Diagramă Schlegel a 120-celule trunchiat cu celulele tetraedrice vizibile
Proiecție ortogonală a unui 120-celule trunchiat, în planul Coxeter H3 (simetrie D10). Sunt redate doar vârfurile și laturile.

În geometrie un 4-politop uniform este un politop cvadridimensional izogonal, ale cărui celule sunt poliedre uniforme iar fețele sale sunt poligoane regulate.

Au fost descrise patruzeci și șapte de politopuri uniforme convexe neprismatice, o mulțime finită de forme prismatice convexe și două mulțimi infinite de forme prismatice convexe. Există, de asemenea, un număr necunoscut de forme neconvexe stelate.

Istoria descoperirilor modificare

4-politopurile regulate convexe

În 1852 Ludwig Schläfli a demonstrat în manuscrisul său, Theorie der vielfachen Kontinuität (în română Teoria continuității multiple) că există exact 6 4-politopuri regulate și doar câte 3 în 5 sau mai multe dimensiuni.

4-politopuri stelate regulate

Tot în 1852 Ludwig Schläfli a găsit 4 din cele 10 4-politopuri stelate regulate, fără a număra pe cele 6 cu celule sau figura vârfului {5/2,5} și {5,5/2}.

În 1883 Edmund Hess în cartea sa Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder (în română Introducere în teoria divizării bilelor cu o considerație specială asupra aplicării sale la teoria poliedrelor izoedrice și izogonale) a completat lista celor 10 4-politopuri neconvexe regulate.[1]

4-politopurile semiregulate convexe

Politopurile semiregulate convexe au avut diferite definiții înainte de definirea categoriei uniforme de către Coxeter.

În 1900 Thorold Gosset în lucrarea sa On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions (în română Despre figurile regulate și semiregulate în spațiul cu n dimensiuni) a enumerat lista de politopuri convexe semiregulate neprismatice cu celule regulate (adică poliedre platonice).[2]

În 1910 Alicia Boole Stott, în lucrarea sa Geometrical deduction of semiregular from regular polytopes and space fillings, (în {{ro|Deducerea geometrică a politopurilor semiregulate din cele regulate și cele care umplu spațiul”, a extins definiția, acceptând și celulele de forma poliedrelor arhimedice și cele prismatice. În urma acestei relaxări a enumerat 45 de 4-politopuri semiregulate.[3]

În 1911 Pieter Hendrik Schoute a publicat lucrarea Analytic treatment of the polytopes regularly derived from the regular polytopes (în română Tratarea analitică a politopurilor derivate regulat din politopurile regulate), urmat de Boole-Stott, care a notat și enumerat politopurile uniforme convexe în funcție de simetrie, bazat pe 5-celule, 8-celule/16-celule și 24-celule.

În 1912 E. L. Elte a extins independent lista lui Gosset în lucrarea The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces (în română Politopurile semiregulate din hiperspații, politopuri cu unul sau două tipuri de fațete semiregulate.[4]

4-politopurile uniforme convexe

În 1940 căutarea a fost extinsă sistematic de H.S.M. Coxeter în lucrarea sa Regular and Semi-Regular Polytopes (în română Politopuri regulate și semiregulate)

În 1965 John Horton Conway și Michael Guy au publicat în lucrarea lor Four-Dimensional Archimedean Polytopes (în română Politopuri arhimedice cvadridimensionale) lista completă a politopurilor convexe, stabilită prin analiză pe calculator, având și un 4-politop convex newythoffian, marea antiprismă.

În 1966 Norman Johnson în teza sa de doctorat The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs (în română Teoria politopurilor și fagurilor uniformi) elaborată sub conducerea lui Coxeter a completat teoria de bază a politopurilor uniforme din dimensiunile 4 și superioare.

În1986 Coxeter a publicat articolul Regular and Semi-Regular Polytopes II care cuprinde analiza structurii unice a24-celule snub și a simetriei anormalei mari antiprisme.

În 2004 Marco Möller în teza sa de doctorat Vierdimensionale Archimedische Polytope (în română Politopuri arhimedice cvadridimesnionale a dat o demonstrație că setul Conway–Guy este complet.[5]

În 2008 Conway în The Symmetries of Things (în română Simetriile lucrurilor)[6] a publicat prima listă tipărită a 4-politopurilor uniforme convexe și a politopurilor din dimensiuni superioare din familia grupului Coxeter, cu diagrame generale ale figurilor vârfurilor pentru fiecare permutare inelată din diagramele Coxeter — snub, marea antiprismă și duoprisme — pe care le-a numit proprisme pentru prismele produsului. El și-a folosit propria schemă de denumire ijk-ambo pentru permutările inelului indexat dincolo de trunchiere și bitrunchiere, iar toate numele lui Johnson au fost incluse în indexul cărții.

4-politopurile stelate uniforme neregulate

Până în 2005, într-o cercetare în colaborare, Jonathan Bowers și George Olshevsky au identificat 1845 de 4-politopuri uniforme (convexe și neconvexe),[7] iar în 2006 au mai identificat 4.[8]

Până în 2020–2021 au mai fost descoperite 339 de politopuri noi, ridicând totalul 4-politopurilor uniforme cunoscute la 2188.[9]

4-politopuri regulate modificare

4-politopurile regulate sunt un subset al 4-politopurilor uniforme, care îndeplinesc cerințe suplimentare. 4-politopurile regulate sunt descrise de simbolurile Schläfli {p,q,r}, au celule de tipul {p,q}, fețe de tipul {p}, laturi de tipul {r}, și figuri ale vârfului de tipul {q,r}.

Existența unui 4-politop regulat {p,q,r} este condiționată de existența poliedrelor regulate {p,q}, care va fi celulele și {q,r} care va fi figura vârfului.

Existența unui 4-politop finit este condiționată de inegalitatea:[10]

Cele 16 4-politopuri regulate, având proprietatea că toate celulele, fețele, laturile și vârfurile sunt congruente sunt:

4-politopuri uniforme convexe modificare

Simetria 4-politopurilor uniforme în patru dimensiuni modificare

Subgrupuri ortogonale
Cele 16 oglinzi ale B4 pot fi descompuse în două grupuri ortogonale, 4A1 și D4:
  1. = (4 oglinzi)
  2. = (12 oglinzi)
Cele 24 oglinzi ale F4 pot fi descompuse în două grupuri ortogonale, D4:
  1. = (12 oglinzi)
  2. = (12 oglinzi)
Cele 10 oglinzi ale B3×A1 pot fi descompuse în grupurile ortogonale 4A1 și D3:
  1. = (3+1 oglinzi)
  2. = (6 oglinzi)

Există 5 familii fundamentale de grupuri punctuale de simetrii în oglindă în 4-dimensiuni: A4 = , B4 = , D4 = , F4 = , H4 = .[11] Există și 3 grupuri prismatice: A3A1 = , B3A1 = , H3A1 = și grupurile duoprismatice: I2(p)×I2(q) = . Fiecare grup este definit pe domeniul fundamental al unui tetraedru Goursat delimitat de plane de reflexie.

Orice 4-politop uniform construit prin reflexii face parte dintr-unul sau mai multe grupuri punctuale de reflexii în 4 dimensiuni printr-o construcție Wythoff, caracterizată de inele în jurul permutărilor nodurilor într-o diagramă Coxeter. Hiperplanele oglinzilor pot fi grupate folosind noduri colorate separate prin ramuri pare. Grupurile de simetrie de forma [a,b,a], au o simetrie extinsă, [[a,b,a]], dublând ordinul de simetrie. Acestea includ [3,3,3], [3,4,3] și [p,2,p]. Politopurile uniforme din acest grup cu inele simetrice conțin această simetrie extinsă.

Dacă într-un politop uniform dat toate oglinzile de o anumită culoare sunt neinelate (inactive), acesta va avea un ordin de simetrie mai mic prin eliminarea tuturor oglinzilor inactive. Dacă toate nodurile unei anumite culori sunt inelate (active), operatorul alternare poate genera un nou 4-politop cu simetrie chirală, prezentat ca „noduri goale încercuite”, dar geometria nu este întotdeauna susceptibilă de a crea soluții uniforme.

Grup
Weyl
Cuaternion
Conway
Structură
abstractă
Ordin Diagramă
Coxeter
Notație
Coxeter
Subgrup
comutator
Număr
Coxeter
(h)
Oglinzi
m=2h
Ireductibile
A4 +1/60[I×I].21 S5 120 [3,3,3] [3,3,3]+ 5 10
D4 ±1/3[T×T].2 1/2.2S4 192 [31,1,1] [31,1,1]+ 6 12
B4 ±1/6[O×O].2 2S4 = S2≀S4 384 [4,3,3] 8 4 12
F4 ±1/2[O×O].23 3.2S4 1152 [3,4,3] [3+,4,3+] 12 12 12
H4 ±[I×I].2 2.(A5×A5).2 14400 [5,3,3] [5,3,3]+ 30 60
Grupuri prismatice
A3A1 +1/24[O×O].23 S4×D1 48 [3,3,2] = [3,3]×[ ] [3,3]+ - 6 1
B3A1 ±1/24[O×O].2 S4×D1 96 [4,3,2] = [4,3]×[ ] - 3 6 1
H3A1 ±1/60[I×I].2 A5×D1 240 [5,3,2] = [5,3]×[ ] [5,3]+ - 15 1
Grupuri duoprismatice (Use 2p,2q pentru întregi pari)
I2(p)I2(q) ±1/2[D2p×D2q] Dp×Dq 4pq [p,2,q] = [p]×[q] [p+,2,q+] - p q
I2(2p)I2(q) ±1/2[D4p×D2q] D2p×Dq 8pq [2p,2,q] = [2p]×[q] - p p q
I2(2p)I2(2q) ±1/2[D4p×D4q] D2p×D2q 16pq [2p,2,2q] = [2p]×[2q] - p p q q

Enumerare modificare

Există 64 de politopuri uniforme convexe, inclusiv cele 6 politopuri convexei regulate, excluzând mulțimile infinite ale duoprismelor și ale prismelor antiprismatice.

  • 5 sunt prisme poliedrice bazate pe poliedrele platonice s (1 se suprapune cu cele regulate, deoarece o hiperprismă cubică este un tesseract)
  • 13 sunt prisme poliedrice bazate pe poliedrele arhimedice
  • 9 sunt în familia grupului autodual regulat A4 [3,3,3] din familia 5-celule
  • 9 sunt în grupul autodual regulat F4 [3,4,3] din familia 24-celule (fără 24-celule snub)
  • 15 sunt în grupul regulat B4 [3,3,4] din familia tesseract/16-celule (3 se suprapun cu camilia 24-celule)
  • 15 sunt în grupul regulat H4 [3,3,5] din familia 120-celule/600-celule.
  • 1 caz particular snub din grupul [3,4,3] din familia 24-celule.
  • 1 caz particular newythoffian, marea antiprismă.

TOTAL: 68 − 4 = 64

Aceste 64 de politopuri uniforme sunt enumerate mai jos de George Olshevsky. Formele de simetrie repetate sunt indicate între paranteze.

În plus față de cele 64 de mai sus există 2 mulțimi prismatice infinite care generează toate formele convexe rămase:

  • Mulțimea hiperprismelor antiprismatice uniforme — sr{p,2}×{ } — prisme poliedrice de două antiprisme.
  • Mulțimea duoprismelor uniforme — {p}×{q} — produsul cartezian al două poligoane.

Familia A4 modificare

5-celule are simetrie 4-simplectică [3,3,3],[11] de ordinul 120, izomorfă cu permutările a cinci elemente, deoarece toate perechile de vârfuri sunt legate în același mod.

Fațetele (celulele) sunt date, grupate în pozițiile lor din diagrama Coxeter, prin eliminarea nodurilor specificate.

Politopuri uniforme [3,3,3]
Nr. Nume Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
și simbol
Schläfli
Numărul celulelor din poziție Numărul elementelor
Poz. 3

(5)
Poz. 2

(10)
Poz. 1

(10)
Poz. 0

(5)
Celule Fețe Laturi Vârfuri
1 5-celule[11]
{3,3,3}
(4)

(3.3.3)
5 10 10 5
2 5-celule rectificat
r{3,3,3}
(3)

(3.3.3.3)
(2)

(3.3.3)
10 30 30 10
3 5-celule trunchiat
t{3,3,3}
(3)

(3.6.6)
(1)

(3.3.3)
10 30 40 20
4 5-celule cantelat
rr{3,3,3}
(2)

(3.4.3.4)
(2)

(3.4.4)
(1)

(3.3.3.3)
20 80 90 30
7 5-celule cantitrunchiat
tr{3,3,3}
(2)

(4.6.6)
(1)

(3.4.4)
(1)

(3.6.6)
20 80 120 60
8 5-celule runcitrunchiat
t0,1,3{3,3,3}
(1)

(3.6.6)
(2)

(4.4.6)
(1)

(3.4.4)
(1)

(3.4.3.4)
30 120 150 60
Politopuri uniforme [[3,3,3]]
Nr. Nume Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter

și simbol
Schläfli
Numărul celulelor din poziție Numărul elementelor
Poz. 3-0

(10)
Poz. 1-2

(20)
Alt Celule Fețe Laturi Vârfuri
5 *5-celule runcinat
t0,3{3,3,3}
(2)

(3.3.3)
(6)

(3.4.4)
30 70 60 20
6 *5-celule bitrunchiat
2t{3,3,3}
(4)

(3.6.6)
10 40 60 30
9 *5-celule omnitrunchiat
t0,1,2,3{3,3,3}
(2)

(4.6.6)
(2)

(4.4.6)
30 150 240 120
Neuniform 5-celule omnisnub[12]
ht0,1,2,3{3,3,3}
(2)
(3.3.3.3.3)
(2)
(3.3.3.3)
(4)
(3.3.3)
90 300 270 60

Cele trei forme de 4-politopuri uniforme marcate cu un asterisc, *, au cea mai mare simetrie 4-tetraedrică extinsă, de ordinul 240, [[3,3,3]] deoarece elementul corespunzător oricărui element al 5-celulei de bază poate fi schimbat cu unul dintre cele corespunzătoare unui element al dualului său. Există un mic subgrup indice [3,3,3]+, de ordin 60, sau dublul acestuia [[3,3,3]]+, de ordin 120, definind un 5 celule omnisnub care este listat pentru completare, dar nu este uniform.

Familia B4 modificare

Această familie are simetrie 4-ortoplectică [4,3,3],[11] de ordinul 24 × 16 = 384: 4! = 24 permutări ale celor 4 axe, respectiv 24 = 16 reflexii față de fiecare axă. Există 3 mici subgrupuri indice, dintre care primele două generează 4-politopuri uniforme care se repetă și în alte familii, [1+,4,3,3], [4,(3,3)+] și [4,3,3]+, toate de ordinul 192.

Trunchieri ale tesseractului modificare

Nr. Nume Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
și simbol
Schläfli
Numărul celulelor din poziție Numărul elementelor
Poz. 3

(8)
Poz. 2

(24)
Poz. 1

(32)
Poz. 0

(16)
Celule Fețe Laturi Vârfuri
10 tesseract
sau 8-celule

{4,3,3}
(4)

(4.4.4)
8 24 32 16
11 Tesseract rectificat


r{4,3,3}

(3)

(3.4.3.4)
(2)

(3.3.3)
24 88 96 32
13 Tesseract trunchiat
t{4,3,3}
(3)

(3.8.8)
(1)

(3.3.3)
24 88 128 64
14 Tesseract cantelat
rr{4,3,3}
(1)

(3.4.4.4)
(2)

(3.4.4)
(1)

(3.3.3.3)
56 248 288 96
15 Tesseract runcinat
(și 16-celule runcinat)

t0,3{4,3,3}
(1)

(4.4.4)
(3)

(4.4.4)
(3)

(3.4.4)
(1)

(3.3.3)
80 208 192 64
16 Tesseract bitrunchiat
(și 16-celule bitrunchiat)

2t{4,3,3}
(2)

(4.6.6)
(2)

(3.6.6)
24 120 192 96
18 Tesseract cantitrunchiat
tr{4,3,3}
(2)

(4.6.8)
(1)

(3.4.4)
(1)

(3.6.6)
56 248 384 192
19 Tesseract runcitrunchiat
t0,1,3{4,3,3}
(1)

(3.8.8)
(2)

(4.4.8)
(1)

(3.4.4)
(1)

(3.4.3.4)
80 368 480 192
21 Tesseract omnitrunchiat
(și 16-celule omnitrunchiat)

t0,1,2,3{3,3,4}
(1)

(4.6.8)
(1)

(4.4.8)
(1)

(4.4.6)
(1)

(4.6.6)
80 464 768 384
4-politopuri uniforme asociate cu semitesseractul, [1+,4,3,3]
Nr. Nume Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
și simbol
Schläfli
Numărul celulelor din poziție Numărul elementelor
Poz. 3

(8)
Poz. 2

(24)
Poz. 1

(32)
Poz. 0

(16)
Alt Celule Fețe Laturi Vârfuri
12 Semitesseract
16-celule
=
h{4,3,3}={3,3,4}
(4)

(3.3.3)
(4)

(3.3.3)
16 32 24 8
[17] Tesseract cantic
(sau 16-celule trunchiat)
=
h2{4,3,3}=t{4,3,3}
(4)

(6.6.3)
(1)

(3.3.3.3)
24 96 120 48
[11] Tesseract runcic
(sau tesseract rectificat)
=
h3{4,3,3}=r{4,3,3}
(3)

(3.4.3.4)
(2)

(3.3.3)
24 88 96 32
[16] Tesseract runcicantic
(sau tesseract bitrunchiat)
=
h2,3{4,3,3}=2t{4,3,3}
(2)

(3.4.3.4)
(2)

(3.6.6)
24 120 192 96
[11] (Tesseract rectificat) =
h1{4,3,3}=r{4,3,3}
24 88 96 32
[16] (Tesseract bitrunchiat) =
h1,2{4,3,3}=2t{4,3,3}
24 120 192 96
[23] (24-celule rectificat) =
h1,3{4,3,3}=rr{3,3,4}
48 240 288 96
[24] (24-celule trunchiat) =
h1,2,3{4,3,3}=tr{3,3,4}
48 240 384 192
Nr. Nume Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
și simbol
Schläfli
Numărul celulelor din poziție Numărul elementelor
Poz. 3

(8)
Poz. 2

(24)
Poz. 1

(32)
Poz. 0

(16)
Alt Celule Fețe Laturi Vârfuri
Neuniform Tesseract omnisnub[13]
(sau 16-celule omnisnub)

ht0,1,2,3{4,3,3}
(1)

(3.3.3.3.4)
(1)

(3.3.3.4)
(1)

(3.3.3.3)
(1)

(3.3.3.3.3)
(4)

(3.3.3)
272 944 864 192

Trunchieri ale 16-celulei modificare

Nr. Nume Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
și simbol
Schläfli
Numărul celulelor din poziție Numărul elementelor
Poz. 3

(8)
Poz. 2

(24)
Poz. 1

(32)
Poz. 0

(16)
Alt Celule Fețe Laturi Vârfuri
[12] 16-celule[11]
{3,3,4}
(8)

(3.3.3)
16 32 24 8
[22] *16-celule rectificat
(același cu 24-celule)
=
r{3,3,4}
(2)

(3.3.3.3)
(4)

(3.3.3.3)
24 96 96 24
17 16-celule trunchiat
t{3,3,4}
(1)

(3.3.3.3)
(4)

(3.6.6)
24 96 120 48
[23] *16-celule cantelat
(același cu 24-celule rectificat)
=
rr{3,3,4}
(1)

(3.4.3.4)
(2)

(4.4.4)
(2)

(3.4.3.4)
48 240 288 96
[15] 16-celule runcinat
(și 8-celule runcinat)

t0,3{3,3,4}
(1)

(4.4.4)
(3)

(4.4.4)
(3)

(3.4.4)
(1)

(3.3.3)
80 208 192 64
[16] 16-celule bitrunchiat
(și 8-celule bitrunchiat)

2t{3,3,4}
(2)

(4.6.6)
(2)

(3.6.6)
24 120 192 96
[24] *16-celule cantitrunchiat
(același cu 24-celule trunchiat)
=
tr{3,3,4}
(1)

(4.6.6)
(1)

(4.4.4)
(2)

(4.6.6)
48 240 384 192
20 16-celule runcitrunchiat
t0,1,3{3,3,4}
(1)

(3.4.4.4)
(1)

(4.4.4)
(2)

(4.4.6)
(1)

(3.6.6)
80 368 480 192
[21] 16-celule omnitrunchiat
(și 8-celule omnitrunchiat)

t0,1,2,3{3,3,4}
(1)

(4.6.8)
(1)

(4.4.8)
(1)

(4.4.6)
(1)

(4.6.6)
80 464 768 384
[31] 16-celule cantitrunchiat alternat
(același cu 24-celule snub)

sr{3,3,4}
(1)

(3.3.3.3.3)
(1)

(3.3.3)
(2)

(3.3.3.3.3)
(4)

(3.3.3)
144 480 432 96
Neuniform 16-celule rectificat runcic snub
sr3{3,3,4}
(1)

(3.4.4.4)
(2)

(3.4.4)
(1)

(4.4.4)
(1)

(3.3.3.3.3)
(2)

(3.4.4)
176 656 672 192
(*) Așa cum rectificarea tetraedrului produce octaedrul, rectificarea 16-celulei produce 24-celule, membru regulat al familiei următoare.

24-celule snub este repetat în această familie pentru completitudine. Este o alternare a 16-celule cantitrunchiat sau 24-celule trunchiat, cu grupul jumătății de simetrie [(3,3)+,4]. Celulele octaedrice trunchiate devin icosaedre. Cuburile devin tetraedre, iar 96 de tetraedre noi sunt create în golurile lăsate de vârfurile eliminate.

Familia F4 modificare

Acestă familie are simetrie octaplectică,[11] [3,4,3], de ordinul 24 × 48 = 1152: cele 48 de simetrii ale octaedrului pentru fiecare din cele 24 de celule. Există 3 mici subgrupuri indice, dintre care primele două generează 4-politopuri uniforme care se repetă și în alte familii, [3+,4,3], [3,4,3+] și [3,4,3]+, toate de ordinul 576.

4-politopuri uniforme [3,4,3]
Nr. Nume Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
și simbol
Schläfli
Numărul celulelor din poziție Numărul elementelor
Poz. 3

(24)
Poz. 2

(96)
Poz. 1

(96)
Poz. 0

(24)
Celule Fețe Laturi Vârfuri
22 24-celule[11]
(același cu 16-celule rectificat)

{3,4,3}
(6)

(3.3.3.3)
24 96 96 24
23 24-celule rectificat
(același cu 16-celule cantelat)

r{3,4,3}
(3)

(3.4.3.4)
(2)

(4.4.4)
48 240 288 96
24 24-celule trunchiat
(același cu 16-celule cantitrunchiat)

t{3,4,3}
(3)

(4.6.6)
(1)

(4.4.4)
48 240 384 192
25 24-celule cantelat
rr{3,4,3}
(2)

(3.4.4.4)
(2)

(3.4.4)
(1)

(3.4.3.4)
144 720 864 288
28 24-celule cantitrunchiat
tr{3,4,3}
(2)

(4.6.8)
(1)

(3.4.4)
(1)

(3.8.8)
144 720 1152 576
29 24-celule runcitrunchiat
t0,1,3{3,4,3}
(1)

(4.6.6)
(2)

(4.4.6)
(1)

(3.4.4)
(1)

(3.4.4.4)
240 1104 1440 576
4-politopuri uniforme [3+,4,3]
Nr. Nume Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
și simbol
Schläfli
Numărul celulelor din poziție Numărul elementelor
Poz. 3

(24)
Poz. 2

(96)
Poz. 1

(96)
Poz. 0

(24)
Alt Celule Fețe Laturi Vârfuri
31 24-celule snub
s{3,4,3}
(3)

(3.3.3.3.3)
(1)

(3.3.3)
(4)

(3.3.3)
144 480 432 96
Neuniform 24-celule snub runcic
s3{3,4,3}
(1)

(3.3.3.3.3)
(2)

(3.4.4)
(1)

(3.6.6)
(3)

Tricup
240 960 1008 288
[25] 24-celule snub cantic
(același cu 24-celule cantelat)

s2{3,4,3}
(2)

(3.4.4.4)
(1)

(3.4.3.4)
(2)

(3.4.4)
144 720 864 288
[29] 24-celule snub runcicantic
(același cu 24-celule runcitrunchiat)

s2,3{3,4,3}
(1)

(4.6.6)
(1)

(3.4.4)
(1)

(3.4.4.4)
(2)

(4.4.6)
240 1104 1440 576
Aici 24-celule snub, în ciuda numelui său comun, nu este analog cu cubul snub; mai degrabă este derivat printr-o alternare a 24-celule trunchiat. Ordinul său de simetrie este de numai 576, (grupul [3+,4,3]).
Ca și 5-celule, 24-celule este autodual, astfel că următoarele trei forme au de două ori mai multe simetrii, în total 2304 ([[3,4,3]]).
4-politopuri uniforme [[3,4,3]]
Nr. Nume Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
și simbol
Schläfli
Nr. celulelor din poziție Numărul elementelor
Poz. 3-0


(48)
Poz. 2-1


(192)
Celule Fețe Laturi Vârfuri
26 24-celule runcinat
t0,3{3,4,3}
(2)

(3.3.3.3)
(6)

(3.4.4)
240 672 576 144
27 24-celule bitrunchiat
2t{3,4,3}
(4)

(3.8.8)
48 336 576 288
30 24-celule omnitrunchiat
t0,1,2,3{3,4,3}
(2)

(4.6.8)
(2)

(4.4.6)
240 1392 2304 1152
4-politopuri izogonale [[3,4,3]]+
Nr. Nume Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
și simbol
Schläfli
Numărul celulelor din poziție Numărul elementelor
Poz. 3-0


(48)
Poz. 2-1


(192)
Alt Celule Fețe Laturi Vârfuri
Neuniform 24-celule omnisnub[14]
ht0,1,2,3{3,4,3}
(2)

(3.3.3.3.4)
(2)

(3.3.3.3)
(4)

(3.3.3)
816 2832 2592 576

Familia H4 modificare

Această familie are simetrie dodecaplectică,[11] [5,3,3], de ordinul 120 × 120 = 24 × 600 = 14400: 120 pentru fiecare din cele 120 de dodecaedre, sau 24 pentru fiecare din cele 600 de tetraedre. Există un mic subgrup indice, [5,3,3]+, toate de ordinul 7200.

Trunchieri ale 120-celulei modificare

Nr. Nume Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
și simbol
Schläfli
Numărul celulelor din poziție Numărul elementelor
Poz. 3

(120)
Poz. 2

(720)
Poz. 1

(1200)
Poz. 0

(600)
Alt Celule Fețe Laturi Vârfuri
32 120-celule[11]
{5,3,3}
(4)

(5.5.5)
120 720 1200 600
33 120-celule rectificat
r{5,3,3}
(3)

(3.5.3.5)
(2)

(3.3.3)
720 3120 3600 1200
36 120-celule trunchiat
t{5,3,3}
(3)

(3.10.10)
(1)

(3.3.3)
720 3120 4800 2400
37 120-celule cantelat
rr{5,3,3}
(1)

(3.4.5.4)
(2)

(3.4.4)
(1)

(3.3.3.3)
1920 9120 10800 3600
38 120-celule runcinat
(și 600-celule runcinat)

t0,3{5,3,3}
(1)

(5.5.5)
(3)

(4.4.5)
(3)

(3.4.4)
(1)

(3.3.3)
2640 7440 7200 2400
39 120-celule bitrunchiat
(și 600-celule bitrunchiat)

2t{5,3,3}
(2)

(5.6.6)
(2)

(3.6.6)
720 4320 7200 3600
42 120-celule cantitrunchiat
tr{5,3,3}
(2)

(4.6.10)
(1)

(3.4.4)
(1)

(3.6.6)
1920 9120 14400 7200
43 120-celule runcitrunchiat
t0,1,3{5,3,3}
(1)

(3.10.10)
(2)

(4.4.10)
(1)

(3.4.4)
(1)

(3.4.3.4)
2640 13440 18000 7200
46 120-celule omnitrunchiat
(și 600-celule omnitrunchiat)

t0,1,2,3{5,3,3}
(1)

(4.6.10)
(1)

(4.4.10)
(1)

(4.4.6)
(1)

(4.6.6)
2640 17040 28800 14400
Neuniform 120-celule omnisnub[15]
(același cu 600-celule omnisnub)

ht0,1,2,3{5,3,3}
(1)
(3.3.3.3.5)
(1)
(3.3.3.5)
(1)
(3.3.3.3)
(1)
(3.3.3.3.3)
(4)
(3.3.3)
9840 35040 32400 7200

Trunchieri ale 600-celulei modificare

Nr. Nume Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
și simbol
Schläfli
Simetrie Numărul. celulelor din poziție Numărul elementelor
Poz. 3

(120)
Poz. 2

(720)
Poz. 1

(1200)
Poz. 0

(600)
Celule Fețe Laturi Vârfuri
35 600-celule[11]
{3,3,5}
[5,3,3]
ordin 14400
(20)

(3.3.3)
600 1200 720 120
[47] 600-celule 20-diminuat
(marea antiprismă)
Construcție
newythoffiană
[[10,2+,10]]
ordin 400
indice 36
(2)

(3.3.3.5)
(12)

(3.3.3)
320 720 500 100
[31] 600-celule 24-diminuat
(24-celule snub)
Construcție
newythoffiană
[3+,4,3]
order 576
index 25
(3)

(3.3.3.3.3)
(5)

(3.3.3)
144 480 432 96
Nonuniform 600-celule bi-24-diminuat Construcție
newythoffiană
ordin 144
index 100
(6)

tdi
48 192 216 72
34 600-celule rectificat
r{3,3,5}
[5,3,3] (2)

(3.3.3.3.3)
(5)

(3.3.3.3)
720 3600 3600 720
Neuniform 600-celule rectificat 120-diminuat Construcție
newythoffiană
ordin 1200
index 12
(2)

3.3.3.5
(2)

4.4.5
(5)

P4
840 2640 2400 600
41 600-celule trunchiat
t{3,3,5}
[5,3,3] (1)

(3.3.3.3.3)
(5)

(3.6.6)
720 3600 4320 1440
40 600-celule cantelat
rr{3,3,5}
[5,3,3] (1)

(3.5.3.5)
(2)

(4.4.5)
(1)

(3.4.3.4)
1440 8640 10800 3600
[38] 600-celule runcinat
(și 120-celule runcinat)

t0,3{3,3,5}
[5,3,3] (1)

(5.5.5)
(3)

(4.4.5)
(3)

(3.4.4)
(1)

(3.3.3)
2640 7440 7200 2400
[39] 600-celule bitrunchiat
(și 120-celule bitrunchiat)

2t{3,3,5}
[5,3,3] (2)

(5.6.6)
(2)

(3.6.6)
720 4320 7200 3600
45 600-celule cantitrunchiat
tr{3,3,5}
[5,3,3] (1)

(5.6.6)
(1)

(4.4.5)
(2)

(4.6.6)
1440 8640 14400 7200
44 600-celule runcitrunchiat
t0,1,3{3,3,5}
[5,3,3] (1)

(3.4.5.4)
(1)

(4.4.5)
(2)

(4.4.6)
(1)

(3.6.6)
2640 13440 18000 7200
[46] 600-celule omnitrunchiat
(și 120-celule omnitrunchiat)

t0,1,2,3{3,3,5}
[5,3,3] (1)

(4.6.10)
(1)

(4.4.10)
(1)

(4.4.6)
(1)

(4.6.6)
2640 17040 28800 14400

Familia D4 modificare

Familia semitesseractelor, [31,1,1], nu produce noi 4-politopuri uniforme, ci repetă unele construcții alternative. Familia are simetrii de ordinul 12 × 16 = 192: 4!/2 = 12 permutatări ale celor patru axe, alternate la jumătate, 24 = 16 de reflexii față de fiecare axă. Există un mic subgrup indice care formează 4-politopuri, [31,1,1]+, de ordinul 96.

4-politopuri uniforme [31,1,1]
Nr. Nume Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter

=
=
Numărul celulelor din poziție Numărul elementelor
Poz. 0

(8)
Poz. 2

(24)
Poz. 1

(8)
Poz. 3

(8)
Poz. alt

(96)
Celule Fețe Laturi Vârfuri
[12] Semitesseract
(același cu
16-celule)
=
h{4,3,3}
(4)

(3.3.3)
(4)

(3.3.3)
16 32 24 8
[17] tesseract cantic
(același cu
16-celule trunchiat)
=
h2{4,3,3}
(1)

(3.3.3.3)
(2)

(3.6.6)
(2)

(3.6.6)
24 96 120 48
[11] tesseract runcic
(același cu
tesseract rectificat)
=
h3{4,3,3}
(1)

(3.3.3)
(1)

(3.3.3)
(3)

(3.4.3.4)
24 88 96 32
[16] tesseract runcicantic
(același cu
tesseract bitrunchiat)
=
h2,3{4,3,3}
(1)

(3.6.6)
(1)

(3.6.6)
(2)

(4.6.6)
24 96 96 24

Când nodurile celor 3 ramuri bifurcate sunt inelate identic, simetria poate fi mărită cu 6, ca [3[31,1,1]] = [3,4,3], astfel aceste politopuri sunt repetări din familia 24-celule.

4-politopuri uniforme [3[31,1,1]]
Nr. Nume Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
=
=
Numărul celulelor din poziție Numărul elementelor
Poz. 0,1,3

(24)
Poz. 2

(24)
Poz. alt

(96)
Celule Fețe Laturi Vârfuri
[22] 16-celule rectificat
(același cu
24-celule)
= =
=
{31,1,1} = r{3,3,4} = {3,4,3}
(6)

(3.3.3.3)
48 240 288 96
[23] 16-celule cantelat
(același cu
24-celule rectificat)
= =
=
r{31,1,1} = rr{3,3,4} = r{3,4,3}
(3)

(3.4.3.4)
(2)

(4.4.4)
24 120 192 96
[24] 16-celule cantitrunchiat
(același cu
24-celule trunchiat)
= = =
t{31,1,1} = tr{3,3,4} = t{3,4,3}
(3)

(4.6.6)
(1)

(4.4.4)
48 240 384 192
[31] 24-celule snub = = =
s{31,1,1} = sr{3,3,4} = s{3,4,3}
(3)

(3.3.3.3.3)
(1)

(3.3.3)
(4)

(3.3.3)
144 480 432 96

Și aici, 24-celule snub, cu grupul de simetrie [31,1,1]+, reprezintă o trunchiere alternată a 24-celule trunchiat, cu 96 de noi tetraedre în pozițiile vârfurilor șterse. Spre deosebire de apariția sa în celelalte grupuri, ca 4-politop parțial snub, numai în cadrul acestui grup de simetrie este complet analog cu snuburile Kepler, adică cubul snub și dodecaedrul snub.

Marea antiprismă modificare

Marea antiprismă este un 4-politop convex uniform newythoffian format din 20 de antiprisme pentagonale care formează două inele perpendiculare unite prin 300 de tetraedrue. Este întrucâtva analog antiprismelor tridimensionale, care constau din două poligoane paralele unite de o bandă de triunghiuri. Însă, spre deosebire de ele, marea antiprismă nu este membrul unei familii infinite de politopuri uniforme.

Simetria sa este grupul Coxeter diminuat ionic, [[10,2+,10]], de ordinul 400.

Nr. Nume Diagramă
Schlegel
Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
și simbol
Schläfli
Cells by type Element counts Net
Celule Fețe Laturi Vârfuri
47 Marea antiprismă Fără simbol 300
(3.3.3)
20
(3.3.3.5)
320 20 {5}
700 {3}
500 100

4-politopuri prismatice uniforme modificare

Un politop prismatic este un produs cartezian din două politopuri din dimensiuni inferioare; exemple familiare sunt [[prismă (geometrie) |prismele] tridimensionale, care sunt produse ale unui poligon și ale unui segment de dreaptă. 4-politopurile uniforme prismatice constau din două familii infinite:

  • "Prisme poliedrice": produsul unui segment de dreaptă și a unui poliedru uniform. Această familie este infinită deoarece include prismele și antiprismele tridimensionale.
  • Duoprisme: produsul a două poligoane.

Prisme poliedrice convexe modificare

O familie evidentă de 4-politopuri prismatice este prismele poliedrice, adică produsul unui poliedru cu un segment de dreaptă. Celulele unui astfel de 4-politop sunt două poliedre uniforme identice situate în hiperplane paralele (celulele de bază) și un strat de prisme care le unesc (celulele laterale). Această familie conține prisme pentru cele 75 de poliedre uniforme neprismatice (din care 18 sunt convexe; dintre acestea, una, prisma cub, este prezentată mai sus ca teseract).

Există 18 prisme poliedrice convexe create din cele 5 poliedre platonice și cele 13 poliedre arhimedice, precum și pentru familiile infinite de prisme și antiprisme tridimensionale. Ordinul de simetrie al unei prisme poliedrice este de două ori mai mare decât cel al poliedrului de bază.

Prisme tetraedrice: A3 × A1 modificare

Acestea au simetrie tetraedrică prismatică [3,3,2], de ordinul 48. Există două subgrupuri indice, [(3,3)+,2] și [3,3,2]+, dar al doilea nu produce 4-politopuri uniforme.

4-politopuri uniforme [3,3,2]
Nr. Nume Diagramă
Schlegel
Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
și simbol
Schläfli
rowspan=2 colspan=3 Nr. celulelor din poziție Numărul elementelor Desfășurată
Celule Fețe Laturi Vârfuri
48 Prismă tetraedrică
{3,3}×{ }
t0,3{3,3,2}
2
3.3.3
4
3.4.4
6 8 {3}
6 {4}
16 8
49 Prismă tetraedrică trunchiată
t{3,3}×{ }
t0,1,3{3,3,2}
2
3.6.6
4
3.4.4
4
4.4.6
10 8 {3}
18 {4}
8 {6}
48 24
4-politopuri uniforme [[3,3],2]</nowiki>
Nr. Nume Diagramă
Schlegel
Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
și simbol
Schläfli
rowspan=2 colspan=3 Nr. celulelor din poziție Numărul elementelor Desfășurată
Celule Fețe Laturi Vârfuri
[51] Prismă tetraedrică rectificată
(același cu prismă octaedrică)

r{3,3}×{ }
t1,3{3,3,2}
2
3.3.3.3
4
3.4.4
6 16 {3}
12 {4}
30 12
[50] Prismă tetraedrică cantelată
(același cu prismă cuboctaedrică)

rr{3,3}×{ }
t0,2,3{3,3,2}
2
3.4.3.4
8
3.4.4
6
4.4.4
16 16 {3}
36 {4}
60 24
[54] Prismă tetraedrică cantitrunchiată
(același cu prismă octaedrică trunchiată)

tr{3,3}×{ }
t0,1,2,3{3,3,2}
2
4.6.6
8
6.4.4
6
4.4.4
16 48 {4}
16 {6}
96 48
[59] Prismă tetraedrică snub
(același cu prismă icosaedrică)

sr{3,3}×{ }
2
3.3.3.3.3
20
3.4.4
22 40 {3}
30 {4}
72 24
Neuniform Antiprismă tetraedrică omnisnub
2
3.3.3.3.3
8
3.3.3.3
6+24
3.3.3
40 16+96 {3} 96 24

Prisme octaedrice: B3 × A1 modificare

Acestea au simetrie octaedrică prismatică [4,3,2], de ordinul 96. Există 6 subgrupuri indice 2, de ordinul 48, care generează 4-politopurile alternate de mai jos. Simetriile, în notația Coxeter sunt [(4,3)+,2], [1+,4,3,2], [4,3,2+], [4,3+,2], [4,(3,2)+] și [4,3,2]+.

Nr. Nume Diagramă
Schlegel
Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
și simbol
Schläfli
Numărul celulelor din poziție Numărul elementelor Desfășurată
Celule Fețe Laturi Vârfuri
[10] Prismă cubică
(același cu tesseract)
(același cu 4-4 duoprismă)

{4,3}×{ }
t0,3{4,3,2}
2
4.4.4
6
4.4.4
8 24 {4} 32 16
50 Prismă cuboctaedrică
(același cu prismă tetraedrică cantelată)

r{4,3}×{ }
t1,3{4,3,2}
2
3.4.3.4
8
3.4.4
6
4.4.4
16 16 {3}
36 {4}
60 24
51 prismă octaedrică
(același cu prismă tetraerică rectificată)
(același cu prismă antiprismatică tringhiulară)

{3,4}×{ }
t2,3{4,3,2}
2
3.3.3.3
8
3.4.4
10 16 {3}
12 {4}
30 12
52 Prismă rombicuboctaedrică
rr{4,3}×{ }
t0,2,3{4,3,2}
2
3.4.4.4
8
3.4.4
18
4.4.4
28 16 {3}
84 {4}
120 48
53 Prismă cubică trunchiată
t{4,3}×{ }
t0,1,3{4,3,2}
2
3.8.8
8
3.4.4
6
4.4.8
16 16 {3}
36 {4}
12 {8}
96 48
54 Prismă octaedrică trunchiată
(același cu prismă tetraedrică cantitrunchiată)

t{3,4}×{ }
t1,2,3{4,3,2}
2
4.6.6
6
4.4.4
8
4.4.6
16 48 {4}
16 {6}
96 48
55 Prismă cuboctaedrică trunchiată
tr{4,3}×{ }
t0,1,2,3{4,3,2}
2
4.6.8
12
4.4.4
8
4.4.6
6
4.4.8
28 96 {4}
16 {6}
12 {8}
192 96
56 Prismă cubică snub
sr{4,3}×{ }
2
3.3.3.3.4
32
3.4.4
6
4.4.4
40 64 {3}
72 {4}
144 48
[48] Prismă tetraedrică
h{4,3}×{ }
2
3.3.3
4
3.4.4
6 8 {3}
6 {4}
16 8
[49] Prismă tetraedrică trunchiată
h2{4,3}×{ }
2
3.3.6
4
3.4.4
4
4.4.6
6 8 {3}
6 {4}
16 8
[50] Prismă cuboctaedrică
rr{3,3}×{ }
2
3.4.3.4
8
3.4.4
6
4.4.4
16 16 {3}
36 {4}
60 24
[52] Prismă rombicuboctaedrică
s2{3,4}×{ }
2
3.4.4.4
8
3.4.4
18
4.4.4
28 16 {3}
84 {4}
120 48
[54] Prismă octaedrică trunchiată
tr{3,3}×{ }
2
4.6.6
6
4.4.4
8
4.4.6
16 48 {4}
16 {6}
96 48
[59] Prismă icosaedrică
s{3,4}×{ }
2
3.3.3.3.3
20
3.4.4
22 40 {3}
30 {4}
72 24
[12] 16-celule
s{2,4,3}
2+6+8
3.3.3.3
16 32 {3} 24 8
Neuniform Antiprismă tetraedrică omnisnub
sr{2,3,4}
2
3.3.3.3.3
8
3.3.3.3
6+24
3.3.3
40 16+96 {3} 96 24
Neuniform Antiprismă cubică omnisnub
2
3.3.3.3.4
12+48
3.3.3
8
3.3.3.3
6
3.3.3.4
76 16+192 {3}
12 {4}
192 48
Neuniform 4-hosoedru cubic snub runcic
s3{2,4,3}
2
3.6.6
6
3.3.3
8
cupolă triunghiulară
16 52 60 24

Prisme icosaedrice: H3 × A1 modificare

Acestea au simetrie icosaedrică prismatică [5,3,2], de ordinul 240. Există două subgrupuri indice 2, [(5,3)+,2] and [5,3,2]+, dar al doilea nu produce 4-politopuri uniforme.

Nr. Nume Diagramă
Schlegel
Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
și simbol
Schläfli
Numărul celulelor din poziție Numărul elementelor Desfășurată
Celule Fețe Laturi Vârfuri
57 Prismă dodecaedrică
{5,3}×{ }
t0,3{5,3,2}
2
5.5.5
12
4.4.5
14 30 {4}
24 {5}
80 40
58 Prismă icosidodecaedrică
r{5,3}×{ }
t1,3{5,3,2}
2
3.5.3.5
20
3.4.4
12
4.4.5
34 40 {3}
60 {4}
24 {5}
150 60
59 Prismă icosaedrică
(același cu prismă tetraedrică snub)

{3,5}×{ }
t2,3{5,3,2}
2
3.3.3.3.3
20
3.4.4
22 40 {3}
30 {4}
72 24
60 Prismă dodecaedrică trunchiată
t{5,3}×{ }
t0,1,3{5,3,2}
2
3.10.10
20
3.4.4
12
4.4.10
34 40 {3}
90 {4}
24 {10}
240 120
61 Prismă rombicosidodecaedrică
rr{5,3}×{ }
t0,2,3{5,3,2}
2
3.4.5.4
20
3.4.4
30
4.4.4
12
4.4.5
64 40 {3}
180 {4}
24 {5}
300 120
62 Prismă icosaedrică trunchiată
t{3,5}×{ }
t1,2,3{5,3,2}
2
5.6.6
12
4.4.5
20
4.4.6
34 90 {4}
24 {5}
40 {6}
240 120
63 Prismă icosidodecaedrică trunchiată
tr{5,3}×{ }
t0,1,2,3{5,3,2}
2
4.6.10
30
4.4.4
20
4.4.6
12
4.4.10
64 240 {4}
40 {6}
24 {10}
480 240
64 Prismă dodecaedrică snub
sr{5,3}×{ }
2
3.3.3.3.5
80
3.4.4
12
4.4.5
94 160 {3}
150 {4}
24 {5}
360 120
Neuniform Antiprismă dodecahedrică omnisnub
2
3.3.3.3.5
30+120
3.3.3
20
3.3.3.3
12
3.3.3.5
184 20+240 {3}
24 {5}
220 120

Duoprisme: [p] × [q] modificare

Diagramă Schlegel a celei mai simple duoprisme, 3,3-duoprisma, una dintre cele 6 prisme triunghiulare prezentate

Cea de a doua este familia infinită de duoprisme uniforme, produsul de două poligoane regulate. Diagrama Coxeter–Dynkin a unei duoprisme este . Figura vârfurilor lor este un bisfenoid tetragonal, .

Când unul dintre cele două poligoane „factor” este un pătrat, această familie se suprapune cu prima: produsul este echivalent cu o hiperprismă a cărui bază este o prismă tridimensională. Ordinul de simetrie al unei duoprisme ai cărei factori sunt un p-gon și un q-gon (o duoprismă „p,q”) este de 4pq dacă p ≠ q; dacă factorii sunt ambii p-goane, ordinul de simetrie este 8p2. Teseractul poate fi considerat o 4,4-duoprismă.

Elementele unei p,q-duoprisme (p ≥ 3, q ≥ 3) sunt:

  • celulele: prisme p q-gonale, prisme, q p-gonale;
  • fețele: pătrate pq, p q-goane, q p-goane;
  • laturile: 2pq;
  • vârfurile: pq.

Nu există un analog uniform cvadridimensional cu familia infinită a antiprismelor tridimensionale.

Mulțimea infinită de duoprisme p-q —  — prisme p q-gonale, prisme q p-gonale:

Nume Diagramă Coxeter Celule Diagrame Schlegel Desfășurtă
3-3 duoprismă 3+3 prisme triunghiulare
3-4 duoprismă 3 cubes
4 prisme triunghiulare
4-4 duoprismă
(același cu tesseract)
4+4 cuburi
3-5 duoprismă 3 prisme pentagonale
5 prisme triunghiulare
4-5 duoprismă 4 prisme pentagonale
5 cuburi
5-5 duoprismă 5+5 prisme pentagonale
3-6 duoprismă 3 prisme hexagonale
6 prisme triunghiulare
4-6 duoprismă 4 prisme hexagonale
6 cuburi
5-6 duoprismă 5 prisme hexagonale
6 prisme pentagonale
6-6 duoprismă 6+6 prisme hexagonale

3-3

3-4

3-5

3-6

3-7

3-8

4-3

4-4

4-5

4-6

4-7

4-8

5-3

5-4

5-5

5-6

5-7

5-8

6-3

6-4

6-5

6-6

6-7

6-8

7-3

7-4

7-5

7-6

7-7

7-8

8-3

8-4

8-5

8-6

8-7

8-8

Prisme prismatice poligonale [p] × [ ] × [ ] modificare

Mulțimea infinită de prisme prismatice uniforme se suprapune cu duoprismele 4-p: (p ≥ 3) —  — p cuburi și 4 prisme p-gonale (toate sunt identice cu duoprisma 4-p ). Al doilea politop din serie este o simetrie inferioară a tesseractului, {4}×{4}.

Prisme prismatice p-gonale convexe[16]
Nume {3}×{4} {4}×{4} {5}×{4} {6}×{4} {7}×{4} {8}×{4} {p}×{4}
Diagramă
Coxeter



Diagramă
Schlegel





Celule 3 {4}×{}
4 {3}×{}
4 {4}×{}
4 {4}×{}
5 {4}×{}
4 {5}×{}
6 {4}×{}
4 {6}×{}
7 {4}×{}
4 {7}×{}
8 {4}×{}
4 {8}×{}
p {4}×{}
4 {p}×{}
Desfășurată

Prisme antiprismatice poligonale: [p] × [ ] × [ ] modificare

Mulțimile infinite de prisme antiprismatice uniforme sunt formate din două antiprisme paralele: (p ≥ 2) —  — antiprisme 2p-gonale, conectate prin prisme 2p-gonale și 2p prisme triunghiulare.

Prisme antiprismatice p-gonale convexe
Nume s{2,2}×{} s{2,3}×{} {2,4}×{} s{2,5}×{} s{2,6}×{} s{2,7}×{} s{2,8}×{} s{2,p}×{}
Diagramă
Coxeter








Diagramă
Schlegel
Figura
vârfului
Celule 2 s{2,2}
(2) {2}×{}={4}
4 {3}×{}
2 s{2,3}
2 {3}×{}
6 {3}×{}
2 s{2,4}
2 {4}×{}
8 {3}×{}
2 s{2,5}
2 {5}×{}
10 {3}×{}
2 s{2,6}
2 {6}×{}
12 {3}×{}
2 s{2,7}
2 {7}×{}
14 {3}×{}
2 s{2,8}
2 {8}×{}
16 {3}×{}
2 s{2,p}
2 {p}×{}
2p {3}×{}
Desfășurată

O "prismă antiprismatică p-gonală" are "4p" triunghiuri, "4p" pătrate și 4 fețe p-gonale. Are 10p laturi și 4p vârfuri.

Alternări neuniforme modificare

La fel ca la un cub snub tridimensional, , o alternare elimină jumătate din vârfuri, în două seturi chirale de vârfuri din forma inelată , totuși soluția uniformă necesită ajustarea pozițiilor vârfurilor pentru laturi egale. În cvadridimensional, această ajustare este posibilă pentru numai 2 figuri alternate, în timp ce restul pot exista doar ca figuri alternate neechilaterale

Coxeter a prezentat doar două soluții uniforme pentru grupurile Coxeter de rangul 4 cu toate inelele alternate (nodurile notate cu cercuri goale). Prima este , s{21,1,1} care reprezintă un subgrup indice 24 (simetie [2,2,2]+, ordin 8) de forma unui semitesseract, , h{4,3,3} (simetrie [1+,4,3,3] = [31,1,1], ordin 192). A doua este , s{31,1,1}, care este un subgrup indice 6 (simetrie [31,1,1]+, ordin 96) de forma unui 24-celule snub, , s{3,4,3}, (simetrie [3+,4,3], ordin 576).

Alte alternări, ca , o alternare a unui tesseract omnitrunchiat , nu poate fi făcut unifom prin rezolvarea problemei laturilor egale deoarece în general sistemul care-l caracterizează este supradeterminat⁠(d), având 6 ecuații și doar 4 variabile. Astfel de figuri alternate neuniforme pot fi construite ca 4-politopuri izogonale prin îndepărtarea uneia dintre cele două jumătăți de vârfuri ale figurii complet inelate, dar vor avea lungimi ale laturilor inegale. La fel ca alternările uniforme, vor avea jumătate din simetria figurii uniforme, cum ar fi [4,3,3]+, ordin 192, care este simetria tesseractului omnitrunchiat alternat.[17]

Construcțiile Wythoff cu alternanțe produc figuri izogonale care pot fi făcute echilaterale, dar nu și uniforme, deoarece golurile alternate (în jurul vârfurilor eliminate) creează celule care nu sunt regulate sau semiregulate. Un nume propus pentru astfel de figuri este politopuri scaliforme.[18] Această categorie admite ca celule un subset de poliedre Johnson, de exemplu cupola triunghiulară.

Fiecare configurație a vârfului dintr-un poliedru Johnson trebuie să existe în figura vârfului. De exemplu, o piramidă pătrată are două configurații ale vârfurilor: 3.3.4 în jurul bazei și 3.3.3.3 la apex.

Desfășuratele și figurile vârfurilor celor două cazuri convexe sunt date mai jos, împreună cu o listă de celule din jurul fiecărui vârf.

Două 4-politopuri convexe izogonale cu celule neuniforme
Diagramă
Coxeter
s3{2,4,3}, s3{3,4,3},
Relații 24 din 48 de vârfuri ale
prismei rombicuboctaedrice
288 din 576 de vârfuri ale
24-celule runcitrunchiat
Desfășurată
4-hosoedru cubic runcic[19][20]

24-celule snub runcic[21][22]
Celule