Grup poliedric

grup de simetrii al poliedrelor platonice
Grupuri punctuale în spațiul tridimensional

Simetrie involutivă
Cs, (*)
[ ] =

Simetrie ciclică
Cnv, (*nn)
[n] =

Simetrie diedrală
Dnh, (*n22)
[n,2] =
Grup poliedric, [n,3], (*n32)

Simetrie tetraedrică
Td, (*332)
[3,3] =

Simetrie octaedrică
Oh, (*432)
[4,3] =

Simetrie icosaedrică
Ih, (*532)
[5,3] =

În geometrie un grup poliedric este oricare din grupurile de simetrie ale poliedrelor platonice.

Există trei grupuri poliedrice:

  • identitatea
  • 4 × rotație cu 120° în sens trigonometric, ordin 3
  • 4 × rotație cu 120° în sens orar, ordin 3
  • 3 × rotație cu 180°, ordin 2
  • Clasele de conjugare ale O sunt:
  • identitatea
  • 6 × rotație cu ±90° în jurul vârfurilor, ordin 4
  • 8 × rotație cu ±120° în jurul centrelor triunghiurilor, ordin 3
  • 3 × rotație cu 180° în jurul vârfurilor, ordin 2
  • 6 × rotație cu 180° în jurul mijloacelor laturilor, ordin 2
  • Clasele de conjugare ale I sunt:
  • identitatea
  • 12 × rotație cu ±72°, ordin 5
  • 12 × rotație cu ±144°, ordin 5
  • 20 × rotație cu ±120°, ordin 3
  • 15 × rotație cu 180°, ordin 2

Aceste simetrii se dublează la 24, 48, respectiv 120 pentru grupurile de reflexie complete. Simetriile de reflexie au 6, 9 și respectiv 15 plane de oglindire. Simetria octaedrică, [4,3] poate fi văzută ca reunirea a 6 plane de oglindire de simetrie tetraedrică [3,3] și a 3 plane de oglindire de simetrie diedrală Dih2, [2,2 ]. Simetria piritoedrică este o altă dublare a simetriei tetraedrice.

Clasele de conjugare ale simetriei tetraedrice complete, TdS4, sunt:

Clasele de conjugare ale simetriei piritoedrice, Th, le cuprind pe cele ale lui T, cu cele două clase de 4 combinate și fiecare cu inversare:

  • identitatea
  • 8 × rotație cu 120°
  • 3 × rotație cu 180°
  • inversiunea
  • 8 × rotație improprie cu 60°
  • 3 × reflexie în plan

Clasele de conjugare ale grupului octaedric complet, OhS4 × C2, sunt:

  • inversiunea
  • 6 × rotație improprie cu 90°
  • 8 × rotație improprie cu 60°
  • 3 × reflexie în plan perpendicular pe o axă, cu 4 poziții
  • 6 × reflexie în plan perpendicular pe o axă, cu 2 poziții

Clasele de conjugare ale grupului icosaedric complet, IhA5 × C2, sunt:

  • inversiunea
  • 12 × rotație improprie cu 108°, ordin 10
  • 12 × rotație improprie cu 36°, ordin 10
  • 20 × rotație improprie cu 60°, ordin 6
  • 15 × reflexie, ordin 2

Grupuri poliedrice chirale

modificare
Grupuri poliedrice chirale
Nume
(Orb.)
Notația
Coxeter
Ordin Structură
abstractă
Puncte de
rotație
#valență
Diagrame
Ortogonal Stereografic
T
(332)
     
[3,3]+
12 A4 43   
32 
       
Th
(3*2)
     
     
[4,3+]
24 A4×2 43 
3*2 
       
O
(432)
     
[4,3]+
24 S4 34 
43 
62 
       
I
(532)
     
[5,3]+
60 A5 65 
103 
152 
       

Grupuri poliedrice complete

modificare
Grupuri poliedrice complete
Weyl
Schoe.
(Orb.)
Notația
Coxeter
Ordin Structură
abstractă
Număr
Coxeter
(h)
Oglinzi
(m)
Diagrame ale oglindirilor
Ortogonal Stereografic
A3
Td
(*332)
     
     
[3,3]
24 S4 4 6         
B3
Oh
(*432)
     
     
[4,3]
48 S4×2 8 3 
6 
       
H3
Ih
(*532)
     
     
[5,3]
120 A5×2 10 15         

Bibliografie

modificare
  • Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, 1973. (The Polyhedral Groups. §3.5, pp. 46–47)

Legături externe

modificare