Cub trunchiat

poliedru arhimedic
Cub trunchiat
(animație și model 3D)
Descriere
TipPoliedru arhimedic
(poliedru uniform)
Fețe14 (8 triunghiuri, 6 octogoane)
Laturi (muchii)36
Vârfuri24
χ2
Configurația vârfului3.8.8
Simbol Wythoff2 3 | 4
Simbol Schläflit{4,3}
t0,1{4,3}
Simbol ConwaytC
Diagramă Coxeter
Grup de simetrieOh, B3, [4,3], (*432), ordin 48
Grup de rotațieO, [4,3]+, (432), ordin 24
Arie≈ 32,435 a2   (a = latura)
Volum≈ 13,600 a3   (a = latura)
Unghi diedru3-8: 125° 15′ 51″
8-8: 90°
Poliedru dualOctaedru triakis
ProprietățiPoliedru semiregulat, convex cu fețe poligoane regulate, tranzitiv pe vârfuri
Figura vârfului
Desfășurată

În geometrie cubul trunchiat este un poliedru arhimedic. Are 6 fețe octogonale regulate, 8 fețe triunghiulare echilaterale, 24 de vârfuri și 36 de laturi. Poate fi construit prin trunchierea tuturor celor 8 vârfuri ale unui cub la o treime din lungimea laturii inițiale.

Dual:Octaedru triakis

Dacă cubul trunchiat are lungimea muchiei 1, dualul său, octaedrul triakis are laturi de două feluri, cu lungimile 2 și 2 + 2.

Are indicele de poliedru uniform U09,[1] indicele Coxeter C21 și indicele Wenninger W8.

Arie și volum

modificare

Aria A și volumul V ale unui cub trunchiat cu lungimea muchiei a sunt:

 

Proiecții ortogonale

modificare

Cubul trunchiat are cinci proiecții ortogonale, centrate pe un vârf, cu două tipuri de laturi și două tipuri de fețe: triunghiuri și octogoane. Ultimele două corespund cu planele Coxeter B2 și A2.

Proiecții ortogonale
Centrată
pe
Vârf Latura
3-8
Latura
8-8
Fața
octogon
Fața
triunghi
Corp
 
   
Cadru
de sârmă
         
Dual          
Simetrie
proiectivă
[2] [2] [2] [4] [6]

Pavare sferică

modificare

Cubul trunchiat poate fi reprezentat și ca o pavare sferică și proiectat pe plan printr-o proiecție stereografică. Această proiecție este conformă, păstrând unghiurile, dar nu ariile sau lungimile. Liniile drepte pe sferă sunt proiectate în plan ca arce de cerc.

   
centrată pe octogon
 
centrată pe triunghi
Proiecție ortogonală Proiecții stereografice

Coordonate carteziene

modificare
 
Un cub trunchiat cu fețele sale octogonale piritoedrice divizat prin vârfuri din centrul fețelor în triunghiuri și pentagoane, creând topologic un icosidodecaedru

Coordonatele carteziene ale vârfurilor unui cub trunchiat centrat în origine cu lungimea laturii 2ξ sunt toate permutările lui

ξ, ±1, ±1),

unde ξ = 2 − 1.

În afară de valoarea de mai sus, parametrul ξ poate lua valori între ±1. Valoarea 1 produce un cub, 0 produce un cuboctaedru, iar valorile negative produc fețe octagramice care se autointersectează.

 

Dacă porțiunile autointersectate ale octagramelor sunt îndepărtate, lăsând pătratele și trunchiind triunghiurile în hexagoane, se produc octaedre trunchiate, iar secvența se termină cu pătratele centrale reduse la un punct și creând un octaedru.

Divizare

modificare
   
Cub trunchiat divizat, vedere expandată
Cub trunchiat excavat

Cubul trunchiat poate fi divizat într-un cub central, cu șase cupole pătrate în jurul fiecărei fețe a cubului și 8 tetraedre regulate în colțuri. Această divizare poate fi observată și în interiorul fagurelui cubic runcic, cu celule cubice, tetraedrice și rombicuboctaedrice.

Această divizare poate fi folosită pentru a crea un toroid Stewart cu toate fețele regulate prin îndepărtarea a două cupole pătrate și a cubului central. Acest cub excavat are 16 triunghiuri, 12 pătrate și 4 octogoane.[2][3]

Dispunerea vârfurilor

modificare

Are aceeași dispunere a vârfurilor cu trei poliedre uniforme neconvexe:

 
Cub trunchiat
 
Marele rombicuboctaedru neconvex
 
Marele cubicuboctaedru
 
Marele rombicuboctaedru

Poliedre înrudite

modificare

Cubul trunchiat este legat de alte poliedre și pavări prin simetrie.

Cubul trunchiat face parte dintr-o familie de poliedre uniforme înrudite cu cubul și octaedrul regulat.

Poliedre octaedrice uniforme    
Simetrie: [4,3], (*432) [4,3]+
(432)
[1+,4,3] = [3,3]
(*332)
[3+,4]
(3*2)
{4,3} t{4,3} r{4,3}
r{31,1}
t{3,4}
t{31,1}
{3,4}
{31,1}
rr{4,3}
s2{3,4}
tr{4,3} sr{4,3} h{4,3}
{3,3}
h2{4,3}
t{3,3}
s{3,4}
s{31,1}
                                                     
     
=    
     
=    
     
=    
            =
    sau    
      =
    sau    
      =
   
     
 
 
 
 
 
 
 
           
 
Dualele celor de mai sus
V43 V3.82 V(3.4)2 V4.62 V34 V3.43 V4.6.8 V34.4 V33 V3.62 V35
                                                                 
                                         
                     


Variante de simetrii

modificare

Acest poliedru este înrudit topologic ca parte a secvenței de poliedre trunchiate uniforme cu configurațiile vârfului (3.2n.2n) și [n,3] cu simetriile din grupul Coxeter și o serie de pavări n.8.8.

Variante ale pavărilor trunchiate cu simetrie *n32: t{n,3}
Smetrie
*n32
[n,3]
Sferice Euclid. Hiperb. compacte Paracomp. Hiperbolice necompacte
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]...
*∞32
[∞,3]
[12i,3] [9i,3] [6i,3]
Figuri
trunchiate
                     
Schläfli t{2,3} t{3,3} t{4,3} t{5,3} t{6,3} t{7,3} t{8,3} t{∞,3} t{12i,3} t{9i,3} t{6i,3}
Figuri
triakis
               
Config. V3.4.4 V3.6.6 V3.8.8 V3.10.10 V3.12.12 V3.14.14 V3.16.16 V3.∞.∞
Variante de simetrii *n42 ale pavărilor trunchiate: n.8.8
Simetrie
*n42
[n,4]
Sferice] Euclidiană Compacte hiperbolice Paracompactă
*242
[2,4]
*342
[3,4]
*442
[4,4]
*542
[5,4]
*642
[6,4]
*742
[7,4]
*842
[8,4]...
*∞42
[∞,4]
Figuri
trunchiate
               
Config. 2.8.8 3.8.8 4.8.8 5.8.8 6.8.8 7.8.8 8.8.8 ∞.8.8
Figuri
n-kis
               
Config. V2.8.8 V3.8.8 V4.8.8 V5.8.8 V6.8.8 V7.8.8 V8.8.8 V∞.8.8

Trunchieri alternate

modificare
Tetraedru, trunchierea sa pe laturi și cub trunchiat

Trunchierea alternată a vârfurilor cubului dă tetraedrul șanfrenat⁠(d), adică trunchierea laturilor tetraedrului.

Trapezoedrul triunghiular trunchiat este un alt poliedru care poate fi format prin trunchierea laturii cubului.

Politopuri înrudite

modificare

Cubul trunchiat este cel de-al doilea în secvența hipercuburilor trunchiate:

Hipercuburi trunchiate
Imagine                     ...
Nume Pătrat
trunchiat
Cub
trunchiat
Tesseract
trunchiat
5-cub
trunchiat
6-cub
trunchiat
7-cub
trunchiat
8-cub
trunchiat
Diagramă Coxeter                                                                      
Figura
vârfului
( )v( )  
( )v{ }
 
( )v{3}
 
( )v{3,3}
( )v{3,3,3} ( )v{3,3,3,3} ( )v{3,3,3,3,3}
  1. ^ en Eric W. Weisstein, Uniform Polyhedron la MathWorld.
  2. ^ en B.M. Stewart, Adventures Among the Toroids (1970) ISBN: 978-0-686-11936-4
  3. ^ en „Adventures Among the Toroids - Chapter 5 - Simplest (R)(A)(Q)(T) Toroids of genus p=1”. 

Bibliografie

modificare
  • en Robert Williams (1979), The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, Dover Publications Inc., ISBN: 0-486-23729-X. (Section 3-9)
  • en Cromwell, P. Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999). Ch.2 p. 79-86 Archimedean solids

Vezi și

modificare

Legături externe

modificare