Dodecaedru disdiakis

poliedru Catalan
Dodecaedru disdiakis
Disdyakisdodecahedron.jpg
(animație și model 3D)
Descriere
TipPoliedru Catalan
Fețe48 triunghiuri scalene
Laturi (muchii)72
Vârfuri26 (6 + 2 + 18)
χ2
Configurația fețeiV.4.6.8
Simbol ConwaymC
Diagramă CoxeterCDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png
Grup de simetrieOh, B3, [4,3], (*432)
Grup de rotațieO, [4,3]+, (432)
Arie≈ 32,067 a2   (a = latura mică)
Volum≈ 16,289 a3   (a = latura mică)
Unghi diedru155° 4' 56" =
Poliedru dualCuboctaedru trunchiat
ProprietățiPoliedru convex, tranzitiv pe fețe
Desfășurată
Disdyakis 12 net.svg

În geometrie un dodecaedru disdiakis este un poliedru Catalan cu 48 de fețe. Fiecare poliedru Catalan este dualul unui poliedru arhimedic. Dualul tetraedrului disdiakis este cuboctaedrul trunchiat. Este tranzitiv pe fețe, însă fețele sale sunt poligoane neregulate. Seamănă cu un dodecaedru rombic. Înlocuirea fiecărei fețe a dodecaedrului rombic cu o piramidă plată creează un poliedru care arată aproape ca dodecaedrul disdiakis și este topologic echivalent cu acesta. Formal, dodecaedrul disdiakis este un Kleetop al dodecaedrului rombic. Desfășurata piramidei cubotaedrice are aceeași topologie.

Dual: Cuboctaedru trunchiat

Proiectat într-o sferă, laturile unui dodecaedru disdiakis definesc 9 cercuri mari. Buckminster Fuller a folosit aceste 9 cercuri mari, împreună cu alte 12 și alte 4 din alte două poliedre pentru a-și defini cele 25 de cercuri mari ale octaedrului sferic.

SimetrieModificare

Are simetrie octaedrică Oh. Laturile sale definesc planele de reflexie ale simetriei. Poate fi văzut și ca triangulare a colțului și a mijlocului laturii cubului și octaedrului regulat, și a dodecaedrului rombic.

 
Dodecaedru
disdiakis
 
Icositetraedru
deltoidal
 
Dodecaedru
rombic
 
Cub
 
Octaedru

Laturile unui dodecaedru disdiakis sferic se află pe 9 cercuri mari. Trei dintre ele formează un octaedru sferic (gri în imaginile de mai jos). Restul de șase formează trei hosoedre pătrate (roșu, verde și albastru în imaginile de mai jos). Toate corespund planelor de oglindire — primul în simetrie diedrală [2,2], iar cel de-al doilea în simetrie tetraedrică [3,3].

Coordonate cartezieneModificare

Fie a = 1/(1 + 22), b = 1/(2 + 32) și c = 1/27 + 182.
Atunci coordonatele carteziene pentru vârfurile unui dodecaedru disdiakis centrat în origine sunt:

  • toate permutările lui (±a, 0, 0)
  • toate permutările lui (±b, ±b, 0)
  • (±c, ±c, ±c).

Aceste numere au la bază cuboctaedrul dublu trunchiat cu lungimea laturii de 2.

DimensiuniModificare

Dacă laturile sale mici au lungimea a, aria și volumul acesteia sunt

 

Fețele sunt triunghiuri scalene. Unghiurile lor sunt  ,   și  .

Proiecții ortogonaleModificare

Cuboctaedrul trunchiat și dualul său, dodecaedrul disdiyakis pot fi reprezentate într-un număr de orientări proiective ortogonale simetrice. Între un poliedru și dualul său, vârfurile și fețele sunt interschimbate, iar laturile sunt perpendiculare.

Simetrie
proiectivă
[4] [3] [2] [2] [2] [2] [2]+
Imagine              
Imagine
dual
             

Poliedre și pavări înruditeModificare

   
Poliedrele similare cu dodecaedrul disdiakis sunt duale cu octaedrul și cubul „papion”, conținând perechi suplimentare de fețe triunghiulare.[1]

Dodecaedrul disdiakis face parte dintr-o familie de duale ale poliedrelor uniforme legate de cub și octaedrul regulat.

Poliedre octaedrice uniforme    
Simetrie: [4,3], (*432) [4,3]+
(432)
[1+,4,3] = [3,3]
(*332)
[3+,4]
(3*2)
{4,3} t{4,3} r{4,3}
r{31,1}
t{3,4}
t{31,1}
{3,4}
{31,1}
rr{4,3}
s2{3,4}
tr{4,3} sr{4,3} h{4,3}
{3,3}
h2{4,3}
t{3,3}
s{3,4}
s{31,1}
                                                     
     
=    
     
=    
     
=    
            =
    sau    
      =
    sau    
      =
   
     
 
 
 
 
 
 
 
           
 
Dualele celor de mai sus
V43 V3.82 V(3.4)2 V4.62 V34 V3.43 V4.6.8 V34.4 V33 V3.62 V35
                                                                 
                                         
                     


Este un poliedru într-o secvență definită de configurația feței V4.6.2n. Acest grup este particular pentru că toate au un număr par de laturi la vârfuri și formează plane care divid poliedrele în două părți egale și continuă în planul hiperbolic pentru orice „n” ≥ 7.

Cu un număr par de fețe la fiecare vârf, aceste poliedre și pavări pot fi afișate colorate alternativ cu două culori, astfel încât toate fețele adiacente să aibă culori diferite.

Fiecare față a acestor figuri corespunde domeniul fundamental al unui grup de simetrie de ordinul 2,3,n oglindiri în fiecare vârf al feței triunghiulare.

Variante ale pavărilor trunchiate cu simetrie *n32: t{n,3}
Smetrie
*n32
[n,3]
Sferice Euclid. Hiperb. compacte Paracomp. Hiperbolice necompacte
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]...
*∞32
[∞,3]
[12i,3] [9i,3] [6i,3]
Figuri
trunchiate
                     
Schläfli t{2,3} t{3,3} t{4,3} t{5,3} t{6,3} t{7,3} t{8,3} t{∞,3} t{12i,3} t{9i,3} t{6i,3}
Figuri
triakis
               
Config. V3.4.4 V3.6.6 V3.8.8 V3.10.10 V3.12.12 V3.14.14 V3.16.16 V3.∞.∞
Variante de simetrii *n42 ale pavărilor trunchiate: n.8.8
Simetrie
*n42
[n,4]
Sferice] Euclidiană Compacte hiperbolice Paracompactă
*242
[2,4]
*342
[3,4]
*442
[4,4]
*542
[5,4]
*642
[6,4]
*742
[7,4]
*842
[8,4]...
*∞42
[∞,4]
Figuri
trunchiate
               
Config. 2.8.8 3.8.8 4.8.8 5.8.8 6.8.8 7.8.8 8.8.8 ∞.8.8
Figuri
n-kis
               
Config. V2.8.8 V3.8.8 V4.8.8 V5.8.8 V6.8.8 V7.8.8 V8.8.8 V∞.8.8

NoteModificare

BibliografieModificare

  • en Williams, Robert (). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)
  • en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss (2008), The Symmetries of Things, ISBN: 978-1-56881-220-5 [1] (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 285, kisRhombic dodecahedron)

Legături externeModificare