Simetrie diedrală în spațiul tridimensional

Grupuri punctuale în spațiul tridimensional

Simetrie involutivă Cs, (*) [ ] =	Simetrie ciclică Cnv, (*nn) [n] =	Simetrie diedrală Dnh, (*n22) [n,2] =
Grup poliedric, [n,3], (*n32)
Simetrie tetraedrică Td, (*332) [3,3] =	Simetrie octaedrică Oh, (*432) [4,3] =	Simetrie icosaedrică Ih, (*532) [5,3] =

În geometrie simetria diedrală în spațiul tridimensional este una dintre cele trei secvențe infinite de grupuri punctuale în spațiul tridimensional^⁠(d) care au un grup de simetrie care, ca grup abstract, este un grup diedral Dih_n (pentru n ≥ 2).

Tipuri

Există 3 tipuri de simetrie diedrală în trei dimensiuni, fiecare prezentat mai jos cu 3 notații: notația Schönflies, notația Coxeter și notația orbifold.

Chirală

• D_n, [n,2]⁺, (22n) de ordinul 2n – simetrie diedrală sau grup para-n-gonal (grup abstract: Dih_n).

Achirală

• D_nh, [n,2], (*22n) de ordinul 4n – simetrie prismatică sau grup complet orto-n-gonal (grup abstract: Dih_n × Z₂).
• D_nd (sau D_nv), [2n,2⁺], (2*n) de ordinul 4n – simetrie antiprismatică sau grup complet giro-n-gonal (grup abstract: Dih_2n).

Pentru un n dat, toate trei au simetria de rotație de n ori în jurul unei axe (o rotație cu un unghi de 360°/n nu modifică obiectul), și simetrie de rotație de două ori în jurul unei axe perpendiculare, deci aproximativ n dintre acestea. Pentru n = ∞, acestea corespund la trei grupuri ale frizelor. Se folosește notația Schönflies, împreună cu notația Coxeter între paranteze drepte și notația orbifold între paranteze rotunde. Termenul orizontal (h) este utilizat față de o axă verticală de rotație.

În bidimensional, grupul de simetrie D_n include reflexii față de drepte. Când planul bidimensional este încorporat orizontal într-un spațiu tridimensional o astfel de reflexie poate fi privită fie ca o restricție la acel plan a unei reflexii față de un plan vertical, fie ca o restricție la planul unei rotații cu 180° în jurul dreptei de reflexie. În tridimensional se face deosebirea între cele două operații: grupul D_n conține doar rotații, nu și reflexii. Celălalt grup este simetrie piramidală (simetria ciclică) C_nv de același ordin, 2n.

Cu simetria de reflexie într-un plan perpendicular pe axa de rotație de n ori, avem D_nh, [n], (*22n).

D_nd (sau D_nv), [2n,2⁺], (2*n) are plane de reflexie verticale între axele de rotație orizontale, nu prin ele. Ca rezultat, axa verticală este o axă de rotație improprie de 2n ori.

D_nh este grupul de simetrie al unei prisme regulate cu n laturi și, de asemenea, pentru o bipiramidă regulată cu n laturi. D_nd este grupul de simetrie al unei antiprisme regulate cu n laturi și, de asemenea, pentru un trapezoedru regulat cu n laturi. D_n este grupul de simetrie al unei prisme parțial rotite.

n = 1 nu este inclus deoarece cele trei simetrii sunt la fel cu altele:

• D₁ și C₂: grupul de ordinul 2 cu o singură rotație de 180°.
• D_1h și C_2v: grupul de ordinul 4 cu o reflexie într-un plan și o rotație de 180° în jurul unei drepte în acel plan.
• D_1d și C_2h: grupul de ordinul 4 cu o reflexie într-un plan și o rotație de 180° în jurul unei drepte perpendiculare pe acel plan.

Pentru n = 2 nu există o axă principală și două axe suplimentare, dar există trei echivalente.

• D₂, [2,2]⁺, (222) de ordinul 4 este unul dintre cele trei tipuri de grupuri de simetrie cu grupul lui Klein ca grup abstract. Are trei axe de rotație de 2 ori, perpendiculare. Este grupul de simetrie al unui paralelipiped dreptunghic cu un S scris pe două fețe opuse, în aceeași orientare.
• D_2h, [2,2], (*222) de ordinul 8 este grupul de simetrie al paralelipipedului dreptunghic.
• D_2d, [4,2⁺], (2*2) de ordinul 8 este grupul de simetrie de exemplu al:
  • unui paralelipiped dreptunghic cu două fețe pătrate, cu o diagonală desenată pe una din fețele pătrată și o diagonală perpendiculară pe prima pe cealaltă față pătrată;
  • unui tetraedru regulat scalat în direcția unei drepte care leagă punctele din mijlocurile a două muchii opuse (D_2d este un subgrup de T_d; prin scalare simetria se reduce).

Subgrupuri

D2h, [2,2], (*222)

D4h, [4,2], (*224)

Articol principal: Simetrie ciclică în spațiul tridimensional.

Pentru D_nh, [n,2], (*22n), ordin 4n

• C_nh, [n⁺,2], (n*), ordin 2n
• C_nv, [n,1], (*nn), ordin 2n
• D_n, [n,2]⁺, (22n), ordin 2n

Pentru D_nd, [2n,2⁺], (2*n), ordin 4n

• S_2n, [2n⁺,2⁺], (n×), ordin 2n
• C_nv, [n⁺,2], (n*), ordin 2n
• D_n, [n,2]⁺, (22n), ordin 2n

D_nd este și subgrup al D_2nh.

Exemple

D2h, [2,2], (*222) ordin 8	D2d, [4,2+], (2*2) ordin 8	D3h, [3,2], (*223) ordin 12
Cusături pe mingea de baschet	Cusături pe mingea de baseball (fără a se ține cont de direcția cusăturii)	Minge de plajă (fără a se ține cont de culori)

D_nh, [n], (*22n)

Prisme drepte regulate

D_5h, [5], (*225)

Prismă pentagramică

Antiprismă pentagramică

D_4d, [8,2⁺], (2*4)

Antiprismă pătrată snub

D_5d, [10,2⁺], (2*5)

Antiprismă pentagonală

Antiprismă pentagramică răsucită

Trapezoedru pentagonal

D_17d, [34,2⁺], (2*17)

Antiprismă heptadecagonală

Bibliografie

• en Coxeter, H. S. M. and Moser, W. O. J. (1980). Generators and Relations for Discrete Groups. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9. Mentenanță CS1: Nume multiple: lista autorilor (link)
• en N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN: 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.5 Spherical Coxeter groups
• en Conway, John Horton; Huson, Daniel H. (2002), „The Orbifold Notation for Two-Dimensional Groups”, Structural Chemistry, Springer Netherlands, 13 (3): 247–257, doi:10.1023/A:1015851621002 

Vezi și

• Simetrie ciclică în spațiul tridimensional

Legături externe

• en Graphic overview of the 32 crystallographic point groups – form the first parts (apart from skipping n=5) of the 7 infinite series and 5 of the 7 separate 3D point groups