Ortoplex

Ortoplexuri în 2 până la 5 dimensiuni

2 dimensiuni pătrat	3 dimensiuni octaedru
4 dimensiuni 4-ortoplex	5 dimensiuni 5-ortoplex

În geometrie, un ortoplex (plural ortoplexuri), hiperoctaedru sau cocub este un politop regulat, convex n-dimensional. Un ortoplex 2-dimensional este un pătrat, un ortoplex 3-dimensional este un octaedru regulat, iar un ortoplex 4-dimensional este un 4-ortoplex (sau 16-celule). Fațetele sunt simplexuri în dimensiunea imediat inferioară, în timp ce figurile vârfurilor sunt alte ortoplexuri, din dimensiunile anterioare.

Vârfurile unui ortoplex pot fi alese ca versori orientați de-a lungul fiecărei axe de coordonate, adică toate permutările a (±1, 0, 0, …, 0). Ortoplexul este anvelopa convexă a vârfurilor. Ortoplexul n-dimensional poate fi definit de asemenea ca o Sferă unitate (sau, după unii autori doar frontierele sale) în spații normate în Rⁿ:

$\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|_{1}\leq 1\}.$

Într-o singură dimensiune ortoplexul este un simplu segment [−1, +1], în două dimensiuni este un pătrat (sau romb) cu vârfurile {(±1, 0), (0, ±1)}. În trei dimensiuni este un octaedru — unul din cele cinci corpuri poliedre regulate convexe. Seria poate fi generalizată în dimensiuni suplimentare printr-un n-ortoplex construit ca o n-piramidă dublă având baza un (n−1)-ortoplex.

Ortoplexul este politopul dual al hipercubului. 1-scheletul unui ortoplex n-dimensional este un graf Turán^⁠(d) T(2n,n).

În 4 dimensiuni

Ortoplexul 4-dimensional este numit și 16-celule. Este unul dintre cele șase 4-politopuri convexe^⁠(d) regulate. Aceste 4-politopuri au fost descrise pentru prima dată de Ludwig Schläfli la mijlocul secolului al XIX-lea.

În dimensiuni superioare

Familia ortoplexurilor este una din cele trei familii de politopuri regulate, notate de H.S.M. Coxeter cu β_n, celelalte două fiind simplexurile, notate de el cu α_n, și hipercuburile, notate de el cu γ_n. A patra familie, fagurii hipercubici a fost notată de el cu δ_n.

Ortoplexul n-dimensional are 2n vârfuri, and 2ⁿ fețe (componente n–1 dimensionale) toate fiind n–1 simplexuri. figurile vârfurilor sunt toate (n−1)- ortoplexuri. Simbolurile Schläfli ale ortoplexurilor sunt {3,3,...,3,4}.

Unghiurile diedre ale unui ortoplex n-dimensional este $\delta _{n}=\arccos \left({\frac {2-n}{n}}\right)$. Asta dă: δ₂ = arccos(0/2) = 90°, δ₃ = arccos(-1/3) = 109.47°, δ₄ = arccos(-2/4) = 120°, δ₅ = arccos(-3/5) = 126.87°, ... δ_∞ = arccos(-1) = 180°.

Volumul unui ortoplex n-dimensional este

${\frac {2^{n}}{n!}}.$

Pentru fiecare pereche de vârfuri care nu sunt opuse există o latură care le unește. Mai general, orice mulțime de vârfuri k+1 ortogonale corespunde unui component distinct k-dimensional care le conține. Numărul componentelor k-dimensionale (vârfuri, laturi, fețe, ..., fațete) dintr-un ortoplex n-dimensional este dat de (v. coeficient binomial):

$2^{k+1}{n \choose {k+1}}$

Sunt posibile mai multe proiecții ortogonale care prezintă ortoplexurile sub formă de grafuri 2-dimensionale. Poligoanele Petrie proiectează punctele într-un 2n-gon regulat sau în alte poligoane regulate de ordin inferior. O a doua proiecție ia 2(n−1)- gonul Petrie de dimensiunea inferioară, a se vedea bipiramida, proiectată în direcția axei, cu cele două vârfuri plasate în centru.

Elementele ortoplexurilor

n	βn k11	Nume Graf	Graf 2n-gon	Simbol Schläfli	Diagramă Coxeter-Dynkin	0-fețe Vârfuri	1-fețe Laturi	2-fețe Fețe	3-fețe Celule	4-fețe	5-fețe	6-fețe	7-fețe	8-fețe	9-fețe	10-fețe
0	β0	Punct 0-ortoplex	.	( )		1
1	β1	Segment 1-ortoplex		{ }		2	1
2	β2 −111	Pătrat 2-ortoplex		{4} 2{ } = { }+{ }		4	4	1
3	β3 011	octaedru 3-ortoplex		{3,4} {31,1} 3{ }		6	12	8	1
4	β4 111	16-celule 4-ortoplex		{3,3,4} {3,31,1} 4{ }		8	24	32	16	1
5	β5 211	5-ortoplex		{33,4} {3,3,31,1} 5{ }		10	40	80	80	32	1
6	β6 311	6-ortoplex		{34,4} {33,31,1} 6{ }		12	60	160	240	192	64	1
7	β7 411	7-ortoplex		{35,4} {34,31,1} 7{ }		14	84	280	560	672	448	128	1
8	β8 511	8-ortoplex		{36,4} {35,31,1} 8{ }		16	112	448	1120	1792	1792	1024	256	1
9	β9 611	9-ortoplex		{37,4} {36,31,1} 9{ }		18	144	672	2016	4032	5376	4608	2304	512	1
10	β10 711	10-ortoplex		{38,4} {37,31,1} 10{ }		20	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024	1
...
n	βn k11	n-ortoplex		{3n − 2,4} {3n − 3,31,1} n{}	... ... ...	2n 0-fețe, ... $2^{k+1}{n \choose k+1}$ k-fețe ..., 2n (n−1)-fețe

Vârfurile aliniate pe axa ortoplexlui sunt la distanțe egale de celelalte vârfuri. Conjectura Kusner afirmă că această mulțime de 2d puncte este cea mai mare posibilă pentru acestă distanță.

Ortoplexuri generalizate

Politopurile complexe^⁠(d) regulate, numite și ortoplexuri generalizate, pot fi definite în spațiul Hilbert complex, βp
n = ₂{3}₂{3}...₂{4}_p, sau …. Există soluții reale pentru p = 2, de exemplu β2
n = β_n = ₂{3}₂{3}...₂{4}₂ = {3,3,..,4}. Pentru p > 2 ele există în $\mathbb {\mathbb {C} } ^{n}$. Un p-generalizat n-ortoplex are pn vârfuri. Ortoplexurile generalizate au simplexuri (reale) ca fațete. Ortoplexurile generalizate produc grafuri multipartite^⁠(d), βp
2 produce K_p,p pentru un graf bipartit complet, βp
3 produce K_p,p,p pentru grafuri tripartite complete. βp
n produce K_pⁿ. Se poate face o proiecție ortogonală care arată toate vârfurile egal distanțate pe un cerc, cu toate perechile de vârfuri conectate, cu exccepția multiplilor de n. Poligonul regulat de pe perimetrul acestor proiecții ortogonale este numit poligon Petrie.

Ortoplexuri generalizate

	p=2		p=3	p=4	p=5	p=6	p=7	p=8
$\mathbb {R} ^{2}$	2{4}2 = {4} = K2,2	$\mathbb {\mathbb {C} } ^{2}$	2{4}3 = K3,3	2{4}4 = K4,4	2{4}5 = K5,5	2{4}6 = K6,6	2{4}7 = K7,7	2{4}8 = K8,8
$\mathbb {R} ^{3}$	2{3}2{4}2 = {3,4} = K2,2,2	$\mathbb {\mathbb {C} } ^{3}$	2{3}2{4}3 = K3,3,3	2{3}2{4}4 = K4,4,4	2{3}2{4}5 = K5,5,5	2{3}2{4}6 = K6,6,6	2{3}2{4}7 = K7,7,7	2{3}2{4}8 = K8,8,8
$\mathbb {R} ^{4}$	2{3}2{3}2 {3,3,4} = K2,2,2,2	$\mathbb {\mathbb {C} } ^{4}$	2{3}2{3}2{4}3 K3,3,3,3	2{3}2{3}2{4}4 K4,4,4,4	2{3}2{3}2{4}5 K5,5,5,5	2{3}2{3}2{4}6 K6,6,6,6	2{3}2{3}2{4}7 K7,7,7,7	2{3}2{3}2{4}8 K8,8,8,8
$\mathbb {R} ^{5}$	2{3}2{3}2{3}2{4}2 {3,3,3,4} = K2,2,2,2,2	$\mathbb {\mathbb {C} } ^{5}$	2{3}2{3}2{3}2{4}3 K3,3,3,3,3	2{3}2{3}2{3}2{4}4 K4,4,4,4,4	2{3}2{3}2{3}2{4}5 K5,5,5,5,5	2{3}2{3}2{3}2{4}6 K6,6,6,6,6	2{3}2{3}2{3}2{4}7 K7,7,7,7,7	2{3}2{3}2{3}2{4}8 K8,8,8,8,8
$\mathbb {R} ^{6}$	2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}2 {3,3,3,3,4} = K2,2,2,2,2,2	$\mathbb {\mathbb {C} } ^{6}$	2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}3 K3,3,3,3,3,3	2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}4 K4,4,4,4,4,4	2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}5 K5,5,5,5,5,5	2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}6 K6,6,6,6,6,6	2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}7 K7,7,7,7,7,7	2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}8 K8,8,8,8,8,8

Familii de politopuri conexe

Ortoplexurile se pot combina cu hipercuburile lor duale pentru a forma politopuri compuse:

• În două dimensiuni se obține octagrama {⁸⁄₂},
• În trei dimensiuni se obține compusul de cub cu octaedru,
• În patru dimensiuni se obține compus de tesseract cu 16-celule^⁠(d).

Bibliografie

• Coxeter, H.S.M. (1973). Regular Polytopes (ed. 3rd). New York: Dover. 
  • pp. 121-122, §7.21. see illustration Fig 7.2B
  • p. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n≥5)

Legături externe

• Materiale media legate de Ortoplexuri la Wikimedia Commons
• Cross Polytope la MathWorld