de la 5-puncte 4-politop la 600-puncte 4-politop.
  4. ^ Lungimea laturii va fi întotdeauna diferită, cu excepția cazului în care predecesorul și succesorul sunt ambele echilaterale radial, adică lungimea laturilor lor este aceeași cu raza lor (deci ambele se conservă). Deoarece politopurile echilaterale radial sunt rare, singura astfel de construcție (în orice dimensiune) este de la 8-celule la 24-celule.
  5. ^ a b
     
    Geometria vârfului unui 24-celule echilateral radial, care arată cele 3 poligoane pe un cerc mare și cele 4 lungimi ale coardelor de la un vârf la alt vârf

    Geometria unui 600-celule se bazează pe 24-celule. 600-celule înconjoară 24-celule cu încă 2 poligoane pe un cerc mare (decagon exterior și pentagon interior), adăugând încă 4 lungimi de coarde care alternează cu cele 4 lungimi de coarde ale 24-celulei.

  6. ^ a b Un 24-celule conține 16 hexagoane. În 600-celule, cu 25 de 24-celule, fiecare 24-celule este disjunct de cele 8 24-celule și se intersectează cu fiecare dintre celelalte 16 de 24-celule în 6 vârfuri care formează un hexagon.[7] 600-celule conține 25・16/2 = 200 astfel de hexagoane.
  7. ^ În cazurile în care 4-politopurile de același tip înscrise ocupă seturi disjuncte de vârfuri (cum ar fi cele două 16-celule înscrise în tesseract sau cele trei 16-celule înscrise în 24-celule), seturile lor de coarde între vârfuri și poligoanele centrale trebuie, de asemenea, să fie disjuncte. În cazurile în care au în comun vârfuri (cum ar fi cele trei tesseracte înscrise în 24-celule, sau cele 25 de 24-celule înscrise în 600-celule), ele pot avea de asemenea în comun unele coarde și poligoane centrale.[f]
  8. ^ a b Fiecare dintre cele 25 de 24-celule din 600-celule conține cel mult un vârf al unui pentagon.[7]
  9. ^ Unghiurile 𝜉i și 𝜉j sunt unghiuri de rotație în cele două plane invariante ortogonale care caracterizează rotațiile în spațiul euclidian cvadridimensional. Unghiul 𝜂 este înclinarea ambelor aceste plane față de axa nord-sud, unde 𝜂 ia valori de la 0 la 𝜋/2. Coordonatele (𝜉i, 0, 𝜉j) descriu cercurile mari care se intersectează în polul nord și polul sud („liniile de longitudine”). Coordonatele (𝜉i, 𝜋/2, 𝜉j) descriu cercurile mari ortogonale pe longitudine (cercuri "ecuatoriale"); ca ecuator al unei 3-sfere este o 2-sferă a cercurilor mari. Coordonatele Hopf (𝜉i, 0 < 𝜂 < 𝜋/2, 𝜉j) descriu cercurile mari (nu „paralele” = cercuri de latitudine) care traversează un ecuator, dar nu trec prin polul nord sau sud.
  10. ^ Conversia din coordonatele Hopf (𝜉i, 𝜂, 𝜉j) în coordonate carteziene cu raza de o unitate (w, x, y, z) este:
    w = cos 𝜉i sin 𝜂
    x = cos 𝜉j cos 𝜂
    y = sin 𝜉j cos 𝜂
    z = sin 𝜉i sin 𝜂
    Polul nord Hopf" (0, 0, 0) este în coordonate carteziene (0, 1, 0, 0).
    Cartezianul (1, 0, 0, 0) este în coordonate Hopf (0, 𝜋/2, 0).
  11. ^ Coordonatele Hopf[8] sunt un triplet de trei unghiuri:
    (𝜉i, 𝜂, 𝜉j)
    care parametrizează 3-sfera prin numerotarea punctelor de-a lungul cercurilor sale mari. O coordonată Hopf descrie un punct ca o rotație de la „polul nord” (0, 0, 0).[i] Coordonatele Hopf sunt o alternativă naturală la coordonatele carteziene[j] pentru încadrarea 4-politopurilor convexe regulate, deoarece aceste politopuri sunt generate de grupul rotațiilor în spațiul euclidian cvadridimensional, notat SO(4).
  12. ^ Sunt 600 de permutări ale acestor coordonate, dar într-un 600-celule există doar 120 de vârfuri. Acestea sunt de fapt coordonatele Hopf ale vârfurilor unui 120-celule, care poate fi considerat (în două feluri) ca un compus de 5 600-celule distincte.
  13. ^ Expresiile coardelor de aur exemplifică cum secțiunea de aur ϕ este legată de 𝜋:
    𝜋/5= arccos (ϕ/2)
    este o latură a unui decagon, 0,𝚫 = 0,382 = 0,618 = coarda 𝚽. Reciproc, în această funcție, descoperită de Robert Everest, exprimând ϕ ca funcție de 𝜋 și numerele 1, 2, 3 și 5 ale șirului Fibonacci:
    ϕ = 1 – 2 cos (3𝜋/5)
    3𝜋/5 este lungimea arcului 2,𝚽 = 2,618 = 1,618 = coarda ϕ.
  14. ^ a b În figură se observă cum coarda ϕ (partea mai mare a secțiunii de aur) se însumează cu latura adiacentă 𝚽 (partea mai mică a secțiunii de aur), astfel ca împreună să formeze coarda 5 îndoită ca să încapă în diametrul 4. Ultima coardă de lungime fracționară este diagonala pentagonului, cu lungimea 3,𝚽. Diagonala unui pentagon regulat este întotdeauna în raportul secțiunii de aur cu latura lui, φ1,𝚫 este 3,𝚽.
  15. ^ a b c d Raza lungă (de la centru la vârf) a unui 600-celule se află în raportul secțiunii de aur cu lungimea laturii sale; dacă lungimea laturii este 1, raza sa este ϕ iar dacă raza este 1, lungimea laturii este 1/ϕ. Doar câteva politopuri uniforme au această proprietate, inclusiv cvadridimensionalul 600-celule, tridimensionalul icosidodecaedru și bidimensionalul decagon. (Icosidodecaedrul este secțiunea transversală ecuatorială a unui 600-celule, iar decagonul este secțiunea ecuatorială a icosidodecaedrului.) Politopurile „radiale de aur” sunt cele care pot fi construite din triunghiuri de aur care se întâlnesc în centru, fiecare fiind format din două raze și o latură.
  16. ^ Rădăcinile pătrate fracționare sunt date ca fracții zecimale unde 𝚽 ≈ 0,618 este inversa secțiunii de aur 1/φ și 𝚫 ≈ 0,382 = 1 - 𝚽 = 𝚽2. De exemplu:
    0,𝚫 = 0,382 = 0,618 = 𝚽
  17. ^ Cele 10 hexagoane care se intersectează în fiecare vârf se află de-a lungul celor 20 de raze scurte ale figurii vârfului icosaedric.[b]
  18. ^ Cele 25 de 24-celule înscrise au câte 3 tesseracte înscrise, fiecare având 8 1 celule cubice. Cele 1200 de coarde 3 sunt cele 4 diagonale mari ale acestor 600 de cuburi; cele 3 tesseracte se suprapun și fiecare coardă este diagonala mare a unui cub în două tesseracte diferite.
  19. ^ Cele 25 24-celule înscrise au fiecare câte 3 tesseracte înscrise, fiecare având câte 8 celule cubice 1. Cele 1200 de coarde 3 sunt cele 4 diagonale mari ale acestor 600 de cuburi; cele 3 tesseracte se suprapun și fiecare coardă este diagonala mare a unui cub din două tesseracte diferite.
  20. ^ a b Pieter Hendrik Schoute a fost primul care a afirmat (acum un secol) că există exact zece moduri de a împărți cele 120 de vârfuri ale unui 600-celule în cinci 24-celule disjuncte. Cele 25 de 24-celule pot fi plasate într-o matrice de 5 × 5 astfel încât fiecare rând și fiecare coloană a matricei să grupeze cele 120 de vârfuri ale 600-celulei în cinci 24-celule disjuncte. Rândurile și coloanele matricei sunt singurele zece astfel de partiții dintr-un 600-celule.[15]
  21. ^ Suma a 0,𝚫・720 + 1・1200 + 1,𝚫・720 + 2・1800 + 2,𝚽・720 + 3・1200 + 3,𝚽・720 + 4・60 este 14400.
  22. ^ Suma pătratelor lungimilor tuturor coardelor distincte ale oricărui politop convex regulat cu raza de o unitate este pătratul numărului de vârfuri.[16]
  23. ^ a b Cele 600 de celule sunt dispuse fiecare în 20 de inele de 30 de tetraedre răsucite disjuncte. Axa centrală a fiecărei elice Boerdijk–Coxeter formată din 30 de tetraedre formează un 30-gon, cu fiecare segment care trece printr-un tetraedru în mod similar. Această geodezie se află complet pe suprafața tridimensională; segmentele nu sunt coarde interioare. Nu ating marginile sau vârfurile, dar ating fețele.
  24. ^ a b c 600 de celule conțin exact 25 de 24-celule, 75 de 16-celule și 75 de 8-celule, cu fiecare 16-celule și 8-celule situate într-un singur 24-celule.[15]
  25. ^ a b c Fiecare celulă tetraedrică atinge, într-un fel, alte 56 de celule. O celulă contactează fiecare dintre cele patru fețe; două celule contactează fiecare dintre cele șase laturi, dar nu și vreo față; iar zece celule contactează fiecare dintre cele patru vârfuri, dar nu și o față sau o latură.
  26. ^ Raza lungă (de la centru la vârf) ale unui 600-celule se află în raportul secțiunii de aur față de lungimea laturii sale; astfel raza sa este ϕ dacă lungimea laturii este 1, iar lungimea laturii este 1/ϕ dacă raza sa este 1. Numai câteva politopuri uniforme au această proprietate, inclusiv cvadridimensionalul 600-celule, tridimensionalul icosidodecaedru și bidimensionalul decagon. (Icosidodecaedrul este secțiunea transversală ecuatorială a unui 600-celule, iar decagonul este secțiunea ecuatorială a icosidodecaedrului.) Politopurile „radial de aur” sunt cele care pot fi construite, cu razele lor, din triunghiuri de aur.[o]
  27. ^ a b Începând cu 16-celule, fiecare politop convex regulat având raza lungă de o unitate este înscris în succesorul său.[4] Prin urmare, succesorul poate fi construit prin plasarea de 4-piramide de un anumit fel pe celulele predecesorului său. Între 16-celule și tesseract, există 16 piranide tetraedrice, cu apexurile lor umplând colțurile tesseractului. Între tesseract și 34-celule există 8 piramide cubice canonice. Dar dacă se așează 24 de piramide octaedrice pe 24-celule, se va obține doar un alt tesseract (cu raza și lungimea laturii duble), nu succesorul 600-celule. Între 24-celule și 600-celule trebuie să existe 24 de 4-piramide neregulate, mai mici, pe o bază octaedrică regulată.
  28. ^ Deoarece octaedrul poate fi trunchiat snub producând un icosaedru,[20] alt nume al icosaedrului este „octaedru snub”. Acest termen se referă la un aranjament al fețelor icosaedrului cu o simetrie inferioară (piritoedrică, cu 8 fețe de o culoare și 12 de alta).
  29. ^ Piramidele pentagonale din jurul fiecărui vârf al icosaedrului "octaedru snub" arată toate la fel, cu două fețe galbene și trei albastre. Fiecare pentagon are cinci orientări de rotație diferite. Rotirea oricărei piramide pentagonale le rotește pe toate, astfel încât cele cinci poziții de rotație sunt singurele cinci moduri diferite de a aranja culorile.
  30. ^ Deoarece tetraedrele nu au fețe opuse, singurul mod în care pot fi aliniate față la față în linie dreaptă este sub forma unui lanț răsucit numit elice Boerdijk–Coxeter
  31. ^ Aceste 12 celule sunt lipite pe laturi de celula centrală, lipite pe fețe de fețele exterioare ale grupului de 5 și sunt lipite pe fețe între ele în perechi. Sunt celulele cu fețe albastre din cele 6 piramide icosaedrice diferite care înconjoară grupul de 5.
  32. ^ Tetraedrul 1 are un volum de 9 0,𝚫 celule tetraedrice. În volumul tridimensional al 600-celulei, acesta cuprinde grupul de 5 celule, care nu-l umple în întregime. Cele 6 bipiramide (12 celule) care umplu concavitățile grupului de 5 celule îl supraumplu: doar o treime din fiecare bipiramidă se află în tetraedrul 1. Bipiramidele contribuie la o treime din fiecare din cele 12 celule, un volum echivalent cu 4 celule.
  33. ^ De asemenea, găsim tetraedre 1 ca celule ale 5-celulei cu raza de o unitate și radial în jurul centrului celor 24 de celule (una în spatele fiecăreia dintre cele 96 de fețe). Acele tetraedre 1 radiale apar și în 600-celule (în cele 25 de 24-celule înscrise), dar de notat că acestea nu sunt aceleași tetraedre ca cele 600 de secțiuni tetraedrice 1.
  34. ^ Fiecare latură 1 a celulei octaedrice este diametrul lung al unei alte piramide tetraedrice (alte două celule tetraedrice lipite pe o față). În 24-celule, trei celule octaedrice înconjoară fiecare latură, deci o treime a bipiramidei se află în interiorul fiecărui octaedru, împărțit între două fețe concave adiacente. Fiecare față concavă este umplută cu o șesime din fiecare dintre cele trei piramide care înconjoară cele trei laturi ale sale, deci are același volum ca o celulă tetraedrică.
  35. ^ Vârful unei piramide octaedrice canonice 1 a fost trunchiat snub într-o celulă tetraedrică regulată cu muchii mai scurte 0,𝚫, înlocuind vârful cu patru vârfuri. Trunchierea a creat, de asemenea, încă patru vârfuri (dispuse ca un tetraedru 1 într-un hiperplan între baza octaedrică și apexul celulei tetraedrice) și a legat aceste opt noduri noi cu laturi 0,𝚫. Piramida trunchiată are astfel mai degrabă opt vârfuri „apex” deasupra hiperplanului bazei sale octaedrice, decât unul singur. Piramida originală avea laterale plane: cele cinci rute geodezice de la orice vârf de pe bază până la vârful opus de pe bază treceau de-a lungul a două laturi 1 (și doar una dintre acele rute trecea prin vârful unic). Piramida trunchiată are laturi rotunjite: cinci trasee geodezice de la orice vârf de bază la vârful de bază opus se trec de-a lungul a trei laturi 0,𝚫 (și trec prin două „apexuri”).
  36. ^ 4-politopurile uniforme cu care se aseamănă cel mai mult acest 4-politop neregulat cu 14 vârfuri, 25 de celule, pot fi 10-vârfuri, 10-celule (5-celule rectificat) și dualul său (are caracteristici ale ambelor).

NoteModificare

  1. ^ en Norman Johnson, Geometries and Transformations, (2018) ISBN: 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite Symmetry Groups, 11.5 Spherical Coxeter groups, p.249
  2. ^ Coxeter 1973, pp. 292-293, Table I(ii): The sixteen regular polytopes {p,q,r} in four dimensions. ; Un tabel care oferă toate cele 20 de valori ale fiecărui 4-politop pentru latura de o unitate. Acestea trebuie convertite algebric pentru a compara politopurile cu raza de o unitate.
  3. ^ Coxeter 1973, p. 153, §8.51. ; "In fact, the vertices of {3, 3, 5}, each taken 5 times, are the vertices of 25 {3, 4, 3}'s." (în română De fapt, vârfurile lui {3, 3, 5}, luate fiecare de 5 ori, sunt vârfurile ale 25 {3, 4, 3}.
  4. ^ a b Coxeter 1973, p. 305, Table VII: Regular Compounds in Four Dimensions.
  5. ^ Coxeter 1973, pp. 156-157, §8.7 Cartesian coordinates.
  6. ^ Coxeter 1973, pp. 151–153, §8.4 The snub {3,4,3}.
  7. ^ a b Denney et al. 2020, p. 438.
  8. ^ Zamboj 2021, pp. 10-11, §Hopf coordinates.
  9. ^ Coxeter 1973, p. 298, Table V: The Distribution of Vertices of Four-dimensional Polytopes in Parallel Solid Sections (§13.1); (iii) Sections of {3, 3, 5} (edge 2𝜏–1) beginning with a vertex.
  10. ^ Oss 1899. ; van Oss does not mention the arc distances between vertices of the 600-cell.
  11. ^ Buekenhout & Parker 1998.
  12. ^ Coxeter 1973, p. 298, Table V: The Distribution of Vertices of Four-dimensional Polytopes in Parallel Solid Sections (§13.1); (iii) Sections of {3, 3, 5} (edge 2𝜏–1) beginning with a vertex; see column a.
  13. ^ Steinbach 1997, p. 23, Figure 3. ; Steinbach derived a formula relating the diagonals and edge lengths of successive regular polygons, and illustrated it with a "fan of chords" diagram like the one here.
  14. ^ Denney et al. 2020, pp. 437-439, §4 The planes of the 600-cell.
  15. ^ a b Denney et al. 2020, p. 434.
  16. ^ Copher 2019, p. 6, §3.2 Theorem 3.4.
  17. ^ Coxeter 1973, p. 303, Tabelul VI (iii): 𝐈𝐈 = {3,3,5}.
  18. ^ Coxeter 1973, pp. 151-153, §8.4 The snub {3,4,3}.
  19. ^ Coxeter 1973, p. 153, §8.5 Gosset's construction for {3,3,5}.
  20. ^ Coxeter 1973, pp. 50-52, §3.7.
  21. ^ Coxeter 1973, p. 293. ; 164°29'
  22. ^ Coxeter 1973, p. 299, Table V: (iv) Simplified sections of {3,3,5} ... beginning with a cell.
  23. ^ Coxeter 1973, p. 12, §1.8. Configurations.
  24. ^ van Ittersum 2020, pp. 80-95, §4.3.
  25. ^ Steinbach 1997, p. 24.
  26. ^ Denney et al. 2020, §2 The Labeling of H4.
  27. ^ Oss 1899, pp. 1-18.
  28. ^ Coxeter 1973, p. 303, Table VI (iii): 𝐈𝐈 = {3,3,5}.
  29. ^ Zamboj 2021, pp. 6-12, §2 Mathematical background.
  30. ^ en Grossman, Wendy A.; Sebline, Edouard, ed. (), Man Ray Human Equations: A journey from mathematics to Shakespeare, Hatje Cantz . a se vedea în special mathematical object mo-6.2, p. 58; Antony and Cleopatra, SE-6, p. 59; mathematical object mo-9, p. 64; Merchant of Venice, SE-9, p. 65, and "The Hexacosichoron", Philip Ordning, p. 96.
  31. ^ en Sikiric, Mathieu; Myrvold, Wendy (). „The special cuts of 600-cell”. Beiträge zur Algebra und Geometrie. 49 (1). arXiv:0708.3443 . 
  32. ^ Coxeter 1991, pp. 48-49.

BibliografieModificare

Legături externeModificare

 v  d  m Politopuri regulate și uniforme convexe fundamentale în dimensiunile 2–10
Familie An Bn I2(p) / Dn E6 / E7 / E8 / F4 / G2 Hn
Poligoane regulate Triunghi Pătrat p-gon Hexagon Pentagon
Poliedre uniforme Tetraedru OctaedruCub Semicub DodecaedruIcosaedru
4-politopuri uniforme 5-celule 16-celuleTesseract Semitesseract 24-celule 120-celule600-celule
5-politopuri uniforme 5-simplex 5-ortoplex5-cub 5-semicub
6-politopuri uniforme 6-simplex 6-ortoplex6-cub 6-semicub 122221
7-politopuri uniforme 7-simplex 7-ortoplex7-cub 7-semicub 132231321
8-politopuri uniforme 8-simplex 8-ortoplex8-cub 8-semicub 142241421
9-politopuri uniforme 9-simplex 9-ortoplex9-cub 9-semicub
10-politopuri uniforme 10-simplex 10-ortoplex10-cub 10-semicub
n-politopuri uniforme n-simplex n-ortoplexn-cub n-semicub 1k22k1k21 n-politop pentagonal
Topicuri: Familii de politopuriPolitop regulat