Cub trunchiat

Descriere
Cub trunchiat

(animație și model 3D)
Tip	Poliedru arhimedic (poliedru uniform)
Fețe	14 (8 triunghiuri, 6 octogoane)
Laturi (muchii)	36
Vârfuri	24
χ	2
Configurația vârfului	3.8.8
Simbol Wythoff	2 3 \| 4
Simbol Schläfli	t{4,3} t_0,1{4,3}
Simbol Conway	tC
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	O_h, B₃, [4,3], (*432), ordin 48
Grup de rotație	O, [4,3]⁺, (432), ordin 24
Arie	≈ 32,435 a² (a = latura)
Volum	≈ 13,600 a³ (a = latura)
Unghi diedru	3-8: 125° 15′ 51″ 8-8: 90°
Poliedru dual	Octaedru triakis
Proprietăți	Poliedru semiregulat, convex cu fețe poligoane regulate, tranzitiv pe vârfuri
Figura vârfului

Desfășurată

În geometrie cubul trunchiat este un poliedru arhimedic. Are 6 fețe octogonale regulate, 8 fețe triunghiulare echilaterale, 24 de vârfuri și 36 de laturi. Poate fi construit prin trunchierea tuturor celor 8 vârfuri ale unui cub la o treime din lungimea laturii inițiale.

Dacă cubul trunchiat are lungimea muchiei 1, dualul său, octaedrul triakis are laturi de două feluri, cu lungimile 2 și 2 + √2.

Are indicele de poliedru uniform U₀₉,^[1] indicele Coxeter C₂₁ și indicele Wenninger W₈.

Arie și volum

Aria A și volumul V ale unui cub trunchiat cu lungimea muchiei a sunt:

{\begin{aligned}A&=2\left(6+6{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}&&\approx 32,434\,6644\,a^{2}\\V&={\frac {21+14{\sqrt {2}}}{3}}a^{3}&&\approx 13,599\,6633\,a^{3}.\end{aligned}}

Proiecții ortogonale

Cubul trunchiat are cinci proiecții ortogonale, centrate pe un vârf, cu două tipuri de laturi și două tipuri de fețe: triunghiuri și octogoane. Ultimele două corespund cu planele Coxeter B₂ și A₂.

Proiecții ortogonale
Centrată pe	Vârf	Latura 3-8	Latura 8-8	Fața octogon	Fața triunghi
Corp
Cadru de sârmă
Dual
Simetrie proiectivă	[2]	[2]	[2]	[4]	[6]

Pavare sferică

Cubul trunchiat poate fi reprezentat și ca o pavare sferică și proiectat pe plan printr-o proiecție stereografică. Această proiecție este conformă, păstrând unghiurile, dar nu ariile sau lungimile. Liniile drepte pe sferă sunt proiectate în plan ca arce de cerc.

Proiecție ortogonală	Proiecții stereografice
	centrată pe octogon	centrată pe triunghi

Coordonate carteziene

Un cub trunchiat cu fețele sale octogonale piritoedrice divizat prin vârfuri din centrul fețelor în triunghiuri și pentagoane, creând topologic un icosidodecaedru

Coordonatele carteziene ale vârfurilor unui cub trunchiat centrat în origine cu lungimea laturii 2ξ sunt toate permutările lui

(±ξ, ±1, ±1),

unde ξ = √2 − 1.

În afară de valoarea de mai sus, parametrul ξ poate lua valori între ±1. Valoarea 1 produce un cub, 0 produce un cuboctaedru, iar valorile negative produc fețe octagramice care se autointersectează.

Dacă porțiunile autointersectate ale octagramelor sunt îndepărtate, lăsând pătratele și trunchiind triunghiurile în hexagoane, se produc octaedre trunchiate, iar secvența se termină cu pătratele centrale reduse la un punct și creând un octaedru.

Divizare


Cub trunchiat divizat, vedere expandată		Cub trunchiat excavat

Cubul trunchiat poate fi divizat într-un cub central, cu șase cupole pătrate în jurul fiecărei fețe a cubului și 8 tetraedre regulate în colțuri. Această divizare poate fi observată și în interiorul fagurelui cubic runcic, cu celule cubice, tetraedrice și rombicuboctaedrice.

Această divizare poate fi folosită pentru a crea un toroid Stewart cu toate fețele regulate prin îndepărtarea a două cupole pătrate și a cubului central. Acest cub excavat are 16 triunghiuri, 12 pătrate și 4 octogoane.^[2]^[3]

Dispunerea vârfurilor

Are aceeași dispunere a vârfurilor cu trei poliedre uniforme neconvexe:

Cub trunchiat	Marele rombicuboctaedru neconvex	Marele cubicuboctaedru	Marele rombicuboctaedru

Poliedre înrudite

Cubul trunchiat este legat de alte poliedre și pavări prin simetrie.

Cubul trunchiat face parte dintr-o familie de poliedre uniforme înrudite cu cubul și octaedrul regulat.

Poliedre octaedrice uniforme v • d • m
Simetrie: [4,3], (*432)							[4,3]⁺ (432)	[1⁺,4,3] = [3,3] (*332)		[3⁺,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{3^1,1}	t{3,4} t{3^1,1}	{3,4} {3^1,1}	rr{4,3} s₂{3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h₂{4,3} t{3,3}	s{3,4} s{3^1,1}

		=	=	=				= sau	= sau	=

Dualele celor de mai sus
V4³	V3.8²	V(3.4)²	V4.6²	V3⁴	V3.4³	V4.6.8	V3⁴.4	V3³	V3.6²	V3⁵

Variante de simetrii

Acest poliedru este înrudit topologic ca parte a secvenței de poliedre trunchiate uniforme cu configurațiile vârfului (3.2n.2n) și [n,3] cu simetriile din grupul Coxeter și o serie de pavări n.8.8.

Variante ale pavărilor trunchiate cu simetrie *n32: t{n,3}
Smetrie *n32 [n,3]	Sferice				Euclid.	Hiperb. compacte		Paracomp.	Hiperbolice necompacte
Smetrie *n32 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]
Figuri trunchiate
Schläfli	t{2,3}	t{3,3}	t{4,3}	t{5,3}	t{6,3}	t{7,3}	t{8,3}	t{∞,3}	t{12i,3}	t{9i,3}	t{6i,3}
Figuri triakis
Config.	V3.4.4	V3.6.6	V3.8.8	V3.10.10	V3.12.12	V3.14.14	V3.16.16	V3.∞.∞

Variante de simetrii *n42 ale pavărilor trunchiate: n.8.8
Simetrie *n42 [n,4]	Sferice]		Euclidiană	Compacte hiperbolice				Paracompactă
Simetrie *n42 [n,4]	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
Figuri trunchiate
Config.	2.8.8	3.8.8	4.8.8	5.8.8	6.8.8	7.8.8	8.8.8	∞.8.8
Figuri n-kis
Config.	V2.8.8	V3.8.8	V4.8.8	V5.8.8	V6.8.8	V7.8.8	V8.8.8	V∞.8.8

Trunchieri alternate

Tetraedru, trunchierea sa pe laturi și cub trunchiat

Trunchierea alternată a vârfurilor cubului dă tetraedrul șanfrenat^⁠(d), adică trunchierea laturilor tetraedrului.

Trapezoedrul triunghiular trunchiat este un alt poliedru care poate fi format prin trunchierea laturii cubului.

Politopuri înrudite

Cubul trunchiat este cel de-al doilea în secvența hipercuburilor trunchiate:

Hipercuburi trunchiate
Imagine								...
Nume	Pătrat trunchiat	Cub trunchiat	Tesseract trunchiat	5-cub trunchiat	6-cub trunchiat	7-cub trunchiat	8-cub trunchiat
Diagramă Coxeter
Figura vârfului	( )v( )	( )v{ }	( )v{3}	( )v{3,3}	( )v{3,3,3}	( )v{3,3,3,3}	( )v{3,3,3,3,3}

Note

^ en Eric W. Weisstein, Uniform Polyhedron la MathWorld.
^ en B.M. Stewart, Adventures Among the Toroids (1970) ISBN: 978-0-686-11936-4
^ en „Adventures Among the Toroids - Chapter 5 - Simplest (R)(A)(Q)(T) Toroids of genus p=1”.

Bibliografie

en Robert Williams (1979), The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, Dover Publications Inc., ISBN: 0-486-23729-X. (Section 3-9)
en Cromwell, P. Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999). Ch.2 p. 79-86 Archimedean solids