Poliedru uniform

Poliedru platonic: tetraedru
Poliedru stelat uniform: dodecadodecaedru snub

Un poliedru uniform are poligoane regulate ca fețe și este tranzitiv pe vârfuri (adică, există o izometrie care aplică orice vârf pe oricare altul). Rezultă că toate vârfurile sunt congruente.

Poliedrele uniforme pot fi regulate (dacă sunt și tranzitive pe fețe și muchii), cvasiregulate (dacă sunt tranzitive pe muchii, dar nu și pe fețe) sau semiregulate (dacă nu sunt tranzitive nici pe muchii, nici pe fețe). Fețele și vârfurile nu trebuie să fie convexe, așa că multe dintre poliedrele uniforme sunt și poliedre stelate.

Există două clase infinite de poliedre uniforme, împreună cu alte 75 de poliedre:

Există, de asemenea, multe poliedre uniforme degenerate, cu perechi de muchii care coincid, inclusiv unul găsit de John Skilling numit marele dirombidodecaedru disnub (figura lui Skilling).

Poliedrele duale ale poliedrelor uniforme sunt tranzitive pe fețe (izoedrice) și au figurile vârfurilor regulate, și sunt în general clasificate în paralel cu poliedrul lor dual (uniform). Dualul unui poliedru regulat este regulat, în timp ce dualul unui poliedru arhimedic este un poliedru Catalan.

Conceptul de poliedru uniform este un caz special al conceptului de politop uniform, care se aplică și formelor din spațiile din dimensiuni superioare (sau din dimensiuni inferioare).

DefinițieModificare

Păcatul originar din teoria poliedrelor începe cu Euclid și prin Kepler, Poinsot, Cauchy și mulți alții continuă să afecteze toate lucrările pe această temă (inclusiv cele ale autorului de față). Provine din faptul că utilizarea tradițională a termenului „poliedre regulate” a fost, și este, contrară sintaxei și logicii: cuvintele par să sugereze că avem de-a face cu obiecte pe care le numim „poliedre”, cu acele cazuri particulare care merită să fie numite „regulate”. Dar în fiecare etapă — Euclid, Kepler, Poinsot, Hess, Brückner, ... — autorii nu au reușit să definească ce sunt „poliedrele” printre care se găsesc cele „regulate”.

Branko Grünbaum (1994)

Coxeter, Longuet-Higgins & Miller (1954) definesc poliedrele uniforme drept poliedre tranzitive pe vârfuri, cu fețe regulate. Ei definesc un poliedru ca fiind o mulțime finită de poligoane astfel încât fiecare latură a unui poligon să fie o latură a doar unui alt poligon, astfel încât nicio submulțime proprie nevidă a poligoanelor să aibă aceeași proprietate. Prin poligon se înțelege implicit un poligon în spațiul euclidian tridimensional; acestora le este permis să fie dispuse într-o formă neconvexă și să se intersecteze unul cu altul.

Există câteva generalizări ale conceptului de poliedru uniform. Dacă se renunță la presupunerea de conectivitate, atunci se obțin compuși uniformi, care pot fi considerați ca o reuniune de poliedre, cum ar fi compusul de cinci cuburi. Dacă se renunță la condiția ca realizarea poliedrului să nu fie degenerată, atunci se obține așa-numitul poliedru degenerat uniform. Acestea necesită o definiție mai generală a poliedrelor. Grünbaum (1994) a dat o definiție destul de complicată a unui poliedru, în timp ce McMullen & Schulte (2002) a dat o definiție mai simplă și mai generală a unui poliedru: în terminologia lor, un poliedru este un politop abstract bidimensional cu o realizare tridimensională nedegenerată. Aici un politop abstract este o poziție a „fețelor” sale care îndeplinește diferite condiții, o realizare este o funcție a vârfurilor sale într-un anumit spațiu, iar realizarea se numește nedegenerată dacă oricare două fețe distincte ale politopului abstract au realizări distincte.

Unele dintre modalitățile prin care pot degenera sunt următoarele:

  • Fețe ascunse. Unele poliedre au fețe ascunse, în sensul că niciun punct al interiorului lor nu poate fi văzut din exterior. Acestea nu sunt considerate de obicei poliedre uniforme.
  • Compuși degenerați. Unele poliedre au muchii multiple și fețele lor sunt fețele a două sau mai multe poliedre, deși acestea nu sunt compuși în sensul anterior, deoarece poliedrele au muchii comune.
  • Învelișuri duble. Există unele poliedre neorientabile care au învelișuri duble care satisfac definiția unui poliedru uniform. Acolo învelișurile duble au fețe, laturi și vârfuri dublate. De obicei nu sunt considerate poliedre uniforme.
  • Fețe duble. Există mai multe poliedre cu fețe duble produse prin construcția Wythoff. Mulți autori nu admit fețele duble și le elimină din construcție.
  • Margini duble. Figura Skilling are proprietatea că are margini duble (ca în poliedrele uniforme degenerate), dar fețele sale nu pot fi notate ca o reuniune a două poliedre uniforme.

IstoricModificare

Poliedre convexe regulateModificare

Poliedre convexe uniforme neregulateModificare

  • Cuboctaedrul a fost cunoscut de Platon.
  • Arhimede (287–212 î.Hr.) a descoperit toate cele 13 poliedre arhimedice. Lucrarea sa originală despre acest subiect s-a pierdut, dar Pappus din Alexandria (c. 290–350) a menționat o listă a lui Arhimede cu cele 13 poliedre.
  • Piero della Francesca (1415–1492) a redescoperit cinci poliedre trunchiate ale poliedrelor platonice: tetraedrul, octaedrul trunchiat, cubul trunchiat, dodecaedrul trunchiat și icosaedrul trunchiat, și a inclus ilustrări și calcule ale proprietăților lor metrice în cartea sa De quinque corporibus regularibus (română Despre cele cinci corpuri regulate). În altă carte a scris despre cuboctaedru.[2]
  • Luca Pacioli a plagiat în De divina proportione (română Proporția divină) din 1509 lucrarea lui della Francesca, adăugând rombicuboctaedrul, pe care l-a numit icosihexaedru după cele 26 de fețe ale sale, și care a fost desenat de Leonardo da Vinci.
  • Johannes Kepler (1571–1630) a fost primul care a publicat în 1619 lista completă a poliedrelor arhimedice și a identificat familiile infinite de prisme și antiprisme uniforme.

Poliedre stelate regulateModificare

  • Kepler a descoperit în 1619 două din poliedrele Kepler–Poinsot regulate iar Louis Poinsot a descoperit alte două în 1809. Augustin Cauchy (1789–1857) a demonstrat că acestea sunt toate, iar numele lor a fost dat de Arthur Cayley (1821–1895).

Celelalte 53 de poliedre stelate neregulateModificare

  • Din restul de 53, Edmund Hess (1878) a descoperit două, Albert Badoureau (1881) a descoperit încă 36 și, independent, Pitsch (1881) a descoperit 18, din care 3 nu fuseseră descoperite înainte. Împreună acestea erau 41 de poliedre.
  • H.S.M. Coxeter a descoperit restul de 12 în colaborare cu J. C. P. Miller (1930–1932) dar nu le-a publicat. M.S. Longuet-Higgins și H.C. Longuet-Higgins au descoperit independent 11 din ele. Lesavre și Mercier au descoperit 5 din ele în 1947.
  • Coxeter, Longuet-Higgins & Miller (1954) a publicat lista poliedrelor uniforme.
  • Sopov (1970) a demonstrat conjectura lor că lista era completă.
  • În 1974 Magnus Wenninger a publicat în cartea sa Polyhedron models (română Modele de poliedre), lista celor 75 de poliedre uniforme neprismatice, cu mai multe denumiri nepublicate anterior date de Norman Johnson.
  • Skilling (1975) a demonstrat independent completitudinea listei și a arătat că dacă definiția poliedrului uniform este relaxată pentru a permite muchiilor să coincidă, atunci există doar o singură posibilitate suplimentară.
  • În 1987, Edmond Bonan a trasat toate poliedrele uniforme și dualele lor în 3D, cu un program Turbo Pascal numit Polyca: aproape toate acestea au fost prezentate în cadrul Congresului Uniunii Stereoscopice Internaționale desfășurat la Congress Theatre, Eastbourne, Regatul Unit.[3]
  • În 1993 Zvi Har'El a realizat o construcție caleidoscopică completă a poliedrelor uniforme și a dualelor lor cu un program de calculator numit Kaleido și le-a rezumat în articolul Uniform Solution for Uniform Polyhedra (română Soluție uniformă pentru poliedre uniforme), ilustrat cu 80 dde figuri.[4]
  • Tot în 1993, R. Mäder a portat această soluție Kaleido la Mathematica cu un sistem de indexare ușor diferit.[5]
  • În 2002 Peter W. Messer a descoperit un set minim de expresii pentru determinarea principalelor cantități combinatorice și metrice ale oricărui poliedru uniform (și ale dualului său) dat doar de simbolul său Wythoff.[6]

Poliedre stelate uniformeModificare

Marele dirombicosidodecaedru, singurul poliedru uniform ne-Wythoffian

Cele 57 de forme neconvexe neprismatice, cu excepția marelui dirombicosidodecaedru, sunt compilate după construcțiile Wythoff din triunghiurile Schwarz.

Forme convexe prin construcție WythoffModificare

Exemple de forme de cub și octaedru

Poliedrele uniforme convexe pot fi denumite după operațiile construcției Wythoff în forme regulate.

Mai detaliat, poliedrul uniform convex este dat mai jos de construcția Wythoff în cadrul fiecărui grup de simetrie.

În cadrul construcției Wythoff, există repetări create de forme cu simetrie inferioară. Cubul este atât un poliedru regulat cât și o prismă pătrată. Octaedrul este un poliedru regulat și o antiprismă triunghiulară. Octaedrul este, de asemenea, un tetraedru rectificat. Multe poliedre apar repetat, din diferite surse de construcție și sunt colorate diferit.

Construcția Wythoff se aplică în mod egal poliedrelor uniforme și pavărilor uniforme ale suprafeței unei sfere, deci sunt date imagini ale ambelor. Pavările sferice incluzând mulțimile de hosoedre și diedre, care sunt poliedre degenerate.

Aceste grupuri de simetrie sunt formate din reflexiile grupurilor de puncte în spațiul tridimensional, fiecare reprezentat printr-un triunghi fundamental (p q r), unde p > 1, q > 1, r > 1 și 1/p + 1/q + 1/r < 1.

Restul formelor nereflexive sunt construite prin operațiuni de alternare aplicate poliedrelor cu un număr par de muchii.

Împreună cu prismele și simetria diedrală a acestora, procesul de construcție sferic Wythoff adaugă două clase regulate care devin degenerate ca poliedre: diedrele și hosoedrele, prima având doar două fețe, iar a doua doar două vârfuri. Trunchierea hosoedrelor regulate creează prismele.

Dedesubt, poliedrele uniforme convexe sunt numerotate 1–18 pentru formele neprismatice așa cum sunt prezentate în tabele prin forma de simetrie.

Pentru setul infinit de forme prismatice, acestea sunt grupate în patru familii:

  1. Hosoedre H2... (doar ca pavări sferice)
  2. Diedre D2... (doar ca pavări sferice)
  3. Prisme P3... (hosoedre trunchiate)
  4. Antiprisme A3... (prisme snub)

Tabele rezumativeModificare

Nume Johnson Inițial Trunchiat Rectificat Bitrunchiat
(dual tr.)
Birectificat
(dual)
Cantelat Omnitrunchiat
(cantitrunchiat)
Snub
Diagramă Coxeter CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes.png
CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png
CDel node.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes 11.png
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes 11.png
CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.png
CDel node h.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes hh.png
Simbol Schläfli
extins
{p,q} t{p,q} r{p,q} 2t{p,q} 2r{p,q} rr{p,q} tr{p,q} sr{p,q}
t0{p,q} t0,1{p,q} t1{p,q} t1,2{p,q} t2{p,q} t0,2{p,q} t0,1,2{p,q} ht0,1,2{p,q}
Simbol Wythoff
(p q 2)
q | p 2 2 q | p 2 | p q 2 p | q p | q 2 p q | 2 p q 2 | | p q 2
Figura vârfului pq q.2p.2p (p.q)2 p.2q.2q qp p.4.q.4 4.2p.2q 3.3.p.3.q
Tetraedrică
(3 3 2)
Uniform polyhedron-33-t0.png
3.3.3
Uniform polyhedron-33-t01.png
3.6.6
Uniform polyhedron-33-t1.png
3.3.3.3
Uniform polyhedron-33-t12.png
3.6.6
Uniform polyhedron-33-t2.png
3.3.3
Uniform polyhedron-33-t02.png
3.4.3.4
Uniform polyhedron-33-t012.png
4.6.6
Uniform polyhedron-33-s012.svg
3.3.3.3.3
Octaedrică
(4 3 2)
Uniform polyhedron-43-t0.svg
4.4.4
Uniform polyhedron-43-t01.svg
3.8.8
Uniform polyhedron-43-t1.svg
3.4.3.4
Uniform polyhedron-43-t12.svg
4.6.6
Uniform polyhedron-43-t2.svg
3.3.3.3
Uniform polyhedron-43-t02.png
3.4.4.4
Uniform polyhedron-43-t012.png
4.6.8
Uniform polyhedron-43-s012.png
3.3.3.3.4
Icosaedrică
(5 3 2)
Uniform polyhedron-53-t0.svg
5.5.5
Uniform polyhedron-53-t01.svg
3.10.10
Uniform polyhedron-53-t1.svg
3.5.3.5
Uniform polyhedron-53-t12.svg
5.6.6
Uniform polyhedron-53-t2.svg
3.3.3.3.3
Uniform polyhedron-53-t02.png
3.4.5.4
Uniform polyhedron-53-t012.png
4.6.10
Uniform polyhedron-53-s012.png
3.3.3.3.5
Exemple de simetrii diedrale

Sfera nu este tăiată, doar pavarea este tăiată. Pe o sferă, o muchie este un arc de cerc mare, cea mai scurtă cale între cele două vârfuri ale sale. Prin urmare, un digon ale cărui vârfuri nu sunt opuse polar este plat: arată ca o muchie.

(p 2 2) Inițial Trunchiat Rectificat Bitrunchiat
(dual tr.)
Birectificat
(dual)
Cantelat Omnitrunchiat
(cantitrunchiat)
Snub
Diagramă Coxeter CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
Simbol Schläfli
extins
{p,2} t{p,2} r{p,2} 2t{p,2} 2r{p,2} rr{p,2} tr{p,2} sr{p,2}
t0{p,2} t0,1{p,2} t1{p,2} t1,2{p,2} t2{p,2} t0,2{p,2} t0,1,2{p,2} ht0,1,2{p,2}
Simbol Wythoff 2 | p 2 2 2 | p 2 | p 2 2 p | 2 p | 2 2 p 2 | 2 p 2 2 | | p 2 2
Figura vârfului p2 2.2p.2p p.2.p.2 p.4.4 2p p.4.2.4 4.2p.4 3.3.3.p
Diedrală
(2 2 2)
Digonal dihedron.png
{2,2}
Tetragonal dihedron.png
2.4.4
Digonal dihedron.png
2.2.2.2
Tetragonal dihedron.png
4.4.2
Digonal dihedron.png
2.2
Tetragonal dihedron.png
2.4.2.4
Spherical square prism2.png
4.4.4
Spherical digonal antiprism.png
3.3.3.2
Diedrală
(3 2 2)
Trigonal dihedron.png
3.3
Hexagonal dihedron.png
2.6.6
Trigonal dihedron.png
2.3.2.3
Spherical triangular prism.png
4.4.3
Spherical trigonal hosohedron.png
2.2.2
Spherical triangular prism.png
2.4.3.4
Spherical hexagonal prism2.png
4.4.6
Spherical trigonal antiprism.png
3.3.3.3
Diedrală
(4 2 2)
Tetragonal dihedron.png
4.4
2.8.8 Tetragonal dihedron.png
2.4.2.4
Spherical square prism.png
4.4.4
Spherical square hosohedron.png
2.2.2.2
Spherical square prism.png
2.4.4.4
Spherical octagonal prism2.png
4.4.8
Spherical square antiprism.png
3.3.3.4
Diedrală
(5 2 2)
Pentagonal dihedron.png
5.5
2.10.10 Pentagonal dihedron.png
2.5.2.5
Spherical pentagonal prism.png
4.4.5
Spherical pentagonal hosohedron.png
2.2.2.2.2
Spherical pentagonal prism.png
2.4.5.4
Spherical decagonal prism2.png
4.4.10
Spherical pentagonal antiprism.png
3.3.3.5
Diedrală
(6 2 2)
Hexagonal dihedron.png
6.6
Dodecagonal dihedron.png
2.12.12
Hexagonal dihedron.png
2.6.2.6
Spherical hexagonal prism.png
4.4.6
Spherical hexagonal hosohedron.png
2.2.2.2.2.2
Spherical hexagonal prism.png
2.4.6.4
Spherical dodecagonal prism2.png
4.4.12
Spherical hexagonal antiprism.png
3.3.3.6

(3 3 2) Td simetrie tetraedricăModificare

Simetria tetraedrică a sferei generează 5 poliedre uniforme și o a 6-a formă printr-o operație snub.

Simetria tetraedrică este reprezentată de un triunghi fundamental cu un vârf cu două oglindiri și două vârfuri cu trei oglindiri, reprezentate de simbolul (3 3 2). Poate fi reprezentată și de grupul Coxeter A2 sau [3,3], sau de o diagramă Coxeter: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png.

Există 24 de triunghiuri, vizibile în imaginile de alături pe fețele hexaedrului tetrakis și în triunghiurile colorate alternativ pe o sferă.

# Nume Graf
A3
Graf
A2
Imagine Pavare Figura
vârfului
Simbol
Coxeter și
Schläfli
Numărul fețelor după poziție Numărul elementelor
Poz. 2
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3]
(4)
Poz. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(6)
Poz. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3]
(4)
Fe-
țe
Mu-
chii
Vâr-
furi
1 Tetraedru 3-simplex t0.svg 3-simplex t0 A2.svg Uniform polyhedron-33-t0.png Uniform tiling 332-t0-1-.png Tetrahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
4 6 4
[1] Tetraedru birectificat
(tetraedru)
3-simplex t0.svg 3-simplex t0 A2.svg Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform tiling 332-t2.png Tetrahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t2{3,3}={3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
4 6 4
2 Tetraedru rectificat,
Tetratetraedru
(octaedru)
3-simplex t1.svg 3-simplex t1 A2.svg Uniform polyhedron-33-t1.png Uniform tiling 332-t1-1-.png Octahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t1{3,3}=r{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 3.svg
{3}
8 12 6
3 Tetraedru trunchiat 3-simplex t01.svg 3-simplex t01 A2.svg Uniform polyhedron-33-t01.png Uniform tiling 332-t01-1-.png Truncated tetrahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t0,1{3,3}=t{3,3}
Regular polygon 6.svg
{6}
Regular polygon 3.svg
{3}
8 18 12
[3] Tetraedru bitrunchiat
(tetraedru trunchiat)
3-simplex t01.svg 3-simplex t01 A2.svg Uniform polyhedron-33-t12.png Uniform tiling 332-t12.png Truncated tetrahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t1,2{3,3}=t{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 6.svg
{6}
8 18 12
4 Tetraedru cantelat,
Rombitetratetraedru
(cuboctaedru)
3-simplex t02.svg 3-simplex t02 A2.svg Uniform polyhedron-33-t02.png Uniform tiling 332-t02.png Cuboctahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,2{3,3}=rr{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 3.svg
{3}
14 24 12
5 Tetraedru omnitrunchiat,
Tetratetraedru trunchiat
(octaedru trunchiat)
3-simplex t012.svg 3-simplex t012 A2.svg Uniform polyhedron-33-t012.png Uniform tiling 332-t012.png Truncated octahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{3,3}=tr{3,3}
Regular polygon 6.svg
{6}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 6.svg
{6}
14 36 24
6 Tetratetraedru snub
(icosaedru)
Icosahedron graph A3.png Icosahedron graph A2.png Uniform polyhedron-33-s012.svg Spherical snub tetrahedron.png Icosahedron vertfig.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
sr{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
Regular polygon 3.svg
{3}
20 30 12

(4 3 2) Oh simetrie octaedricăModificare

Simetria octaedrică a sferei generează 7 poliedre uniforme și alt 7 prin alternare. Șase din aceste forme sunt repetări ale simetriei tetraedrice din tabelul anterior.

Simetria octaedrică este reprezentată de un triunghi fundamental (4 3 2) având oglindiri în fiecare vârf. Poate fi reprezentată și de grupul Coxeter B2 sau [4,3], sau de o diagramă Coxeter: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png.

Există 48 de triunghiuri, vizibile în imaginile de alături pe fețele dodecaedrului disdiakis și în triunghiurile colorate alternativ pe o sferă.

# Nume Graf
B3
Graf
B2
Imagine Pavare Figura
vârfului
Simbol
Coxeter și
Schläfli
Numărul fețelor după poziție Numărul elementelor
Poz. 2
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.png
[4]
(6)
Poz. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(12)
Poz. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3]
(8)
Fe-
țe
Mu-
chii
Vâr-
furi
7 Cub 3-cube t0.svg 3-cube t0 B2.svg Uniform polyhedron-43-t0.svg Uniform tiling 432-t0.png Cube vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{4,3}
Regular polygon 4.svg
{4}
6 12 8
[2] Octaedru 3-cube t2.svg 3-cube t2 B2.svg Uniform polyhedron-43-t2.svg Uniform tiling 432-t2.png Octahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
{3,4}
Regular polygon 3.svg
{3}
8 12 6
[4] Cub rectificat,
Octaedru rectificat
(cuboctaedru)
3-cube t1.svg 3-cube t1 B2.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg Uniform tiling 432-t1.png Cuboctahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
{4,3}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 3.svg
{3}
14 24 12
8 Cub trunchiat 3-cube t01.svg 3-cube t01 B2.svg Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform tiling 432-t01.png Truncated cube vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t0,1{4,3}=t{4,3}
Regular polygon 8.svg
{8}
Regular polygon 3.svg
{3}
14 36 24
[5] Octaedru trunchiat 3-cube t12.svg 3-cube t12 B2.svg Uniform polyhedron-43-t12.svg Uniform tiling 432-t12.png Truncated octahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1{3,4}=t{3,4}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 6.svg
{6}
14 36 24
9 Cub cantelat,
Octaedru cantelat,
Rombicuboctaedru
3-cube t02.svg 3-cube t02 B2.svg Uniform polyhedron-43-t02.png Uniform tiling 432-t02.png Small rhombicuboctahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,2{4,3}=rr{4,3}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 3.svg
{3}
26 48 24
10 Cub omnitrunchiat,
Octaedru omnitrunchiat,
Cuboctaedru trunchiat
3-cube t012.svg 3-cube t012 B2.svg Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform tiling 432-t012.png Great rhombicuboctahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{4,3}=tr{4,3}
Regular polygon 8.svg
{8}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 6.svg
{6}
26 72 48
[6] Octaedru snub
(icosaedru)
3-cube h01.svg 3-cube h01 B2.svg Uniform polyhedron-43-h01.svg Spherical alternated truncated octahedron.png Icosahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
= CDel nodes hh.pngCDel split2.pngCDel node h.png
s{3,4}=sr{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 3.svg
{3}
20 30 12
[1] Semicub
(tetraedru)
3-simplex t0 A2.svg 3-simplex t0.svg Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform tiling 332-t2.png Tetrahedron vertfig.png CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.png
h{4,3}={3,3}
Regular polygon 3.svg
1/2 {3}
4 6 4
[2] Cub cantic
(tetraedru trunchiat)
3-simplex t01 A2.svg 3-simplex t01.svg Uniform polyhedron-33-t12.png Uniform tiling 332-t12.png Truncated tetrahedron vertfig.png CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
h2{4,3}=t{3,3}
Regular polygon 6.svg
1/2 {6}
Regular polygon 3.svg
1/2 {3}
8 18 12
[4] (cuboctaedru) 3-simplex t02 A2.svg 3-simplex t02.svg Uniform polyhedron-33-t02.png Uniform tiling 332-t02.png Cuboctahedron vertfig.png CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
= CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node.png
rr{3,3}
14 24 12
[5] (octaedru trunchiat) 3-simplex t012 A2.svg 3-simplex t012.svg Uniform polyhedron-33-t012.png Uniform tiling 332-t012.png Truncated octahedron vertfig.png CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
tr{3,3}
14 36 24
[9] Octaedru cantic snub
(rombicuboctaedru)
3-cube t02.svg 3-cube t02 B2.svg Rhombicuboctahedron uniform edge coloring.png Uniform tiling 432-t02.png Small rhombicuboctahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
s2{3,4}=rr{3,4}
26 48 24
11 Cuboctaedru snub Snub cube A2.png Snub cube B2.png Uniform polyhedron-43-s012.png Spherical snub cube.png Snub cube vertfig.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
sr{4,3}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
Regular polygon 3.svg
{3}
38 60 24

(5 3 2) Ih simetrie icosaedricăModificare

Simetria icosaedrică a sferei generează 7 poliedre uniforme și încă 1 prin alternare. Doar unul este o repetare a simetriei tetraedrice și octaedriece din tabelele anterioare.

Simetria icosaedrică este reprezentată de un triunghi fundamental (5 3 2) având oglindiri în fiecare vârf. Poate fi reprezentată și de grupul Coxeter G2 sau [5,3], sau de o diagramă Coxeter: CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png.

Există 120 de triunghiuri, vizibile în imaginile de alături pe fețele triacontaedrului disdiakis și în triunghiurile colorate alternativ pe o sferă.

# Nume Graf
(A2)
[6]
Graf
(H3)
[10]
Imagine Pavare Figura
vârfului
Simbol
Coxeter și
Schläfli
Numărul fețelor după poziție Numărul elementelor
Poz. 2
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.png
[5]
(12)
Poz. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(30)
Poz. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3]
(20)
Fe-
țe
Mu-
chii
Vâr-
furi
12 Dodecaedru Dodecahedron A2 projection.svg Dodecahedron H3 projection.svg Uniform polyhedron-53-t0.svg Uniform tiling 532-t0.png Dodecahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{5,3}
Regular polygon 5.svg
{5}
12 30 20
[6] Icosaedru Icosahedron A2 projection.svg Icosahedron H3 projection.svg Uniform polyhedron-53-t2.svg Uniform tiling 532-t2.png Icosahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
{3,5}
Regular polygon 3.svg
{3}
20 30 12
13 Dodecaedru rectificat,
Icosaedru rectificat,
Icosidodecaedru
Dodecahedron t1 A2.png Dodecahedron t1 H3.png Uniform polyhedron-53-t1.svg Uniform tiling 532-t1.png Icosidodecahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t1{5,3}=r{5,3}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 3.svg
{3}
32 60 30
14 Dodecaedru trunchiat Dodecahedron t01 A2.png Dodecahedron t01 H3.png Uniform polyhedron-53-t01.svg Uniform tiling 532-t01.png Truncated dodecahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t0,1{5,3}=t{5,3}
Regular polygon 10.svg
{10}
Regular polygon 3.svg
{3}
32 90 60
15 Icosaedru trunchiat Icosahedron t01 A2.png Icosahedron t01 H3.png Uniform polyhedron-53-t12.svg Uniform tiling 532-t12.png Truncated icosahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1{3,5}=t{3,5}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 6.svg
{6}
32 90 60
16 Dodecaedru cantelat,
Icosaedru cantelat,
Rombicosidodecaedru
Dodecahedron t02 A2.png Dodecahedron t02 H3.png Uniform polyhedron-53-t02.png Uniform tiling 532-t02.png Small rhombicosidodecahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,2{5,3}=rr{5,3}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 3.svg
{3}
62 120 60
17 Dodecaedru omnitrunchiat,
Icosaedru omnitrunchiat,
Icosidodecaedru trunchiat
Dodecahedron t012 A2.png Dodecahedron t012 H3.png Uniform polyhedron-53-t012.png Uniform tiling 532-t012.png Great rhombicosidodecahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{5,3}=tr{5,3}
Regular polygon 10.svg
{10}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 6.svg
{6}
62 180 120
18 Icosidodecaedru snub Snub dodecahedron A2.png Snub dodecahedron H2.png Uniform polyhedron-53-s012.png Spherical snub dodecahedron.png Snub dodecahedron vertfig.png CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
sr{5,3}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
Regular polygon 3.svg
{3}
92 150 60

(p 2 2) Familia prismelor [p,2], I2(p) (Dph simetrie diedrală)Modificare

Simetria diedrală a sferei generează două mulțimi infinite de poliedre uniforme, prisme și antiprisme și alte două mulțimi infinite de poliedre degenerate, hosoedrele și diedrele care există ca pavări pe sferă.

Simetria diedrală este reprezentată de triunghiul fundamental (p 2 2) având oglindiri în fiecare vârf. Poate fi reprezentat de grupul Coxeter I2(p) sau [n,2], precum și de o diagramă Coxeter prismatică: CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png.

Mai jos sunt primele cinci simetrii diedrale: D2 ... D6. Simetria diedrală Dp are ordinul 4n, reprezintă fețele unei bipiramide, iar pe ecuatorul unei sfere un cerc de longitudine cu n arce de longitudine la distanțe egale.

(2 2 2) Simetrie diedralăModificare

Există 8 triunghiuri fundamentale, vizibile pe fețele bipiramidei pătrate (octaedru) și triunghiuri colorate alternativ pe o sferă.

# Nume Imagine Pavare Figura
vârfului
Simbol
Coxeter și
Schläfli
Numărul fețelor după poziție Numărul elementelor
Poz. 2
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.png
[2]
(2)
Poz. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(2)
Poz. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(2)
Fe-
țe
Mu-
chii
Vâr-
furi
D2
H2
Diedru digonal,
hosoedru digonal
Digonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{2,2}
Regular digon in spherical geometry-2.svg
{2}
2 2 2
D4 Diedru digonal trunchiat
(diedru pătrat)
Tetragonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
t{2,2}={4,2}
Regular polygon 4.svg
{4}
2 4 4
P4
[7]
Diedru digonal omnitrunchiat
(cub)
Uniform polyhedron 222-t012.png Spherical square prism2.png Cube vertfig.png CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t0,1,2{2,2}=tr{2,2}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}]
Regular polygon 4.svg
{4}
6 12 8
A2
[1]
Diedru digonal snub
(tetraedru)
Uniform polyhedron-33-t2.png Spherical digonal antiprism.png Tetrahedron vertfig.png CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
sr{2,2}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
  4 6 4
Imagine indisponibilă Imagine indisponibilă

(3 2 2) D3h simetrie diedralăModificare

Există 12 triunghiuri fundamentale, vizibile pe fețele bipiramidei hexagonale și triunghiuri colorate alternativ pe o sferă.

# Nume Imagine Pavare Figura
vârfului
Simbol
Coxeter și
Schläfli
Numărul fețelor după poziție Numărul elementelor
Poz. 2
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.png
[3]
(2)
Poz. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(3)
Poz. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(3)
Fe-
țe
Mu-
chii
Vâr-
furi
D3 Diedru trigonal Trigonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{3,2}
Regular polygon 3.svg
{3}
2 3 3
H3 Hosoedru trigonal Trigonal hosohedron.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{2,3}
Regular digon in spherical geometry-2.svg
{2}
3 3 2
D6 Diedru trigonal trunchiat
(diedru hexagonal)
Hexagonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
t{3,2}
Regular polygon 6.svg
{6}
2 6 6
P3 Hosoedru trigonal trunchiat
(prismă triunghiulară)
Triangular prism.png Spherical triangular prism.png Triangular prism vertfig.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t{2,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 4.svg
{4}
5 9 6
P6 Diedru trigonal omnitrunchiat
(Prismă hexagonală)
Hexagonal prism.png Spherical hexagonal prism2.png Hexagonal prism vertfig.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t0,1,2{2,3}=tr{2,3}
Regular polygon 6.svg
{6}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
8 18 12
A3
[2]
Diedru trigonal snub
(antiprismă triunghiulară),
(Octaedru)
Trigonal antiprism.png Spherical trigonal antiprism.png Octahedron vertfig.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
sr{2,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
  8 12 6
P3 Diedru trigonal snub cantic
(prismă triunghiulară)
Triangular prism.png Spherical triangular prism.png Triangular prism vertfig.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node 1.png
s2{2,3}=t{2,3}
5 9 6
Octagonal bipyramid.png

(4 2 2) D4h simetrie diedralăModificare

Există 16 triunghiuri fundamentale, vizibile pe fețele bipiramidei octogonale și triunghiuri colorate alternativ pe o sferă.

# Nume Imagine Pavare Figura
vârfului
Simbol
Coxeter și
Schläfli
Numărul fețelor după poziție Numărul elementelor
Poz. 2
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.png
[4]
(2)
Poz. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(4)
Poz. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(4)
Fe-
țe
Mu-
chii
Vâr-
furi
D4 Diedru pătrat Tetragonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{4,2}
Regular polygon 4.svg
{4}
2 4 4
H4 Hosoedru pătrat Spherical square hosohedron.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{2,4}
Regular digon in spherical geometry-2.svg
{2}
4 4 2
D8 Diedru pătrat trunchiat
(diedru octogonal)
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
t{4,2}
Regular polygon 8.svg
{8}
2 8 8
P4
[7]
Hosoedru pătrat trunchiat
(cub)
Tetragonal prism.png Spherical square prism.png Cube vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t{2,4}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
6 12 8
D8 Diedru pătrat omnitrunchiat
(prismă octogonală)
Octagonal prism.png Spherical octagonal prism2.png Octagonal prism vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t0,1,2{2,4}=tr{2,4}
Regular polygon 8.svg
{8}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
10 24 16
A4 Diedru pătrat snub
(antiprismă pătrată)
Square antiprism.png Spherical square antiprism.png Square antiprism vertfig.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
sr{2,4}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
  10 16 8
P4
[7]
Dihedru pătrat snub cantic
(cube)
Tetragonal prism.png Spherical square prism.png Cube vertfig.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node 1.png
s2{4,2}=t{2,4}
6 12 8
A2
[1]
Hosoedru pătrat snub
(antiprismă digonală),
(tetraedru)
Uniform polyhedron-33-t2.png Spherical digonal antiprism.png Tetrahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
s{2,4}=sr{2,2}
4 6 4
Decagonal bipyramid.png

(5 2 2) D5h simetrie diedralăModificare

Există 20 triunghiuri fundamentale, vizibile pe fețele bipiramidei decagonale și triunghiuri colorate alternativ pe o sferă:

# Nume Imagine Pavare Figura
vârfului
Simbol
Coxeter și
Schläfli
Numărul fețelor după poziție Numărul elementelor
Poz. 2
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.png
[5]
(2)
Poz. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(5)
Poz. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(5)
Fe-
țe
Mu-
chii
Vâr-
furi
D5 Diedru pentagonal Pentagonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{5,2}
Regular polygon 5.svg
{5}
2 5 5
H5 Hosoedru pentagonal Spherical pentagonal hosohedron.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{2,5}
Regular digon in spherical geometry-2.svg
{2}
5 5 2
D10 Diedru pentagonal trunchiat
(diedru decagonal)
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
t{5,2}
Regular polygon 10.svg
{10}
2 10 10
P5 Hosoedru pentagonal trunchiat
(prismă pentagonală)
Pentagonal prism.png Spherical pentagonal prism.png Pentagonal prism vertfig.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t{2,5}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 4.svg
{4}
7 15 10
P10 Diedru pentagonal omnitrunchiat
(prismă decagonală)
Decagonal prism.png Spherical decagonal prism2.png Decagonal prism vf.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t0,1,2{2,5}=tr{2,5}
Regular polygon 10.svg
{10}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
12 30 20
A5 Diedru pentagonal snub
(antiprismă pentagonală)
Pentagonal antiprism.png Spherical pentagonal antiprism.png Pentagonal antiprism vertfig.png CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
sr{2,5}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
  12 20 10
P5 Diedru pentagonal snub cantic
(prismă pentagonală)
Pentagonal prism.png Spherical pentagonal prism.png Pentagonal prism vertfig.png CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node 1.png
s2{5,2}=t{2,5}
7 15 10

(6 2 2) D6h simetrie diedralăModificare

Există 24 triunghiuri fundamentale, vizibile pe fețele bipiramidei dodecagonale și triunghiuri colorate alternativ pe o sferă.

# Nume Imagine Pavare Figura
vârfului
Simbol
Coxeter și
Schläfli
Numărul fețelor după poziție Numărul elementelor
Poz. 2
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.png
[6]
(2)
Poz. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(6)
Poz. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(6)
Fe-
țe
Mu-
chii
Vâr-
furi
D6 Diedru hexagonal Hexagonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{6,2}
Regular polygon 6.svg
{6}
2 6 6
H6 Hosoedru hexagonal Hexagonal hosohedron.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{2,6}
Regular digon in spherical geometry-2.svg
{2}
6 6 2
D12 Diedru hexagonal trunchiat
(diedru dodecagonal)
Dodecagonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
t{6,2}
Regular polygon 10.svg
{12}
2 12 12
H6 Hosoedru hexagonal trunchiat
(prismă hexagonală)
Hexagonal prism.png Spherical hexagonal prism.png Hexagonal prism vertfig.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t{2,6}
Regular polygon 6.svg
{6}
Regular polygon 4.svg
{4}
8 18 12
P12 Diedru hexagonal omnitrunchiat
(prismă dodecagonală)
Dodecagonal prism.png Spherical truncated hexagonal prism.png Dodecagonal prism vf.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t0,1,2{2,6}=tr{2,6}
Regular polygon 10.svg
{12}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
14 36 24
A6 Diedru hexagonal snub
(antiprismă hexagonală)
Hexagonal antiprism.png Spherical hexagonal antiprism.png Hexagonal antiprism vertfig.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
sr{2,6}
Regular polygon 6.svg
{6}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
  14 24 12
P3 Diedru hexagonal cantic
(prismă triunghiulară)
Triangular prism.png Spherical triangular prism.png Triangular prism vertfig.png CDel node h1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png = CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
h2{6,2}=t{2,3}
5 9 6
P6 Diedru hexagonal snub
(prismă hexagonală)
Hexagonal prism.png Spherical hexagonal prism.png Hexagonal prism vertfig.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node 1.png
s2{6,2}=t{2,6}
8 18 12
A3
[2]
Hosoedru hexagonal snub
(antiprismă triunghulară),
(octaedru)
Trigonal antiprism.png Spherical trigonal antiprism.png Octahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
s{2,6}=sr{2,3}
8 12 6

Operatorii construcției WythoffModificare

Operația Simbol Diagramă
Coxeter
Descriere
Inițial {p,q}
t0{p,q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png Orice poliedru sau pavare regulate.
Rectificare (r) r{p,q}
t1{p,q}
CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png Muchiile sunt complet trunchiate în puncte unice. Poliedrul are acum fețele combinate ale poliedrului inițial și ale dualului. Poliedrele sunt denumite prin numărul de laturi ale celor două forme regulate: {p,q} și {q,p}, de exempu „cuboctaedru” pentru r{4,3} între cub și octaedru.
Birectificare (2r)
(dual)
2r{p,q}
t2{p,q}
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png
Dual Cube-Octahedron.jpg
Birectificarea (dualul) este o altă trunchiere, astfel încât fețele originale sunt reduse la puncte. Fețele noi sunt formate sub fiecare vârf al poliedrului ințial. Numărul muchiilor este neschimbat și se rotește cu 90 de grade. O birectificare poate fi văzută ca un dual.
Trunchiere (t) t{p,q}
t0,1{p,q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png Fiecare vârf original este tăiat, cu o față nouă care umple golul. Trunchierea are un grad de libertate, care are o poziție în care se creează un poliedru uniform trunchiat. Poliedrul are fețele sale originale dublate ca număr de laturi și conține fețele dualului.
Cube truncation sequence.svg
Bitrunchiere (2t)
(dual trunchiat)
2t{p,q}
t1,2{p,q}
CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png O bitrunchiere poate fi văzută ca trunchierea dualului. Un cub bitruncat este un octaedru trunchiat.
Cantelare (rr)
(expandare)
rr{p,q} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png În plus față de trunchierea vârfurilor, fiecare muchie originală este teșită, cu fețe dreptunghiulare noi care apar în locul lor. O cantelare uniformă este la jumătatea distanței dintre formele părinte și cele duale. Un poliedru cantelat este numit ca rombi-r{p,q}, de exemplu rombicuboctaedru pentru rr{4,3}.
Cube cantellation sequence.svg
Cantitrunchiere (tr)
(omnitrunchiere)
tr{p,q}
t0,1,2{p,q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png Trunchierea și operațiile de cantelare sunt aplicate împreună pentru a crea o formă omnitrunchiată care are fețele poliedrului inițial dublate în numărul de laturi, fețele dualului dublate în numărul de laturi și pătrate undele existau laturile inițiale.
Operații de alternare
Operația Simbol Diagramă
Coxeter
Descriere
Rectificare snub (sr) sr{p,q} CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.png Cantitrunchiere alternată. Toate fețele originale au la sfârșit jumătate din numărul de laturi, iar pătratele degenerează în muchii. Deoarece formele omnitrunchiate au 3 fețe/vârf, se formează noi triunghiuri. De obicei, aceste forme fațetate alternativ sunt ușor deformate după aceea pentru a se obține din nou poliedre uniforme. Posibilitatea ultimei schimbări depinde de gradul de libertate.
Snubcubes in grCO.svg
Snub (s) s{p,2q} CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node.png Trunchiere alternată.
Snub cantic (s2) s2{p,2q} CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node 1.png
Cantelare alternată (hrr) hrr{2p,2q} CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node h.png Posibilă doar la pavări uniforme (poliedre infinite), alternarea CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node 1.png
De exemplu, CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.png
Înjumătățire (h) h{2p,q} CDel node h1.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png Alternare a CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png, aceeași cu CDel labelp.pngCDel branch 10ru.pngCDel split2-qq.pngCDel node.png
Cantic (h2) h2{2p,q} CDel node h1.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png Aceeași cu CDel labelp.pngCDel branch 10ru.pngCDel split2-qq.pngCDel node 1.png
Înjumătățire rectificată (hr) hr{2p,2q} CDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node h1.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node.png Posibilă doar la pavări uniforme (poliedre infinite), alternarea CDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node.png, aceeași cu CDel labelp.pngCDel branch 10ru.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel branch 10lu.pngCDel labelq.png or CDel labelp.pngCDel branch 10r.pngCDel iaib.pngCDel branch 01l.pngCDel labelq.png
De exemplu, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.png = CDel nodes 10ru.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel nodes 10lu.png sau CDel nodes 11.pngCDel iaib.pngCDel nodes.png
Sfertuire (q) q{2p,2q} CDel node h1.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node h1.png Posibilă doar la pavări uniforme (poliedre infinite), aceeași cu CDel labelq.pngCDel branch 11.pngCDel papb-cross.pngCDel branch 10l.pngCDel labelq.png
De exemplu, CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h1.png = CDel nodes 11.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel nodes 10lu.png or CDel nodes 11.pngCDel iaib.pngCDel nodes 10l.png

NoteModificare

  1. ^ Coxeter, Regular Polytopes, p. 13
  2. ^ en Piero della Francesca's Polyhedra, georgehart.com, accesat 2021-02-19
  3. ^ en „Stéréo-Club Français - Galerie : Polyedres”. 
  4. ^ en Har'El, Z. Uniform Solution for Uniform Polyhedra., Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Zvi Har’El, Kaleido software, Images, dual images
  5. ^ en Mäder, R. E. Uniform Polyhedra. Mathematica J. 3, 48-57, 1993. [1]
  6. ^ Closed-Form Expressions for Uniform Polyhedra and Their Duals, Peter W. Messer, Discrete Comput Geom 27:353–375 (2002) (arhivă)

BibliografieModificare

Legături externeModificare

Commons-logo.svg Materiale media legate de poliedru uniform la Wikimedia Commons

 v  d  m Politopuri regulate și uniforme convexe fundamentale în dimensiunile 2–10
Familie An Bn I2(p) / Dn E6 / E7 / E8 / F4 / G2 Hn
Poligoane regulate Triunghi Pătrat p-gon Hexagon Pentagon
Poliedre uniforme Tetraedru OctaedruCub Semicub DodecaedruIcosaedru
4-politopuri uniforme 5-celule 16-celuleTesseract Semitesseract 24-celule 120-celule600-celule
5-politopuri uniforme 5-simplex 5-ortoplex5-cub 5-semicub
6-politopuri uniforme 6-simplex 6-ortoplex6-cub 6-semicub 122221
7-politopuri uniforme 7-simplex 7-ortoplex7-cub 7-semicub 132231321
8-politopuri uniforme 8-simplex 8-ortoplex8-cub 8-semicub 142241421
9-politopuri uniforme 9-simplex 9-ortoplex9-cub 9-semicub
10-politopuri uniforme 10-simplex 10-ortoplex10-cub 10-semicub
n-politopuri uniforme n-simplex n-ortoplexn-cub n-semicub 1k22k1k21 n-politop pentagonal
Topicuri: Familii de politopuriPolitop regulat