În geometria sferică, un hosoedru n-gonal este o pavare de fusuri pe o suprafață sferică, astfel încât toate fusurile au în comun aceleași două vârfuri, situate la antipozi.

Hosoedre regulate n-gonale

Exemplu de hosoedru hexagonal regulat pe o sferă
TipPoligon regulat sau
pavare sferică
Laturi și vârfurin
Simbol Schläfli{2,n}
Diagramă Coxeter
Grup de simetrieDnh, [2,n], (*22n), ordin 4n
Grup de rotațieDn, [2,n]+, (22n), ordin 2n
Poligon dualdiedru n-gonal regulat
Dacă se omit peticele rotunde, această minge de plajă ar fi un hosoedru cu 6 fețe în formă de fusuri sferice

Un hosoedru n-gonal regulat are simbolul Schläfli {2, n}, fiecare fus sferic având unghiurile interne 2π/n radiani (360/n grade).[1][2]

Etimologie

modificare

Termenul de „hosoedru” pare să provină din grecescul ὅσος (hosos = câte), ideea fiind că un hosoedru poate avea atâtea fețe cât se dorește.[3] A fost introdus în secolul al XVIII-lea de Vito Caravelli.[4]

Hosoedrele ca poliedre regulate

modificare

Pentru un poliedru regulat al cărui simbol Schläfli este {mn}, numărul de fețe poligonale este:

 

Poliedrele platonice, cunoscute din antichitate, sunt singurele soluții întregi pentru m ≥ 3 și n ≥ 3. Restricția m ≥ 3 impune ca fețele poligonale să aibă la cel puțin trei laturi.

Când se consideră suprafața poliedrelor ca o pavare sferică această restricție poate fi relaxată, deoarece digoanele (2-goane) pot fi reprezentate ca fusuri sferice, având aria diferită de zero.

Cu m = 2 se obține

 

care formează o nouă clasă infinită de poliedre regulate, hosoedrele. Pe o suprafață sferică, poliedrul {2, n} este reprezentat ca n fusuri adiacente, cu unghiuri interioare de 2π/n. Toate aceste fusuri sferice au cele două vârfuri comune.

 
Un hosoedru trigonal regulat, {2,3}, reprezentat ca o teselare de 3 fusuri sferice pe o sferă
 
Un hosoedru tetragonal regulat, {2,4}, reprezentat ca o teselare de 4 fusuri sferice pe o sferă
Familia hosoedrelor regulate cu simetrie *n22 , repectiv pavări hosoedrice regulate nn
Spațiu Sferic Euclidian
Denumirea pavării (Monogonală)
hosoedru henagonal

hosoedru digonal
(Triunghiulară)
hosoedru trigonal
(Pătrată)
hosoedru tetragonal

hosoedru pentagonal

hosoedru hexagonal

...

hosoedru apeirogonal
Imagine             ...  
Simbol Schläfli {2,1} {2,2} {2,3} {2,4} {2,5} {2,6} ... {2,∞}
Diagramă Coxeter                                   ...      
Fețe și laturi 1 2 3 4 5 6 ...
Vârfuri 2 ... 2
Config. vârf 2 2.2 23 24 25 26 ... 2

Simetrie caleidoscopică

modificare

Cele 2n fețe în formă de fusuri sferice ale unui 2n-hosoedru, {2,2n}, reprezintă domeniile fundamentale ale simetriei diedrale tridimensionale: simetria cercului Cnv, [n], (*nn), ordin 2n. Domeniile de reflexie pot fi afișate prin fusuri colorate alternativ ca imagini în oglindă.

Divizarea fiecărui fus în două triunghiuri sferice creează o bipiramidă n-gonală, care reprezintă simetria diedrală Dnh, ordin 4n.

Simetrie (ordin 2n) Cnv, [n] C1v, [ ] C2v, [2] C3v, [3] C4v, [4] C5v, [5] C6v, [6]
Hosoedru 2n-gonal Simbol Schläfli {2,2n} {2,2} {2,4} {2,6} {2,8} {2,10} {2,12}
Imagine Colorare alternată a
domeniilor fundamentale
           

Poliedre înrudite

modificare

Poliedrul dual al hosoedrului n-gonal {2, n} este diedrul n-gonal, {n,  2}. Poliedrul {2,2} este autodual și este atât un hosoedru cât și un diedru.

Un hosoedru poate fi modificat în același mod ca și celelalte poliedre pentru a produce o variantă trunchiată. Hosoedrul n-gonal trunchiat este prisma n-gonală.

Hosohedrul apeirogonal

modificare
 
Hosohedru apeirogonal

La limită, hosoedrul devine un hosoedru apeirogonal ca o teselare bidimensională:

Hosotopuri

modificare

Analoagele multidimensionale se numesc hosotopuri. Un hosotop regulat cu simbolul Schläfli {2,p,...,q} are două vârfuri, fiecare cu figura vârfului {p,. ..,q}.

Hosotopul bidimensional, {2}, este digonul.

  1. ^ Coxeter, Regular polytopes, p. 12
  2. ^ McMullen, Schulte, Abstract Regular polytopes, p. 161
  3. ^ en Steven Schwartzman (). The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English . MAA. pp. 108–109. ISBN 978-0-88385-511-9. 
  4. ^ en Coxeter, H.S.M. (). Regular Complex Polytopes. London: Cambridge University Press. p. 20. ISBN 0-521-20125-X. The hosohedron {2,p} (in a slightly distorted form) was named by Vito Caravelli (1724–1800) … 

Bibliografie

modificare

Legături externe

modificare